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一、选择题
1. 如图所示，在$□ ABCD$中，下列结论中错误的是 （）
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ BAD=∠ BCD$
C.$AB=CD$
D.$AC⊥ BD$
1. 如图所示，在$□ ABCD$中，下列结论中错误的是 （）
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ BAD=∠ BCD$
C.$AB=CD$
D.$AC⊥ BD$
答案
D
解析
根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等，对角线互相平分但不一定垂直。A选项中AB//CD，内错角∠1=∠2，正确；B选项平行四边形对角相等，∠BAD=∠BCD，正确；C选项平行四边形对边相等，AB=CD，正确；D选项平行四边形对角线不一定垂直，错误。
2. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE. 下列两条线段的数量关系中一定成立的是
（）
A.$OE=\frac{1}{2}AD$
B.$OE=\frac{1}{2}BC$
C.$OE=\frac{1}{2}AB$
D.$OE=\frac{1}{2}AC$
（）
A.$OE=\frac{1}{2}AD$
B.$OE=\frac{1}{2}BC$
C.$OE=\frac{1}{2}AB$
D.$OE=\frac{1}{2}AC$
答案
C
解析
在平行四边形ABCD中，O是AC中点，E是AD中点，故OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得OE=1/2 CD。又平行四边形对边相等，CD=AB，因此OE=1/2 AB。
3. 如图所示，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BD$于点$E$，$∠ EAC = 30°$，$AE = \sqrt{3}$，则$AC$的长为（）
A.$4$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
A.$4$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
A
解析
在$□ABCD$中，对角线$AC$与$BD$交于点$O$，则$O$为$AC$中点，即$AC=2AO$。因为$AE⊥BD$，所以$△ AEO$是直角三角形，$∠ AEO=90°$。在$Rt△ AEO$中，$∠ EAC=30°$，$AE=\sqrt{3}$，由$\cos∠ EAC=\frac{AE}{AO}$，得$AO=\frac{AE}{\cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，故$AC=2AO=4$。
4. 如图所示，在正方形ABCD外侧，作等边三角形△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 （）
A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$
A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
C
解析
1. 由正方形ABCD得AB=AD，∠BAC=45°，∠BAD=90°；2. 等边△ADE中AD=AE，∠DAE=60°，故AB=AE，∠BAE=90°+60°=150°；3. △ABE为等腰三角形，∠ABE=(180°-150°)÷2=15°；4. ∠BFC是△ABF的外角，等于∠BAC+∠ABE=45°+15°=60°。
5. 已知矩形和直角梯形相应边长如图所示，且它们的面积相差6，则x的值为 （）
A.6
B.12
C.24
D.不确定
A.6
B.12
C.24
D.不确定
答案
C
解析
1. 计算矩形面积：$S_{矩形}=(x+3)(x-2)=x^2+x-6$；2. 计算直角梯形面积：$S_{梯形}=\frac{1}{2}(x+x+1)· x=x^2+\frac{1}{2}x$；3. 根据面积相差6列方程：$\vert (x^2+x-6)-(x^2+\frac{1}{2}x)\vert=6$，化简得$\vert0.5x-6\vert=6$；4. 解方程：$0.5x-6=6$得$x=24$，$0.5x-6=-6$得$x=0$（舍去，边长不能为0），故$x=24$。
6. 如图所示，在$□ ABCD$中，$DE$平分$∠ ADC$，$AD = 6$，$BE = 2$，
则$□ ABCD$的周长是________.
则$□ ABCD$的周长是________.
答案
20
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC=6，AB=DC，∴∠ADE=∠DEC。∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴DC=EC。∵BE=2，BC=6，∴EC=BC - BE=6 - 2=4，∴DC=4。∴□ABCD的周长=2×(AD + DC)=2×(6 + 4)=20。
7. 如图所示，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO. 若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为°.
答案
62
解析
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD，AB=BC，AD//BC，故∠MAO=∠NCO，且∠BCA=∠DAC=28°（两直线平行，内错角相等）。
2. 在△AMO和△CNO中，$\{\begin{array}{l}∠MAO=∠NCO\\∠AOM=∠CON\\AM=CN\end{array} $，所以△AMO≌△CNO（AAS），得AO=CO，即O为AC中点。
3. 因为AB=BC，O是AC中点，根据等腰三角形三线合一，BO⊥AC，故∠BOC=90°。
4. 在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
2. 在△AMO和△CNO中，$\{\begin{array}{l}∠MAO=∠NCO\\∠AOM=∠CON\\AM=CN\end{array} $，所以△AMO≌△CNO（AAS），得AO=CO，即O为AC中点。
3. 因为AB=BC，O是AC中点，根据等腰三角形三线合一，BO⊥AC，故∠BOC=90°。
4. 在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E是AB的中点，连接OE，OE＝2.5，DB＝6，则AC的长为________.
答案
8
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝$\frac{1}{2}$DB＝$\frac{1}{2}$×6＝3。∵点E是AB的中点，在Rt△AOB中，OE是斜边AB的中线，∴OE＝$\frac{1}{2}$AB，又OE＝2.5，∴AB＝5。在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝$\sqrt{AB^2 - OB^2}$＝$\sqrt{5^2 - 3^2}$＝4，∴AC＝2OA＝8。
