6. 如图,两个全等的等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$和等腰$\mathrm{Rt}△ CDA$有公共斜边$AC$,且四边形$ABCD$的面积为$36$,$△ ABE$为等边三角形,点$E$在四边形$ABCD$内,在$AC$上有一点$P$,使$PD+PE$的和最小,则这个最小值为()

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

B

1. 由两个全等等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDA共斜边AC，可得AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=90°，因此四边形ABCD是正方形。
2. 已知四边形ABCD面积为36，计算得正方形边长AB=√36=6。
3. 正方形对角线AC是对称轴，点D与点B关于AC对称，因此PD=PB，即PD+PE=PB+PE。
4. 根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，该最小值等于线段BE的长度。
5. 因为△ABE是等边三角形，所以BE=AB=6，即PD+PE的最小值为6。

二、填空题
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若OB=5，则AC=。

$\boldsymbol{10}$

解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且对角线互相平分，即BD=2OB。
∵ OB=5，
∴ BD=2×5=10，
∴ AC=BD=10。

2. 如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图所示,则矩形ABCD的周长是.

$\boldsymbol{18}$

解：
由动点P的运动过程结合函数图象性质可知：
当点P在BC上运动时，△ABP的面积随P运动路程的增加而增大，当P到达点C后，P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变。
由此可得：点P从B到C的运动路程为4，即$BC=4$；
点P从C运动到D的总路程为$9-4=5$，即$CD=5$。
因此矩形ABCD的周长为$2×(BC+CD)=2×(4+5)=18$。
最终

3. 艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果. 图1是一个菱形,将图1截去一个边长为原菱形边长一半的菱形得到图2,用三个图2镶嵌得到图3,将图3着色后,再次镶嵌便得到埃舍尔作品(如图4),则图3中∠BCD的度数是.

$\boldsymbol{120°}$

解：由题意可知，三个完全相同的图2在点A处平面镶嵌，围绕点A的周角为360°，
因此图2中对应点A的内角的度数为 $ 360° ÷ 3 = 120° $，该角即为原菱形的一个内角。
又因为∠BCD是原菱形未被截取的内角，与上述内角相等，
所以 $ ∠ BCD = 120° $。
最终

4. 青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法. 如图, 四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形. 若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9, 则AF=.

$\boldsymbol{3}$

解：
∵ 四边形CGHI是正方形，面积为9，
∴ $CG^2=9$，即$CG=3$。
∵ 四边形ABCD是正方形，面积为45，
∴ $CD^2=45$，$AD=CD$，$∠ ADC=90°$。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ $DG⊥ CG$，$DG=DE=EF$，$∠ E=∠ F=90°$，$∠ EDG=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，由勾股定理得：
$DG^2 + CG^2 = CD^2$，
∴ $DG^2 = 45 - 9 = 36$，即$DG=6$。
∵ $∠ ADE + ∠ ADG = 90°$，$∠ ADG + ∠ CDG = 90°$，
∴ $∠ ADE = ∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ DCG$中：
$\begin{cases}∠ E = ∠ DGC = 90° \\∠ ADE = ∠ CDG \\AD = DC\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ DCG$（AAS），
∴ $AE = CG = 3$。
又∵ $EF = DG = 6$，
∴ $AF = EF - AE = 6 - 3 = 3$。
最终