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20.【问题导入】
如图1,直线$ l_1 ⊥ l_2 $,垂足为$ O $,点$ A_1 $与点$ A $关于直线$ l_1 $对称,点$ A_2 $与点$ A $关于直线$ l_2 $对称.点$ A_1 $与点$ A_2 $有怎样的对称关系?
小杰发现点$ A_2 $可看作是由点$ A_1 $绕着点$ O $旋转$ 180° $后得到,即点$ A_1 $与点$ A_2 $关于点$ O $成中心对称.为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘,他邀请爱思考的小华一起继续探究.
【初步探究】
如图2,他们先把一个$ \mathrm{Rt}△ OAB $沿直角边$ OB $翻折到$ △ OCB $的位置,然后沿斜边$ OC $翻折到$ △ OCD $的位置.他们发现$ △ OCD $可以看作是由$ △ OAB $通过一次得到的(填“平移”“轴对称”或“旋转”);若$ ∠ AOD = 96° $,则两条对称轴所形成的夹角(锐角)度数为.
【深入探究】
如图3,$ △ ABC $与$ △ A_1B_1C_1 $关于直线$ DE $对称,$ △ A_1B_1C_1 $与$ △ A_2B_2C_2 $关于直线$ FG $对称,直线$ DE $和$ FG $相交于点$ P $.他们通过研究发现$ △ A_2B_2C_2 $可以看作是由$ △ ABC $绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的.
①旋转中心为点;
②经过探究,他们发现两条对称轴之间的夹角$(α)$与旋转角$(β)$之间存在等量关系,请写出它们之间的等量关系,并说明理由.
如图1,直线$ l_1 ⊥ l_2 $,垂足为$ O $,点$ A_1 $与点$ A $关于直线$ l_1 $对称,点$ A_2 $与点$ A $关于直线$ l_2 $对称.点$ A_1 $与点$ A_2 $有怎样的对称关系?
小杰发现点$ A_2 $可看作是由点$ A_1 $绕着点$ O $旋转$ 180° $后得到,即点$ A_1 $与点$ A_2 $关于点$ O $成中心对称.为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘,他邀请爱思考的小华一起继续探究.
【初步探究】
如图2,他们先把一个$ \mathrm{Rt}△ OAB $沿直角边$ OB $翻折到$ △ OCB $的位置,然后沿斜边$ OC $翻折到$ △ OCD $的位置.他们发现$ △ OCD $可以看作是由$ △ OAB $通过一次得到的(填“平移”“轴对称”或“旋转”);若$ ∠ AOD = 96° $,则两条对称轴所形成的夹角(锐角)度数为.
【深入探究】
如图3,$ △ ABC $与$ △ A_1B_1C_1 $关于直线$ DE $对称,$ △ A_1B_1C_1 $与$ △ A_2B_2C_2 $关于直线$ FG $对称,直线$ DE $和$ FG $相交于点$ P $.他们通过研究发现$ △ A_2B_2C_2 $可以看作是由$ △ ABC $绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的.
①旋转中心为点;
②经过探究,他们发现两条对称轴之间的夹角$(α)$与旋转角$(β)$之间存在等量关系,请写出它们之间的等量关系,并说明理由.
答案
20.解:【初步探究】旋转 $32°$
【深入探究】①$P$
②$β=2α$.理由如下:
连接$PC$,$PC_1$,$PC_2$,如图.
由对称性质,可知$∠ CPD=∠ C_1PD$,$∠ C_1PF=∠ C_2PF$.
∵两条对称轴之间的夹角$α=∠ DPF=∠ C_1PD+∠ C_1PF$,
旋转角$β=∠ CPC_2=∠ CPD+∠ C_1PD+∠ C_1PF+∠ C_2PF=2(∠ C_1PD+∠ C_1PF)$,
$\therefore β=2α$.
【深入探究】①$P$
②$β=2α$.理由如下:
连接$PC$,$PC_1$,$PC_2$,如图.
由对称性质,可知$∠ CPD=∠ C_1PD$,$∠ C_1PF=∠ C_2PF$.
∵两条对称轴之间的夹角$α=∠ DPF=∠ C_1PD+∠ C_1PF$,
旋转角$β=∠ CPC_2=∠ CPD+∠ C_1PD+∠ C_1PF+∠ C_2PF=2(∠ C_1PD+∠ C_1PF)$,
$\therefore β=2α$.
解析
【分析】
1. 初步探究部分：首先判断变换类型，平移不改变图形朝向，轴对称是关于单条直线对称，本题中两次翻折后△OCD与△OAB有公共顶点O，图形朝向绕O发生转动，因此属于旋转变换。再求对称轴夹角：根据轴对称的对应角相等性质，两次翻折可得∠AOB=∠COB=∠COD，三个角和为∠AOD=96°，因此单个角的度数就是两条对称轴的锐角夹角度数。
2. 深入探究部分：①两次轴对称的对称轴交于点P，根据轴对称与旋转的关系，相交对称轴对应的两次轴对称等价于绕交点的旋转变换，因此旋转中心是两直线交点P。②推导角度关系：利用轴对称性质，对应点与对称轴的夹角相等，将旋转角拆分为两组相等角的和，即可推出旋转角和对称轴夹角的数量关系。
【解析】
初步探究
变换类型判断：平移不改变图形朝向，单轴对称是关于一条直线对称，本题中△OCD可看作△OAB绕点O转动得到，因此变换类型为旋转。
求对称轴夹角：由翻折的轴对称性质得，△OAB沿OB翻折得△OCB，故∠AOB=∠COB；△OCB沿OC翻折得△OCD，故∠COB=∠COD，因此∠AOB=∠COB=∠COD。已知∠AOD=96°，即3∠COB=96°，解得∠COB=32°，即两条对称轴的锐角夹角为32°。
深入探究
① 旋转中心确定：两次轴对称的对称轴DE、FG交于点P，相交对称轴对应的两次轴对称等价于绕交点的旋转变换，因此旋转中心为点P。
② 等量关系推导：$\boxed{β=2α}$，理由如下：
连接$PC$、$PC_1$、$PC_2$，根据轴对称性质：
△ABC与△$A_1B_1C_1$关于直线DE对称，故$∠CPD=∠C_1PD$；
△$A_1B_1C_1$与△$A_2B_2C_2$关于直线FG对称，故$∠C_1PF=∠C_2PF$。
由题意得，对称轴夹角$α=∠DPF=∠C_1PD+∠C_1PF$，
旋转角$β=∠CPC_2=∠CPD+∠C_1PD+∠C_1PF+∠C_2PF=2(∠C_1PD+∠C_1PF)$，
因此$β=2α$。
【答案】
【初步探究】旋转；$32°$
【深入探究】①$P$；②$β=2α$，理由见解析
【知识点】
轴对称的性质，旋转的性质，图形变换的转化
【点评】
本题探究轴对称与旋转的内在联系，需要灵活运用轴对称的对应角相等、旋转的核心概念推导结论，侧重考查几何逻辑推理能力，帮助理解不同图形变换之间的关联。
【难度系数】
0.6
1. 初步探究部分：首先判断变换类型，平移不改变图形朝向，轴对称是关于单条直线对称，本题中两次翻折后△OCD与△OAB有公共顶点O，图形朝向绕O发生转动，因此属于旋转变换。再求对称轴夹角：根据轴对称的对应角相等性质，两次翻折可得∠AOB=∠COB=∠COD，三个角和为∠AOD=96°，因此单个角的度数就是两条对称轴的锐角夹角度数。
2. 深入探究部分：①两次轴对称的对称轴交于点P，根据轴对称与旋转的关系，相交对称轴对应的两次轴对称等价于绕交点的旋转变换，因此旋转中心是两直线交点P。②推导角度关系：利用轴对称性质，对应点与对称轴的夹角相等，将旋转角拆分为两组相等角的和，即可推出旋转角和对称轴夹角的数量关系。
【解析】
初步探究
变换类型判断：平移不改变图形朝向，单轴对称是关于一条直线对称，本题中△OCD可看作△OAB绕点O转动得到，因此变换类型为旋转。
求对称轴夹角：由翻折的轴对称性质得，△OAB沿OB翻折得△OCB，故∠AOB=∠COB；△OCB沿OC翻折得△OCD，故∠COB=∠COD，因此∠AOB=∠COB=∠COD。已知∠AOD=96°，即3∠COB=96°，解得∠COB=32°，即两条对称轴的锐角夹角为32°。
深入探究
① 旋转中心确定：两次轴对称的对称轴DE、FG交于点P，相交对称轴对应的两次轴对称等价于绕交点的旋转变换，因此旋转中心为点P。
② 等量关系推导：$\boxed{β=2α}$，理由如下：
连接$PC$、$PC_1$、$PC_2$，根据轴对称性质：
△ABC与△$A_1B_1C_1$关于直线DE对称，故$∠CPD=∠C_1PD$；
△$A_1B_1C_1$与△$A_2B_2C_2$关于直线FG对称，故$∠C_1PF=∠C_2PF$。
由题意得，对称轴夹角$α=∠DPF=∠C_1PD+∠C_1PF$，
旋转角$β=∠CPC_2=∠CPD+∠C_1PD+∠C_1PF+∠C_2PF=2(∠C_1PD+∠C_1PF)$，
因此$β=2α$。
【答案】
【初步探究】旋转；$32°$
【深入探究】①$P$；②$β=2α$，理由见解析
【知识点】
轴对称的性质，旋转的性质，图形变换的转化
【点评】
本题探究轴对称与旋转的内在联系，需要灵活运用轴对称的对应角相等、旋转的核心概念推导结论，侧重考查几何逻辑推理能力，帮助理解不同图形变换之间的关联。
【难度系数】
0.6
