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四、计算下面各题，能简算的要简算。
$\frac{8}{9} × [ \frac{3}{7} ÷ ( \frac{2}{3} + \frac{1}{7} ) ]$
$\frac{1}{5} - ( \frac{1}{5} × \frac{1}{3} - \frac{1}{30} )$
$0.4 × [ \frac{11}{21} ÷ ( \frac{4}{7} - \frac{2}{9} ) ]$
$13.7 × 0.25 × 8$
$0.51 × (2 + 0.92) ÷ 0.4$
$85.87 - (5.87 + 2.9) - 7.1$
$\frac{8}{9} × [ \frac{3}{7} ÷ ( \frac{2}{3} + \frac{1}{7} ) ]$
$\frac{1}{5} - ( \frac{1}{5} × \frac{1}{3} - \frac{1}{30} )$
$0.4 × [ \frac{11}{21} ÷ ( \frac{4}{7} - \frac{2}{9} ) ]$
$13.7 × 0.25 × 8$
$0.51 × (2 + 0.92) ÷ 0.4$
$85.87 - (5.87 + 2.9) - 7.1$
答案
1. $\frac{8}{17}$
2. $\frac{1}{6}$
3. $\frac{3}{5}$
4. $27.4$
5. $3.723$
6. $70$
2. $\frac{1}{6}$
3. $\frac{3}{5}$
4. $27.4$
5. $3.723$
6. $70$
解析
【分析】
解答这类四则混合运算题，首先要明确运算顺序：有括号时先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算；无括号时先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算。遇到可简算的题目，要观察数字特征，灵活运用乘法结合律、减法的性质等运算定律简化计算，降低计算难度、减少出错概率。
【解析】
1. $\frac{8}{9} × [ \frac{3}{7} ÷ ( \frac{2}{3} + \frac{1}{7} ) ]$
第一步算小括号内的加法：$\frac{2}{3}+\frac{1}{7}=\frac{14}{21}+\frac{3}{21}=\frac{17}{21}$
第二步算中括号内的除法：$\frac{3}{7}÷\frac{17}{21}=\frac{3}{7}×\frac{21}{17}=\frac{9}{17}$
第三步算括号外的乘法：$\frac{8}{9}×\frac{9}{17}=\frac{8}{17}$
2. $\frac{1}{5} - ( \frac{1}{5} × \frac{1}{3} - \frac{1}{30} )$
第一步算小括号内的乘法：$\frac{1}{5}×\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$
第二步算小括号内的减法：$\frac{1}{15}-\frac{1}{30}=\frac{2}{30}-\frac{1}{30}=\frac{1}{30}$
第三步算括号外的减法：$\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{6}{30}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6}$
3. $0.4 × [ \frac{11}{21} ÷ ( \frac{4}{7} - \frac{2}{9} ) ]$
第一步算小括号内的减法：$\frac{4}{7}-\frac{2}{9}=\frac{36}{63}-\frac{14}{63}=\frac{22}{63}$
第二步算中括号内的除法：$\frac{11}{21}÷\frac{22}{63}=\frac{11}{21}×\frac{63}{22}=\frac{3}{2}$
第三步算括号外的乘法：$0.4×\frac{3}{2}=\frac{2}{5}×\frac{3}{2}=\frac{3}{5}$
4. $13.7 × 0.25 × 8$
利用乘法结合律简算，先算$0.25×8=2$，再算$13.7×2=27.4$
5. $0.51 × (2 + 0.92) ÷ 0.4$
第一步算小括号内的加法：$2+0.92=2.92$
第二步算乘法：$0.51×2.92=1.4892$
第三步算除法：$1.4892÷0.4=3.723$
6. $85.87 - (5.87 + 2.9) - 7.1$
利用减法的性质简算，去括号得$85.87-5.87-2.9-7.1$，分组计算得$(85.87-5.87)-(2.9+7.1)=80-10=70$
【答案】
1. $\frac{8}{17}$
2. $\frac{1}{6}$
3. $\frac{3}{5}$
4. $27.4$
5. $3.723$
6. $70$
【知识点】
四则混合运算、运算律简算、分数小数互化
【点评】
这类题目侧重考察运算顺序的掌握程度和运算律的灵活运用能力，计算时要注意通分、约分的准确性，简算题目要先观察数字特点再选择合适的方法，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解答这类四则混合运算题，首先要明确运算顺序：有括号时先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算；无括号时先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算。遇到可简算的题目，要观察数字特征，灵活运用乘法结合律、减法的性质等运算定律简化计算，降低计算难度、减少出错概率。
【解析】
1. $\frac{8}{9} × [ \frac{3}{7} ÷ ( \frac{2}{3} + \frac{1}{7} ) ]$
第一步算小括号内的加法：$\frac{2}{3}+\frac{1}{7}=\frac{14}{21}+\frac{3}{21}=\frac{17}{21}$
第二步算中括号内的除法：$\frac{3}{7}÷\frac{17}{21}=\frac{3}{7}×\frac{21}{17}=\frac{9}{17}$
第三步算括号外的乘法：$\frac{8}{9}×\frac{9}{17}=\frac{8}{17}$
2. $\frac{1}{5} - ( \frac{1}{5} × \frac{1}{3} - \frac{1}{30} )$
第一步算小括号内的乘法：$\frac{1}{5}×\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$
第二步算小括号内的减法：$\frac{1}{15}-\frac{1}{30}=\frac{2}{30}-\frac{1}{30}=\frac{1}{30}$
第三步算括号外的减法：$\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{6}{30}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6}$
3. $0.4 × [ \frac{11}{21} ÷ ( \frac{4}{7} - \frac{2}{9} ) ]$
第一步算小括号内的减法：$\frac{4}{7}-\frac{2}{9}=\frac{36}{63}-\frac{14}{63}=\frac{22}{63}$
第二步算中括号内的除法：$\frac{11}{21}÷\frac{22}{63}=\frac{11}{21}×\frac{63}{22}=\frac{3}{2}$
第三步算括号外的乘法：$0.4×\frac{3}{2}=\frac{2}{5}×\frac{3}{2}=\frac{3}{5}$
4. $13.7 × 0.25 × 8$
利用乘法结合律简算，先算$0.25×8=2$，再算$13.7×2=27.4$
5. $0.51 × (2 + 0.92) ÷ 0.4$
第一步算小括号内的加法：$2+0.92=2.92$
第二步算乘法：$0.51×2.92=1.4892$
第三步算除法：$1.4892÷0.4=3.723$
6. $85.87 - (5.87 + 2.9) - 7.1$
利用减法的性质简算，去括号得$85.87-5.87-2.9-7.1$，分组计算得$(85.87-5.87)-(2.9+7.1)=80-10=70$
【答案】
1. $\frac{8}{17}$
2. $\frac{1}{6}$
3. $\frac{3}{5}$
4. $27.4$
5. $3.723$
6. $70$
【知识点】
四则混合运算、运算律简算、分数小数互化
【点评】
这类题目侧重考察运算顺序的掌握程度和运算律的灵活运用能力，计算时要注意通分、约分的准确性，简算题目要先观察数字特点再选择合适的方法，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
跟我学 如图,涂色部分的面积为$50\ \mathrm{cm}^2$,求圆环的面积。
这样想 设大圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$,小圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$,则$S_{涂色部分}=R^2 - r^2 = 50\ \mathrm{cm}^2$,$S_{圆环}=S_{大圆}-S_{小圆}=πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2)\mathrm{cm}^2$。我们无法直接求出$R,r$各是多少,但可以把$R^2 - r^2$作为一个整体直接代入求值。
自己写
这样想 设大圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$,小圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$,则$S_{涂色部分}=R^2 - r^2 = 50\ \mathrm{cm}^2$,$S_{圆环}=S_{大圆}-S_{小圆}=πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2)\mathrm{cm}^2$。我们无法直接求出$R,r$各是多少,但可以把$R^2 - r^2$作为一个整体直接代入求值。
自己写
答案
$3.14×50=157(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察图形，涂色部分的面积是边长等于大圆半径$R$的大正方形面积，减去边长等于小圆半径$r$的小正方形面积，可得$R^2 - r^2=50\mathrm{cm}^2$。再回忆圆环的面积公式：$S_{圆环}=π R^2-π r^2$，整理后为$S_{圆环}=π(R^2 - r^2)$，我们不需要单独求出$R$和$r$的具体数值，直接把$R^2 - r^2=50$作为整体代入公式，就能算出圆环面积。
【解析】
解：设大圆半径为$R\mathrm{cm}$，小圆半径为$r\mathrm{cm}$。
根据涂色部分面积可得：$R^2 - r^2 = 50\mathrm{cm}^2$
根据圆环面积公式：
$S_{圆环}=π R^2 - π r^2=π(R^2 - r^2)$
将$R^2 - r^2=50$代入（$π$取3.14）：
$S_{圆环}=3.14×50=157(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$157\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算，整体代入法，正方形面积计算
【点评】
本题不需要单独计算大小圆的半径，解题关键是建立涂色部分面积和圆环面积公式之间的关联，利用整体代换的方法快速求解，能够锻炼转化思维和整体运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，涂色部分的面积是边长等于大圆半径$R$的大正方形面积，减去边长等于小圆半径$r$的小正方形面积，可得$R^2 - r^2=50\mathrm{cm}^2$。再回忆圆环的面积公式：$S_{圆环}=π R^2-π r^2$，整理后为$S_{圆环}=π(R^2 - r^2)$，我们不需要单独求出$R$和$r$的具体数值，直接把$R^2 - r^2=50$作为整体代入公式，就能算出圆环面积。
【解析】
解：设大圆半径为$R\mathrm{cm}$，小圆半径为$r\mathrm{cm}$。
根据涂色部分面积可得：$R^2 - r^2 = 50\mathrm{cm}^2$
根据圆环面积公式：
$S_{圆环}=π R^2 - π r^2=π(R^2 - r^2)$
将$R^2 - r^2=50$代入（$π$取3.14）：
$S_{圆环}=3.14×50=157(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$157\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算，整体代入法，正方形面积计算
【点评】
本题不需要单独计算大小圆的半径，解题关键是建立涂色部分面积和圆环面积公式之间的关联，利用整体代换的方法快速求解，能够锻炼转化思维和整体运算能力。
【难度系数】
0.7
你来练 如图,圆环的面积是$157\ \mathrm{cm}^2$,求涂色部分的面积。
答案
$157÷3.14=50(\mathrm{cm}^2)$
$50×4=200(\mathrm{cm}^2)$
$50×4=200(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找数量关系：1. 首先回忆圆环面积公式，圆环面积=π×(外圆半径R² - 内圆半径r²)，已知圆环面积，可先求出R² - r²的值；2. 观察图形可知，外围大正方形的边长等于外圆的直径2R，小正方形的边长等于内圆的直径2r，涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积，将面积表达式整理后可发现它和R² - r²存在倍数关系，代入数值计算即可，不需要单独求出R和r的具体数值。
【解析】
第一步：根据圆环面积公式求$R^2 - r^2$的值
圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$
代入已知条件$S_{\mathrm{圆环}}=157\ \mathrm{cm}^2$，$π$取3.14：
$R^2 - r^2=157÷3.14=50(\mathrm{cm}^2)$
第二步：计算涂色部分面积
大正方形面积：$(2R)^2=4R^2$
小正方形面积：$(2r)^2=4r^2$
涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积
$=4R^2 - 4r^2=4(R^2 - r^2)$
代入$R^2 - r^2=50\ \mathrm{cm}^2$：
$4×50=200(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$200\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 正方形面积计算
3. 整体代换思想
【点评】
本题的解题关键是结合图形特征找到所求面积与圆环面积公式中$R^2 - r^2$的关联，不需要求解半径的具体值，利用整体代换即可简化计算过程，能很好地考察对图形关系的分析能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件找数量关系：1. 首先回忆圆环面积公式，圆环面积=π×(外圆半径R² - 内圆半径r²)，已知圆环面积，可先求出R² - r²的值；2. 观察图形可知，外围大正方形的边长等于外圆的直径2R，小正方形的边长等于内圆的直径2r，涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积，将面积表达式整理后可发现它和R² - r²存在倍数关系，代入数值计算即可，不需要单独求出R和r的具体数值。
【解析】
第一步：根据圆环面积公式求$R^2 - r^2$的值
圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$
代入已知条件$S_{\mathrm{圆环}}=157\ \mathrm{cm}^2$，$π$取3.14：
$R^2 - r^2=157÷3.14=50(\mathrm{cm}^2)$
第二步：计算涂色部分面积
大正方形面积：$(2R)^2=4R^2$
小正方形面积：$(2r)^2=4r^2$
涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积
$=4R^2 - 4r^2=4(R^2 - r^2)$
代入$R^2 - r^2=50\ \mathrm{cm}^2$：
$4×50=200(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$200\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 正方形面积计算
3. 整体代换思想
【点评】
本题的解题关键是结合图形特征找到所求面积与圆环面积公式中$R^2 - r^2$的关联，不需要求解半径的具体值，利用整体代换即可简化计算过程，能很好地考察对图形关系的分析能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
