三、解答题
1. 如图，矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，连接AF，EC，且AD=4，CD=8. 证明四边形AFCE是菱形并求其面积.

证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EAC = ∠FCA。
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ AO = CO，EF⊥AC。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAC=∠FCA \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ OE = OF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
又∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AFCE是菱形。
设CF = x，
∵ 四边形AFCE是菱形，
∴ AF = CF = x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，
在Rt△ADF中，AD=4，DF = CD - CF = 8 - x，
由勾股定理得：$AD^2 + DF^2 = AF^2$，
即 $4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
解得 $x = 5$，即CF=5。
∴ 菱形AFCE的面积 = $CF · AD = 5 × 4 = 20$。

2. 如图,在矩形ABCD中,AB=CD=10,BC=AD=6.
(1)如图①,将长方形ABCD沿EF翻折,使点A与点C重合,点D落在点D'处,求BF的长;
(2)如图②,将△ABD沿BD翻折,若A'B交CD于点E,求△BDE的面积.

解：
(1) 由翻折的性质可得：$AF=CF$。
设$BF=x$，则$AF=AB-BF=10-x$，因此$CF=10-x$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BF^2 + BC^2 = CF^2$
代入得：$x^2 + 6^2 = (10-x)^2$，
展开化简：$x^2 + 36 = 100 - 20x + x^2$，
解得：$x=\frac{16}{5}$。
∴ $BF$的长为$\frac{16}{5}$。
(2) 由翻折的性质可得：$∠ A'BD=∠ ABD$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $CD// AB$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ CDB=∠ ABD$，
∴ $∠ A'BD=∠ CDB$，
∴ $DE=BE$。
设$DE=y$，则$BE=y$，$CE=CD-DE=10-y$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得：
$CE^2 + BC^2 = BE^2$
代入得：$(10-y)^2 + 6^2 = y^2$，
展开化简：$100 - 20y + y^2 + 36 = y^2$，
解得：$y=\frac{34}{5}$。
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× DE × BC=\frac{1}{2}×\frac{34}{5}×6=\frac{102}{5}$。
答：(1) $BF$的长为$\frac{16}{5}$；(2) $△ BDE$的面积为$\frac{102}{5}$。