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8. 已知关于$ x $的一元一次不等式$ 4x ＜ -2x + a $的解集在数轴上的表示如图所示，则$ a $的值是
（
A.4
B.5
C.6
D.7
（
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定该一元一次不等式的解集；再将a看作常数，按照一元一次不等式的求解步骤，用含a的式子表示出不等式的解集；最后将两个解集对应，建立关于a的方程，求解即可得到a的值。
【解析】
1. 首先根据数轴确定不等式的解集：数轴上1处为空心圆圈，折线向左延伸，说明不等式的解集为$ x ＜ 1 $。
2. 解关于$ x $的不等式$ 4x ＜ -2x + a $：
移项，得$ 4x + 2x ＜ a $，
合并同类项，得$ 6x ＜ a $，
系数化为1，得$ x ＜ \frac{a}{6} $。
3. 结合不等式的解集为$ x ＜ 1 $，可得$ \frac{a}{6} = 1 $，
解得$ a = 6 $。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式解集与数轴表示结合的基础题型，解题的核心是明确数轴表示解集的规则，正确解出含参数的一元一次不等式，再通过解集相等建立等量关系求解参数，是不等式章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴，确定该一元一次不等式的解集；再将a看作常数，按照一元一次不等式的求解步骤，用含a的式子表示出不等式的解集；最后将两个解集对应，建立关于a的方程，求解即可得到a的值。
【解析】
1. 首先根据数轴确定不等式的解集：数轴上1处为空心圆圈，折线向左延伸，说明不等式的解集为$ x ＜ 1 $。
2. 解关于$ x $的不等式$ 4x ＜ -2x + a $：
移项，得$ 4x + 2x ＜ a $，
合并同类项，得$ 6x ＜ a $，
系数化为1，得$ x ＜ \frac{a}{6} $。
3. 结合不等式的解集为$ x ＜ 1 $，可得$ \frac{a}{6} = 1 $，
解得$ a = 6 $。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式解集与数轴表示结合的基础题型，解题的核心是明确数轴表示解集的规则，正确解出含参数的一元一次不等式，再通过解集相等建立等量关系求解参数，是不等式章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
9. 规定$\max\{m,n\}(m≠ n)$表示$m,n$中较大的数.若$\max\{\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2},2\}=2$,则$x$的取值范围是
（
A.$x≤17$
B.$x＜17$
C.$x＞23$
D.$x＜23$
（
B
）A.$x≤17$
B.$x＜17$
C.$x＞23$
D.$x＜23$
答案
9.B
解析
【分析】
首先要准确理解题中$\max\{m,n\}$的定义：它表示两个不等数里较大的数。已知$\max\{\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2},2\}=2$，说明代数式$\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2}$的值必须小于2：如果该代数式大于2，那取较大数的结果就会是这个代数式，不符合题意；同时题目注明$m≠n$，因此代数式也不能等于2。这样就可以把新定义问题转化为解一元一次不等式的常规问题，再按照一元一次不等式的求解步骤计算即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据$\max\{m,n\}$的定义可得不等式：
$\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2}＜2$
解该不等式：
1. 去分母，两边同时乘分母的最小公倍数6：
$2(2x-4)-3(x-1)＜12$
2. 去括号：
$4x-8-3x+3＜12$
3. 合并同类项：
$x-5＜12$
4. 移项计算：
$x＜17$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式解法
【点评】
本题的核心是将新定义规则转化为熟悉的不等式关系，重点考察知识迁移能力，解题时要注意题目中$m≠n$的限制，避免错误添加等号。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解题中$\max\{m,n\}$的定义：它表示两个不等数里较大的数。已知$\max\{\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2},2\}=2$，说明代数式$\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2}$的值必须小于2：如果该代数式大于2，那取较大数的结果就会是这个代数式，不符合题意；同时题目注明$m≠n$，因此代数式也不能等于2。这样就可以把新定义问题转化为解一元一次不等式的常规问题，再按照一元一次不等式的求解步骤计算即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据$\max\{m,n\}$的定义可得不等式：
$\dfrac{2x-4}{3}-\dfrac{x-1}{2}＜2$
解该不等式：
1. 去分母，两边同时乘分母的最小公倍数6：
$2(2x-4)-3(x-1)＜12$
2. 去括号：
$4x-8-3x+3＜12$
3. 合并同类项：
$x-5＜12$
4. 移项计算：
$x＜17$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式解法
【点评】
本题的核心是将新定义规则转化为熟悉的不等式关系，重点考察知识迁移能力，解题时要注意题目中$m≠n$的限制，避免错误添加等号。
【难度系数】
0.7
10. 若关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x - 3y = 4m + 3, \\ x + 5y = 5 \end{cases} $ 的解满足 $ x + y ≤ 0 $，则 $ m $ 的取值范围为 ______。
答案
10.$m≤-2$
解析
【分析】
题目给出了含参数m的二元一次方程组，要求解满足x+y≤0时m的取值范围。我们不需要单独求解x和y的具体值，观察两个方程中x、y的系数，将两个方程左右两边分别相加，就能直接得到x+y与m的关系式，再代入x+y≤0的不等式，解关于m的一元一次不等式即可得到结果。即使没有想到整体相加的方法，也可以先用含m的代数式分别表示x、y，再相加得到x+y的后代入不等式求解，整体法计算更简便。
【解析】
解：记方程组为 $\begin{cases} x - 3y = 4m + 3 &① \\ x + 5y = 5 &② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x-3y)+(x+5y)=4m+3+5$
化简得：$2x+2y=4m+8$
两边同时除以2，得：$x+y=2m+4$
∵ 方程组的解满足 $x+y ≤ 0$
∴ $2m+4 ≤ 0$
移项得：$2m ≤ -4$
两边同时除以2，得：$m ≤ -2$
【答案】
$m≤-2$
【知识点】
二元一次方程组的运算，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题时运用整体思想可大幅简化计算，避免单独求解x、y的繁琐步骤，求解不等式时要注意遵守不等式的变形规则。
【难度系数】
0.7
题目给出了含参数m的二元一次方程组，要求解满足x+y≤0时m的取值范围。我们不需要单独求解x和y的具体值，观察两个方程中x、y的系数，将两个方程左右两边分别相加，就能直接得到x+y与m的关系式，再代入x+y≤0的不等式，解关于m的一元一次不等式即可得到结果。即使没有想到整体相加的方法，也可以先用含m的代数式分别表示x、y，再相加得到x+y的后代入不等式求解，整体法计算更简便。
【解析】
解：记方程组为 $\begin{cases} x - 3y = 4m + 3 &① \\ x + 5y = 5 &② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x-3y)+(x+5y)=4m+3+5$
化简得：$2x+2y=4m+8$
两边同时除以2，得：$x+y=2m+4$
∵ 方程组的解满足 $x+y ≤ 0$
∴ $2m+4 ≤ 0$
移项得：$2m ≤ -4$
两边同时除以2，得：$m ≤ -2$
【答案】
$m≤-2$
【知识点】
二元一次方程组的运算，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题时运用整体思想可大幅简化计算，避免单独求解x、y的繁琐步骤，求解不等式时要注意遵守不等式的变形规则。
【难度系数】
0.7
11. 已知不等式$7(x-2)≤ 3x+6$.
(1)该不等式的所有正整数解为________;
(2)若关于$x$的方程$2x-1=x-2m$的解也是该不等式的一个解,求$m$的取值范围.
(1)该不等式的所有正整数解为________;
(2)若关于$x$的方程$2x-1=x-2m$的解也是该不等式的一个解,求$m$的取值范围.
答案
11.解:(1)$1,2,3,4,5$
(2)解方程$2x-1=x-2m$,得$x=-2m+1$.由(1)得原不等式的解集为$x≤5$.因为$x=-2m+1$是原不等式的一个解,所以$-2m+1≤5$,解得$m≥-2$,所以$m$的取值范围是$m≥-2$.
(2)解方程$2x-1=x-2m$,得$x=-2m+1$.由(1)得原不等式的解集为$x≤5$.因为$x=-2m+1$是原不等式的一个解,所以$-2m+1≤5$,解得$m≥-2$,所以$m$的取值范围是$m≥-2$.
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 要得到不等式的正整数解，首先需要按照解一元一次不等式的常规步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出所有正整数即可。
(2) 先求解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示出x的值，再根据“方程的解也是不等式的解”可知x满足不等式的解集，将x的表达式代入不等式，求解关于m的一元一次不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 解不等式$7(x-2)≤ 3x+6$：
去括号得：$7x - 14 ≤ 3x + 6$
移项得：$7x - 3x ≤ 6 + 14$
合并同类项得：$4x ≤ 20$
系数化为1得：$x ≤ 5$
小于等于5的正整数为1、2、3、4、5，即该不等式的所有正整数解为1,2,3,4,5。
(2) 先解方程$2x-1=x-2m$：
移项得$2x - x = -2m + 1$，合并同类项得$x = 1 - 2m$。
由(1)可知原不等式的解集为$x ≤ 5$，因为方程的解是不等式的一个解，因此$1 - 2m ≤ 5$，
解这个关于m的不等式：
移项得$-2m ≤ 5 - 1$，即$-2m ≤ 4$，
两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m ≥ -2$。
【答案】
(1) $1,2,3,4,5$
(2) $m≥-2$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次方程解法，不等式解的应用
【点评】
本题是一元一次不等式的基础综合题，既考查了一元一次不等式、一元一次方程的常规求解步骤，也考查了方程的解与不等式解的关联应用，解题时需要注意解不等式系数化为1时，若两边同时乘除负数，不等号方向要发生改变，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
本题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 要得到不等式的正整数解，首先需要按照解一元一次不等式的常规步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出所有正整数即可。
(2) 先求解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示出x的值，再根据“方程的解也是不等式的解”可知x满足不等式的解集，将x的表达式代入不等式，求解关于m的一元一次不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 解不等式$7(x-2)≤ 3x+6$：
去括号得：$7x - 14 ≤ 3x + 6$
移项得：$7x - 3x ≤ 6 + 14$
合并同类项得：$4x ≤ 20$
系数化为1得：$x ≤ 5$
小于等于5的正整数为1、2、3、4、5，即该不等式的所有正整数解为1,2,3,4,5。
(2) 先解方程$2x-1=x-2m$：
移项得$2x - x = -2m + 1$，合并同类项得$x = 1 - 2m$。
由(1)可知原不等式的解集为$x ≤ 5$，因为方程的解是不等式的一个解，因此$1 - 2m ≤ 5$，
解这个关于m的不等式：
移项得$-2m ≤ 5 - 1$，即$-2m ≤ 4$，
两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m ≥ -2$。
【答案】
(1) $1,2,3,4,5$
(2) $m≥-2$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次方程解法，不等式解的应用
【点评】
本题是一元一次不等式的基础综合题，既考查了一元一次不等式、一元一次方程的常规求解步骤，也考查了方程的解与不等式解的关联应用，解题时需要注意解不等式系数化为1时，若两边同时乘除负数，不等号方向要发生改变，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
