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1. [2023·濮阳二模]某学校组织艺术摄影展,上交的作品要求如下:七寸照片(长7英寸,宽5英寸);将照片贴在一张矩形衬纸的正中央,照片四周外露衬纸的宽度相同;矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸(如图),下面所列方程正确的是 (
A.$(7+x)(5+x)×3=7×5$
B.$(7+x)(5+x)=3×7×5$
C.$(7+2x)(5+2x)×3=7×5$
D.$(7+2x)(5+2x)=3×7×5$
D
)A.$(7+x)(5+x)×3=7×5$
B.$(7+x)(5+x)=3×7×5$
C.$(7+2x)(5+2x)×3=7×5$
D.$(7+2x)(5+2x)=3×7×5$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心等量关系：矩形衬纸的面积=照片面积×3。首先计算照片面积，再推导衬纸的长和宽：照片四周外露宽度均为x，说明衬纸的长比照片长左右各多x，总共多2x；衬纸的宽比照片宽上下各多x，总共多2x。最后根据等量关系列方程，匹配选项即可。
【解析】
1. 计算照片面积：照片长7英寸、宽5英寸，面积为 $7×5$ 平方英寸。
2. 推导衬纸的长和宽：因为照片四周外露衬纸宽度均为x英寸，所以衬纸的长为 $7+2x$ 英寸，衬纸的宽为 $5+2x$ 英寸。
3. 根据题意列方程：衬纸面积是照片面积的3倍，衬纸面积为 $(7+2x)(5+2x)$，因此可得方程 $(7+2x)(5+2x)=3×7×5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类应用题，解题的关键是正确表示衬纸的长宽，注意外露宽度在矩形两个对边都存在，避免漏乘2，找准等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目核心等量关系：矩形衬纸的面积=照片面积×3。首先计算照片面积，再推导衬纸的长和宽：照片四周外露宽度均为x，说明衬纸的长比照片长左右各多x，总共多2x；衬纸的宽比照片宽上下各多x，总共多2x。最后根据等量关系列方程，匹配选项即可。
【解析】
1. 计算照片面积：照片长7英寸、宽5英寸，面积为 $7×5$ 平方英寸。
2. 推导衬纸的长和宽：因为照片四周外露衬纸宽度均为x英寸，所以衬纸的长为 $7+2x$ 英寸，衬纸的宽为 $5+2x$ 英寸。
3. 根据题意列方程：衬纸面积是照片面积的3倍，衬纸面积为 $(7+2x)(5+2x)$，因此可得方程 $(7+2x)(5+2x)=3×7×5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类应用题，解题的关键是正确表示衬纸的长宽，注意外露宽度在矩形两个对边都存在，避免漏乘2，找准等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. [2025·三门峡二模]为尽快恢复经济,某企业加大生产力度,四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.若该企业五、六月份平均每月的增长率为$ x $,则下列方程中正确的是 (
A.$ 50(1+x)^2 = 182 $
B.$ 50+50(1+x)+50(1+2x) = 182 $
C.$ 50(1+2x)^2 = 182 $
D.$ 50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182 $
D
)A.$ 50(1+x)^2 = 182 $
B.$ 50+50(1+x)+50(1+2x) = 182 $
C.$ 50(1+2x)^2 = 182 $
D.$ 50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182 $
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确第二季度包含四月、五月、六月三个月的产量，我们需要分别表示出三个月的产量，再根据总产量为182万个列方程。已知四月份产量为50万个，五、六月份平均月增长率为x，五月份产量是在四月份基础上增长x，可表示为50(1+x)万个；六月份是在五月份基础上再增长x，可表示为50(1+x)²万个，最后将三个月产量相加等于总产量即可得到对应方程。
【解析】
第二季度总产量为四月、五月、六月三个月的产量之和：
1. 四月份产量：题目已知为50万个；
2. 五月份产量：月平均增长率为x，因此五月份产量=四月份产量×(1+x)=50(1+x)万个；
3. 六月份产量：在五月份产量基础上增长x，因此六月份产量=五月份产量×(1+x)=50(1+x)·(1+x)=50(1+x)²万个。
结合第二季度总产量为182万个，列方程得：
$50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类典型应用题，解题核心是明确总产量对应的统计范围，正确区分单利和复利的表达式，避免出现漏算前两个月产量、或错误将六月份产量写为50(1+2x)的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确第二季度包含四月、五月、六月三个月的产量，我们需要分别表示出三个月的产量，再根据总产量为182万个列方程。已知四月份产量为50万个，五、六月份平均月增长率为x，五月份产量是在四月份基础上增长x，可表示为50(1+x)万个；六月份是在五月份基础上再增长x，可表示为50(1+x)²万个，最后将三个月产量相加等于总产量即可得到对应方程。
【解析】
第二季度总产量为四月、五月、六月三个月的产量之和：
1. 四月份产量：题目已知为50万个；
2. 五月份产量：月平均增长率为x，因此五月份产量=四月份产量×(1+x)=50(1+x)万个；
3. 六月份产量：在五月份产量基础上增长x，因此六月份产量=五月份产量×(1+x)=50(1+x)·(1+x)=50(1+x)²万个。
结合第二季度总产量为182万个，列方程得：
$50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类典型应用题，解题核心是明确总产量对应的统计范围，正确区分单利和复利的表达式，避免出现漏算前两个月产量、或错误将六月份产量写为50(1+2x)的问题。
【难度系数】
0.7
3. 学校连续三年组织学生参加义务植树,第一年共植树 400 棵,第三年共植树625 棵.设该校植树棵数的年平均增长率为 x,根据题意,下列方程正确的是(
A.$625(1-x)^2=400$
B.$400(1+x)^2=625$
C.$625x^2=400$
D.$400x^2=625$
B
)A.$625(1-x)^2=400$
B.$400(1+x)^2=625$
C.$625x^2=400$
D.$400x^2=625$
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道平均增长率的应用题，解题时首先要明确三个核心量：初始值、增长次数、最终值。本题中初始植树量为第一年的400棵，从第一年到第三年共经过2次增长，最终值为第三年的625棵，年平均增长率为x。我们可以根据平均增长率的计算公式，逐步推导各年的植树量，最终列出对应方程匹配选项。
【解析】
1. 计算第二年的植树棵数：第一年植树400棵，年平均增长率为x，因此第二年的植树棵数为 $400(1+x)$ 棵；
2. 计算第三年的植树棵数：在第二年的植树棵数基础上继续以增长率x增长，因此第三年的植树棵数为 $400(1+x) × (1+x) = 400(1+x)^2$ 棵；
3. 已知第三年共植树625棵，因此可列方程：$400(1+x)^2 = 625$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题关键是找准初始量、最终量和增长次数，牢记平均增长率的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的应用题，解题时首先要明确三个核心量：初始值、增长次数、最终值。本题中初始植树量为第一年的400棵，从第一年到第三年共经过2次增长，最终值为第三年的625棵，年平均增长率为x。我们可以根据平均增长率的计算公式，逐步推导各年的植树量，最终列出对应方程匹配选项。
【解析】
1. 计算第二年的植树棵数：第一年植树400棵，年平均增长率为x，因此第二年的植树棵数为 $400(1+x)$ 棵；
2. 计算第三年的植树棵数：在第二年的植树棵数基础上继续以增长率x增长，因此第三年的植树棵数为 $400(1+x) × (1+x) = 400(1+x)^2$ 棵；
3. 已知第三年共植树625棵，因此可列方程：$400(1+x)^2 = 625$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题关键是找准初始量、最终量和增长次数，牢记平均增长率的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 为积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，某楼盘商品房成交价由今年1月份的每平方米10 000元下降到3月份的每平方米8 100元，若今年前四个月房价每月的下降率保持一致，则小康爸爸
1. 为积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，某楼盘商品房成交价由今年1月份的每平方米10 000元下降到3月份的每平方米8 100元，若今年前四个月房价每月的下降率保持一致，则小康爸爸
能
（填“能”或“不能”）在4月份用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房。答案
1. 能
解析
【分析】
本题属于平均下降率的实际应用问题，解题思路可分为三步：首先设每月房价的下降率为x，根据1月份和3月份的商品房成交单价的等量关系列出一元二次方程；其次求解方程得到符合实际意义的下降率，进而计算出4月份的商品房单价；最后计算80平方米商品房的总房款，和60万元比较大小即可得出结论。
【解析】
设该楼盘商品房成交价每月的下降率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 10000(1-x)^2 = 8100 $
整理得：$ (1-x)^2 = 0.81 $
开方得：$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）
则4月份该楼盘商品房的单价为：
$ 8100 × (1-10\%) = 8100 × 0.9 = 7290 $（元/平方米）
购买80平方米的总房款为：
$ 7290 × 80 = 583200 $元 = 58.32万元
因为$ 58.32 ＜ 60 $，所以小康爸爸能在4月份用60万元买下该套商品房。
【答案】
能
【知识点】
一元二次方程的实际应用、平均变化率问题
【点评】
本题结合房产调控的生活场景考查数学知识的应用，解题的核心是正确找到平均变化率问题的等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
本题属于平均下降率的实际应用问题，解题思路可分为三步：首先设每月房价的下降率为x，根据1月份和3月份的商品房成交单价的等量关系列出一元二次方程；其次求解方程得到符合实际意义的下降率，进而计算出4月份的商品房单价；最后计算80平方米商品房的总房款，和60万元比较大小即可得出结论。
【解析】
设该楼盘商品房成交价每月的下降率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 10000(1-x)^2 = 8100 $
整理得：$ (1-x)^2 = 0.81 $
开方得：$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）
则4月份该楼盘商品房的单价为：
$ 8100 × (1-10\%) = 8100 × 0.9 = 7290 $（元/平方米）
购买80平方米的总房款为：
$ 7290 × 80 = 583200 $元 = 58.32万元
因为$ 58.32 ＜ 60 $，所以小康爸爸能在4月份用60万元买下该套商品房。
【答案】
能
【知识点】
一元二次方程的实际应用、平均变化率问题
【点评】
本题结合房产调控的生活场景考查数学知识的应用，解题的核心是正确找到平均变化率问题的等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
2. 要用24 cm长的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三边形,则两条直角边长分别是
6 cm,8 cm
.答案
2. 6 cm,8 cm
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，铁丝总长24cm即直角三角形周长为24cm，已知斜边长10cm，可先求出两条直角边的长度和为24-10=14cm；再结合直角三角形的勾股定理，设其中一条直角边为未知数，用含未知数的式子表示另一条直角边，列一元二次方程求解，最后验证解是否符合边长为正的实际要求即可。
【解析】
解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(24-10-x)=(14-x)cm。
根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），可列方程：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
展开得：$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
合并同类项并整理得：$2x^2 - 28x + 96 = 0$
两边同时除以2得：$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$
当x=6时，另一条直角边为$14-6=8\ \mathrm{cm}$；当x=8时，另一条直角边为$14-8=6\ \mathrm{cm}$，均符合边长为正的实际意义。
【答案】
6 cm,8 cm
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，核心是利用周长关系表示出两条直角边的数量关系，再结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意所得解要符合实际边长的取值要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，铁丝总长24cm即直角三角形周长为24cm，已知斜边长10cm，可先求出两条直角边的长度和为24-10=14cm；再结合直角三角形的勾股定理，设其中一条直角边为未知数，用含未知数的式子表示另一条直角边，列一元二次方程求解，最后验证解是否符合边长为正的实际要求即可。
【解析】
解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(24-10-x)=(14-x)cm。
根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），可列方程：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
展开得：$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
合并同类项并整理得：$2x^2 - 28x + 96 = 0$
两边同时除以2得：$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$
当x=6时，另一条直角边为$14-6=8\ \mathrm{cm}$；当x=8时，另一条直角边为$14-8=6\ \mathrm{cm}$，均符合边长为正的实际意义。
【答案】
6 cm,8 cm
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，核心是利用周长关系表示出两条直角边的数量关系，再结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意所得解要符合实际边长的取值要求。
【难度系数】
0.7
3. 心理学家发现:学生对概念的接受能力$y$与提出概念的时间$x$(分)之间的关系式为$y=-0.1x^2+2.6x+43(0＜x≤30)$. 若要达到最强接受能力$59.9$,则需________分.
答案
3. 13
解析
【分析】
题目已知接受能力y与时间x的函数关系式，要求最强接受能力59.9对应的时间x，只需将y=59.9代入函数关系式，转化为关于x的一元二次方程求解，最后验证解是否符合x的取值范围$0＜x≤30$即可。
【解析】
解：根据题意，把$y=59.9$代入$y=-0.1x^2+2.6x+43$中，得：
$\begin{aligned}-0.1x^2 + 2.6x + 43 &= 59.9 \\-0.1x^2 + 2.6x - 16.9 &= 0 \\\quad \mathrm{两边同乘}-10\mathrm{消去小数得：} \quad x^2 - 26x + 169 &= 0 \\\quad \mathrm{因式分解得：} \quad (x-13)^2 &= 0 \\\end{aligned}$
解得$x=13$，验证得$0＜13≤30$，符合自变量取值要求。
【答案】
13
【知识点】
二次函数应用、一元二次方程解法、自变量取值范围
【点评】
本题结合实际情境考查函数与方程的联系，解题关键是明确已知函数值求自变量时，直接代入解析式转化为方程求解即可，最终结果要注意符合实际的取值限制。
【难度系数】
0.8
题目已知接受能力y与时间x的函数关系式，要求最强接受能力59.9对应的时间x，只需将y=59.9代入函数关系式，转化为关于x的一元二次方程求解，最后验证解是否符合x的取值范围$0＜x≤30$即可。
【解析】
解：根据题意，把$y=59.9$代入$y=-0.1x^2+2.6x+43$中，得：
$\begin{aligned}-0.1x^2 + 2.6x + 43 &= 59.9 \\-0.1x^2 + 2.6x - 16.9 &= 0 \\\quad \mathrm{两边同乘}-10\mathrm{消去小数得：} \quad x^2 - 26x + 169 &= 0 \\\quad \mathrm{因式分解得：} \quad (x-13)^2 &= 0 \\\end{aligned}$
解得$x=13$，验证得$0＜13≤30$，符合自变量取值要求。
【答案】
13
【知识点】
二次函数应用、一元二次方程解法、自变量取值范围
【点评】
本题结合实际情境考查函数与方程的联系，解题关键是明确已知函数值求自变量时，直接代入解析式转化为方程求解即可，最终结果要注意符合实际的取值限制。
【难度系数】
0.8
