14. 如图，$△ ABO$与$△ CBO$关于$BO$成轴对称，延长$AC$到$Q$，使$CQ=OA$，$C$为$BP$中点，下列三角形中与$△ PQC$成中心对称的是 （）

A.$△ ABO$
B.$△ CBO$
C.$△ ABC$
D.$△ ACP$

14.B

【分析】
要判断与△PQC成中心对称的三角形，首先明确中心对称的特征：两个图形绕某一点旋转180°后能够完全重合，即对应边相等、对应点的连线都经过对称中心且被对称中心平分。我们可以先结合已知条件推导边的等量关系：首先利用轴对称性质得到OA=OC，结合CQ=OA可推出OC=CQ；再由C是BP中点得到BC=CP；最后结合对顶角相等，即可找到满足中心对称条件的三角形。
【解析】
1. 由△ABO与△CBO关于BO成轴对称，根据轴对称的性质可得：$OA=OC$。
2. 已知$CQ=OA$，等量代换得：$OC=CQ$。
3. 因为C为BP中点，根据中点定义可得：$BC=CP$。
4. $∠BCO$与$∠PCQ$是对顶角，因此$∠BCO=∠PCQ$。
5. 将△CBO绕点C旋转180°时，点B与点P重合，点O与点Q重合，点C与自身重合，△CBO与△PQC完全重合，因此二者关于点C成中心对称。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；中心对称的判定；中点的定义
【点评】
本题是基础几何概念应用题，解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称的性质，结合已知条件推导对应边的等量关系，即可快速找到符合要求的三角形。
【难度系数】
0.7

15.若点$A(2,m)$与点$B(n,-3)$关于原点对称，则$m+n=$.

15.1

【分析】
解题的核心是掌握关于原点对称的点的坐标特征。当两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以先根据这个特征分别求出m、n的取值，再将两个值相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵点$A(2,m)$与点$B(n,-3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ $n=-2$，$m=-(-3)=3$，
∴ $m+n=3+(-2)=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，主要考查原点对称的点的坐标规律的应用，解题的关键是熟记相关性质，计算难度低，掌握知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9

16.如图的图案由三个叶片组成,绕点O旋转$120°$后可以和自身重合.若每个叶片的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$,$∠ AOB=120°$,则图中阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.

16.4

【分析】
解题时首先结合题目给出的“绕点O旋转120°后和自身重合”的条件，想到旋转的性质：旋转前后图形的形状、大小完全不变，对应部分面积相等。观察阴影部分是分散的两块，且∠AOB=120°刚好等于旋转角，因此可以通过旋转的方法，将两块阴影拼接成一个规则的、已知面积的叶片，从而快速求出阴影面积，不需要分别计算两块阴影的大小。
【解析】
∵ 图案绕点O旋转120°后可与自身重合，
∴ 旋转120°后图形的对应部分完全重合，面积相等。
又
∵ ∠AOB=120°，和图形的最小旋转角相等，
∴ 可将∠AOB内的两块阴影部分通过旋转拼接，恰好组成1个完整的叶片。
已知每个叶片的面积为4$\mathrm{cm}^2$，因此阴影部分的面积等于1个叶片的面积，即4$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
4
【知识点】
旋转的性质，割补法求面积，旋转对称图形
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的关键是利用旋转的性质将分散的阴影部分转化为已知面积的规则图形，化繁为简，是几何面积计算中很常用的技巧。
【难度系数】
0.7

17.如图,将$\mathrm{Rt}△ ABC(∠ BAC=90°)$绕点$A$沿顺时针方向旋转一定角度得到$\mathrm{Rt}△ ADE$,点$B$的对应点$D$恰好落在$BC$边上.
(1)$△ ABD$是等腰三角形吗? $\underline{\hspace{3em}}$(选填“是”或“否”);
(2)若$∠ C=25°$,则$∠ CAE=\underline{\hspace{3em}}°$.

17.(1)是 (2)50

【分析】
(1) 要判断△ABD是否为等腰三角形，可根据旋转的性质得到AB和AD的数量关系：旋转前后对应边相等，因此AB=AD，满足等腰三角形两边相等的判定条件，即可得出结论。
(2) 先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再由AB=AD得到△ABD两底角相等，结合三角形内角和算出旋转角∠BAD的度数；最后根据旋转的性质，旋转角相等即∠BAD=∠CAE，即可求出∠CAE的度数。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，因此AB=AD，根据等腰三角形的定义，两边相等的三角形是等腰三角形，故△ABD是等腰三角形。
(2) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=25°，
∴ ∠B = 90° - ∠C = 90° - 25° = 65°，
∵ AB=AD，
∴ ∠ADB=∠B=65°，
在△ABD中，∠BAD = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 65° - 65° = 50°，
由旋转的性质可知，旋转角∠BAD=∠CAE，
∴ ∠CAE=50°。
【答案】
(1)是 (2)50
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的核心性质，结合三角形角度计算的相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.7

18.同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，如图，这是在$4×4$的正方形网格中设计的两种不同图案的一部分.
(1)请将图1中的阴影三角形以点$M$为旋转中心逆时针旋转$90°$，画出旋转后得到的三角形；
(2)利用图2中的阴影三角形，通过添加全等三角形的方式，补成一个图案，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形.(可以补充一个或多个)

18.解:(1)如图1.
(2)如图2.(答案不唯一)

【分析】
(1) 解决旋转作图问题，首先明确旋转三要素：旋转中心为点M，旋转方向是逆时针，旋转角度为90°。我们只需要先找到阴影三角形的三个顶点，分别作出每个顶点绕点M逆时针旋转90°后的对应点，再顺次连接三个对应点，即可得到旋转后的三角形。
(2) 要补出的图案同时是轴对称图形和中心对称图形，首先回忆两个对称的定义：轴对称图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合，中心对称图形绕某点旋转180°后能与自身重合。我们可以结合网格的对称性，添加与原阴影三角形全等的三角形，构造出同时满足两个对称性质的图案即可，画法不唯一。
【解析】
(1) ①标记阴影三角形的三个顶点，分别记为P、Q、R；
②根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，结合网格结构，分别确定点P、Q、R绕点M逆时针旋转90°后的对应点P'、Q'、R'；
③顺次连接P'、Q'、R'，得到的三角形即为所求。
(2) 参考常见的既轴对称又中心对称的图形（如菱形、正四边形等）的结构，在网格中合适的位置绘制与原阴影三角形全等的三角形，使得最终图案满足：存在至少一条直线，沿直线折叠后图案两旁部分完全重合；同时存在一个点，图案绕该点旋转180°后能与自身重合即可，本题答案不唯一。
【答案】

【知识点】
旋转作图，轴对称图形，中心对称图形
【点评】
本题属于网格作图类的常规题型，综合考查了图形旋转的性质、轴对称与中心对称的特征，既要求学生掌握基本的作图方法，也通过开放性的第二问培养学生的图形感知与设计能力，难度适中。
【难度系数】
0.75

19.在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定角度(旋转角度小于$360°$)后,能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,旋转的角称为旋转角.例如:正方形绕着它的对角线交点旋转$90°,180°,270°$都能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形.
(1)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是$120°$的是________;(填序号)
①等边三角形 ②正六边形 ③正八边形
(2)正五边形显然满足下面两个条件:①是旋转对称图形,且有一个旋转角是$72°$;②是轴对称图形,但不是中心对称图形.请你找出一种图形也同时满足上述两个条件.

19.解:(1)$360°÷3=120°$,$360°÷6=60°$,$360°÷8=45°$,
$120°$能被$120°$,$60°$整除,不能被$45°$整除,
∴①等边三角形和②正六边形是旋转对称图形,且有一个旋转角是$120°$.
故答案为①②.
(2)$360°÷72°=5$,故是轴对称图形,但不是中心对称图形,可为正多边形,其中边数为奇数且为5的整数倍,如正十五边形.

【分析】
（1）解决第一问的核心是明确正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，若图形存在旋转角$120°$，则$120°$必须是最小旋转角的整数倍。我们只需分别计算三个正多边形的最小旋转角，再判断$120°$是否为其整数倍即可。
（2）解决第二问要先拆解两个要求：①是旋转对称图形且有旋转角$72°$，说明$\frac{360°}{n} × k = 72°$（k为正整数），即边数n是5的正整数倍；②是轴对称但不是中心对称图形，正多边形中边数为偶数的才是中心对称图形，因此n必须是奇数，即n为5的奇数倍，据此举例即可。
【解析】
(1) 分别计算三个正多边形的最小旋转角：
①等边三角形：$\frac{360°}{3}=120°$，旋转$120°$可与自身重合，符合要求；
②正六边形：$\frac{360°}{6}=60°$，$120°÷60°=2$，即旋转$120°$（2倍最小旋转角）可与自身重合，符合要求；
③正八边形：$\frac{360°}{8}=45°$，$120°÷45°$不是整数，旋转$120°$无法与自身重合，不符合要求。
因此符合要求的是①②。
(2) 由有一个旋转角为$72°$可得：正多边形边数n满足$\frac{360°}{n} × k=72°$（k为正整数），化简得$n=5k$；又因为图形是轴对称但不是中心对称图形，正多边形边数为奇数时不是中心对称图形，因此k取奇数即可，比如k=3时，n=15，即正十五边形符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{①②}$
(2) 正十五边形（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 旋转对称图形概念
2. 正多边形旋转性质
3. 对称图形的判定
【点评】
本题围绕旋转对称图形的定义展开考查，结合正多边形的性质和对称图形的判别出题，解题的关键是掌握正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，同时明确正多边形的对称性和边数的关系，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7