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三、解答题
1. 某工人第一季度完成生产定额 200 件,如果每一季度比上季度提高的百分数相同,结果第二季度与第三季度共生产 528 件. 求这个百分数.
1. 某工人第一季度完成生产定额 200 件,如果每一季度比上季度提高的百分数相同,结果第二季度与第三季度共生产 528 件. 求这个百分数.
答案
1. 20%
解析
【分析】
这是一道增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设每季度比上季度提高的百分数为$x$，明确增长率问题的核心公式：现期量=基期量×(1+增长率)；2. 以第一季度产量为基础，分别推导第二、第三季度的产量表达式：第二季度以第一季度为基期，产量为$200(1+x)$，第三季度以第二季度为基期，产量为$200(1+x)^2$；3. 根据“第二季度与第三季度总产量为528件”的等量关系列方程；4. 解方程后舍去不符合实际意义的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设这个提高的百分数为$x$。
根据题意列方程：
$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 528$
两边同时除以200化简得：
$(1+x)+(1+x)^2=2.64$
展开并整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+3x-0.64=0$
两边同乘100消去小数后化简得：
$25x^2+75x-16=0$
因式分解得：
$(5x-1)(5x+16)=0$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-3.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-3.2$。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是准确根据增长率公式表示出各阶段的对应量，再结合题干给出的等量关系列方程求解，最后要注意对解的结果进行实际意义的校验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设每季度比上季度提高的百分数为$x$，明确增长率问题的核心公式：现期量=基期量×(1+增长率)；2. 以第一季度产量为基础，分别推导第二、第三季度的产量表达式：第二季度以第一季度为基期，产量为$200(1+x)$，第三季度以第二季度为基期，产量为$200(1+x)^2$；3. 根据“第二季度与第三季度总产量为528件”的等量关系列方程；4. 解方程后舍去不符合实际意义的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设这个提高的百分数为$x$。
根据题意列方程：
$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 528$
两边同时除以200化简得：
$(1+x)+(1+x)^2=2.64$
展开并整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+3x-0.64=0$
两边同乘100消去小数后化简得：
$25x^2+75x-16=0$
因式分解得：
$(5x-1)(5x+16)=0$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-3.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-3.2$。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是准确根据增长率公式表示出各阶段的对应量，再结合题干给出的等量关系列方程求解，最后要注意对解的结果进行实际意义的校验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
2. 某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元. 为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现,如果这种衬衫的售价每降低 1 元,那么商场平均每天可多售出 2 件,商场若要平均每天盈利 1 200 元,每件衬衫应降价多少元?
答案
2. 20元
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心依据是“总利润=单件商品利润×销售总数量”的等量关系。解题时先设每件衬衫降价x元，分别推导降价后的单件利润和日销售量：降价x元后，单件利润从40元变为(40-x)元；每降价1元多售2件，因此日销售量从20件变为(20+2x)件。再结合总盈利1200元的要求列一元二次方程求解，最后根据“尽快减少库存”的要求筛选解：降价幅度越大，日销售量越高，去库存速度越快，因此要选择数值更大的解。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元，根据题意可列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开并整理方程：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
因商场需要尽快减少库存，降价越多销量越高，去库存越快，故舍去$x=10$，取$x=20$。
【答案】
20元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润计算、解的合理性判断
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，易错点在于求解方程后忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，直接保留两个解，解题时要注意结合实际场景对数学解进行筛选，保证答案符合题意要求。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心依据是“总利润=单件商品利润×销售总数量”的等量关系。解题时先设每件衬衫降价x元，分别推导降价后的单件利润和日销售量：降价x元后，单件利润从40元变为(40-x)元；每降价1元多售2件，因此日销售量从20件变为(20+2x)件。再结合总盈利1200元的要求列一元二次方程求解，最后根据“尽快减少库存”的要求筛选解：降价幅度越大，日销售量越高，去库存速度越快，因此要选择数值更大的解。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元，根据题意可列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开并整理方程：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
因商场需要尽快减少库存，降价越多销量越高，去库存越快，故舍去$x=10$，取$x=20$。
【答案】
20元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润计算、解的合理性判断
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，易错点在于求解方程后忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，直接保留两个解，解题时要注意结合实际场景对数学解进行筛选，保证答案符合题意要求。
【难度系数】
0.7
3. [2024·河南模拟]春节期间,某超市推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中的一种.
活动一:所有商品按八折出售.
活动二:购物金额每满 100 元减 25 元.
设某顾客的购物金额为 $ x $ 元.
(1) 当购物金额为 180 元时,选择活动一需付 ______ 元,选择活动二需付 ______ 元.
(2) 当 $ 200＜x＜300 $ 时,请分别写出选择活动一和活动二的实付金额 $ y $(元)关于购物金额 $ x $(元)之间的关系式,并说明选择哪种活动更省钱.
(3) 若该顾客选择活动二后的实付金额为 375 元,求该顾客的购物金额.
活动一:所有商品按八折出售.
活动二:购物金额每满 100 元减 25 元.
设某顾客的购物金额为 $ x $ 元.
(1) 当购物金额为 180 元时,选择活动一需付 ______ 元,选择活动二需付 ______ 元.
(2) 当 $ 200＜x＜300 $ 时,请分别写出选择活动一和活动二的实付金额 $ y $(元)关于购物金额 $ x $(元)之间的关系式,并说明选择哪种活动更省钱.
(3) 若该顾客选择活动二后的实付金额为 375 元,求该顾客的购物金额.
答案
3. (1)144 155
(2)解:活动一:$y=0.8x$.
活动二:$y=x-50$.
当$0.8x＜x-50$,即$250＜x＜300$时,选择活动一更省钱;
当$0.8x=x-50$,即$x=250$时,选择活动一和活动二的实付金额相同;
当$0.8x＞x-50$,即$200＜x＜250$时,选择活动二更省钱.
(3)解:当$375＜x＜400$时,实付金额小于$400-3×25=325$.
当$400≤x＜500$时,由$x-4×25=375$,解得$x=475$.
当$500≤x＜600$时,由$x-5×25=375$,解得$x=500$.
故该顾客的购物金额为475元或500元.
(2)解:活动一:$y=0.8x$.
活动二:$y=x-50$.
当$0.8x＜x-50$,即$250＜x＜300$时,选择活动一更省钱;
当$0.8x=x-50$,即$x=250$时,选择活动一和活动二的实付金额相同;
当$0.8x＞x-50$,即$200＜x＜250$时,选择活动二更省钱.
(3)解:当$375＜x＜400$时,实付金额小于$400-3×25=325$.
当$400≤x＜500$时,由$x-4×25=375$,解得$x=475$.
当$500≤x＜600$时,由$x-5×25=375$,解得$x=500$.
故该顾客的购物金额为475元或500元.
解析
【分析】
(1) 第一小问直接套用两种活动的优惠规则计算即可：活动一按八折计算，实付金额为购物金额乘0.8；活动二先判断180元包含1个满100的额度，直接减去25元即可得到实付金额。
(2) 第二小问，当200＜x＜300时，活动一优惠规则不变，可直接写出函数关系式；活动二此时购物金额满2个100元，可减50元，对应写出函数关系式。要判断哪种活动更省钱，只需比较两个函数值的大小，分y₁＜y₂、y₁=y₂、y₁＞y₂三种情况解不等式或方程，结合x的取值范围得到结论即可。
(3) 第三小问需要根据实付金额反推购物金额的可能区间：先计算不同满减档位对应的实付范围，排除不符合的区间，再对符合条件的区间列方程求解，最后验证解是否在对应区间内即可。
【解析】
(1) 活动一实付金额：$180×0.8=144$（元）
活动二实付金额：180元包含1个满100元额度，可减25元，即$180-25=155$（元）
(2) 当$200＜x＜300$时：
活动一所有商品打八折，因此实付金额$y=0.8x$；
活动二购物金额满2个100元，可减$2×25=50$元，因此实付金额$y=x-50$。
比较两种活动的实付金额：
① 若活动一更省钱，即$0.8x＜x-50$，解得$x＞250$，结合$200＜x＜300$，得$250＜x＜300$时活动一更省钱；
② 若两种活动实付金额相同，即$0.8x=x-50$，解得$x=250$，符合取值范围；
③ 若活动二更省钱，即$0.8x＞x-50$，解得$x＜250$，结合$200＜x＜300$，得$200＜x＜250$时活动二更省钱。
(3) 已知活动二实付375元，按满减规则分区间讨论：
① 若$x＜400$，最多满3个100元，最多减$3×25=75$元，实付最多为$400-75=325$元$＜375$元，不符合，排除；
② 若$400\le x＜500$，满4个100元，可减$4×25=100$元，列方程$x-100=375$，解得$x=475$，符合区间要求；
③ 若$500\le x＜600$，满5个100元，可减$5×25=125$元，列方程$x-125=375$，解得$x=500$，符合区间要求；
④ 若$x\ge600$，最少满6个100元，最少减$6×25=150$元，实付最少为$600-150=450$元$＞375$元，不符合，排除。
因此购物金额为475元或500元。
【答案】
(1) 144；155
(2) 活动一：$y=0.8x$；活动二：$y=x-50$；当$250＜x＜300$时选择活动一更省钱，当$x=250$时两种活动实付金额相同，当$200＜x＜250$时选择活动二更省钱。
(3) 475元或500元
【知识点】
一次函数应用、一元一次不等式应用、分段计费问题
【点评】
本题结合生活中超市优惠的实际场景出题，考查学生对优惠规则的理解能力，以及运用函数、不等式解决实际方案选择问题的能力，解题时需注意分区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 第一小问直接套用两种活动的优惠规则计算即可：活动一按八折计算，实付金额为购物金额乘0.8；活动二先判断180元包含1个满100的额度，直接减去25元即可得到实付金额。
(2) 第二小问，当200＜x＜300时，活动一优惠规则不变，可直接写出函数关系式；活动二此时购物金额满2个100元，可减50元，对应写出函数关系式。要判断哪种活动更省钱，只需比较两个函数值的大小，分y₁＜y₂、y₁=y₂、y₁＞y₂三种情况解不等式或方程，结合x的取值范围得到结论即可。
(3) 第三小问需要根据实付金额反推购物金额的可能区间：先计算不同满减档位对应的实付范围，排除不符合的区间，再对符合条件的区间列方程求解，最后验证解是否在对应区间内即可。
【解析】
(1) 活动一实付金额：$180×0.8=144$（元）
活动二实付金额：180元包含1个满100元额度，可减25元，即$180-25=155$（元）
(2) 当$200＜x＜300$时：
活动一所有商品打八折，因此实付金额$y=0.8x$；
活动二购物金额满2个100元，可减$2×25=50$元，因此实付金额$y=x-50$。
比较两种活动的实付金额：
① 若活动一更省钱，即$0.8x＜x-50$，解得$x＞250$，结合$200＜x＜300$，得$250＜x＜300$时活动一更省钱；
② 若两种活动实付金额相同，即$0.8x=x-50$，解得$x=250$，符合取值范围；
③ 若活动二更省钱，即$0.8x＞x-50$，解得$x＜250$，结合$200＜x＜300$，得$200＜x＜250$时活动二更省钱。
(3) 已知活动二实付375元，按满减规则分区间讨论：
① 若$x＜400$，最多满3个100元，最多减$3×25=75$元，实付最多为$400-75=325$元$＜375$元，不符合，排除；
② 若$400\le x＜500$，满4个100元，可减$4×25=100$元，列方程$x-100=375$，解得$x=475$，符合区间要求；
③ 若$500\le x＜600$，满5个100元，可减$5×25=125$元，列方程$x-125=375$，解得$x=500$，符合区间要求；
④ 若$x\ge600$，最少满6个100元，最少减$6×25=150$元，实付最少为$600-150=450$元$＞375$元，不符合，排除。
因此购物金额为475元或500元。
【答案】
(1) 144；155
(2) 活动一：$y=0.8x$；活动二：$y=x-50$；当$250＜x＜300$时选择活动一更省钱，当$x=250$时两种活动实付金额相同，当$200＜x＜250$时选择活动二更省钱。
(3) 475元或500元
【知识点】
一次函数应用、一元一次不等式应用、分段计费问题
【点评】
本题结合生活中超市优惠的实际场景出题，考查学生对优惠规则的理解能力，以及运用函数、不等式解决实际方案选择问题的能力，解题时需注意分区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
