登录
14. 下面说法中正确的一项是 （
A.135是15和9的最小公倍数
B.因为$\frac{1}{2}$的分母中含有质因数2，所以这个分数不能化成有限小数
C.因为1.2÷0.3=4，所以1.2能被0.3整除
D.60分解质因数是$60=2×2×3×5$
D
）A.135是15和9的最小公倍数
B.因为$\frac{1}{2}$的分母中含有质因数2，所以这个分数不能化成有限小数
C.因为1.2÷0.3=4，所以1.2能被0.3整除
D.60分解质因数是$60=2×2×3×5$
答案
14. D
解析
【分析】
这是一道数论基础概念辨析题，解题时需要逐个核对每个选项对应的知识点定义，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。首先回忆最小公倍数、分数化有限小数、整除、分解质因数的相关概念，再对应每个选项判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：先求15和9的最小公倍数，用短除法可得，15和9的公有质因数是3，15独有的质因数是5，9独有的质因数是3，所以最小公倍数是$3×3×5=45$，不是135，A选项错误。
2. 分析B选项：判断一个最简分数能否化成有限小数，要看分母的质因数是否只有2和5。$\frac{1}{2}$是最简分数，分母只有质因数2，能化成有限小数0.5，B选项错误。
3. 分析C选项：整除的前提是被除数、除数都为整数，且商是整数没有余数。本题中1.2和0.3都是小数，不符合整除的要求，只能说1.2能被0.3除尽，C选项错误。
4. 分析D选项：分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，2、3、5都是质数，且$2×2×3×5=60$，分解方法正确，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 最小公倍数
2. 分解质因数
3. 整除的概念
【点评】
本题考查多个基础数论概念的辨析，学习时要记清每个概念的适用条件和细节，避免混淆概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道数论基础概念辨析题，解题时需要逐个核对每个选项对应的知识点定义，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。首先回忆最小公倍数、分数化有限小数、整除、分解质因数的相关概念，再对应每个选项判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：先求15和9的最小公倍数，用短除法可得，15和9的公有质因数是3，15独有的质因数是5，9独有的质因数是3，所以最小公倍数是$3×3×5=45$，不是135，A选项错误。
2. 分析B选项：判断一个最简分数能否化成有限小数，要看分母的质因数是否只有2和5。$\frac{1}{2}$是最简分数，分母只有质因数2，能化成有限小数0.5，B选项错误。
3. 分析C选项：整除的前提是被除数、除数都为整数，且商是整数没有余数。本题中1.2和0.3都是小数，不符合整除的要求，只能说1.2能被0.3除尽，C选项错误。
4. 分析D选项：分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，2、3、5都是质数，且$2×2×3×5=60$，分解方法正确，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 最小公倍数
2. 分解质因数
3. 整除的概念
【点评】
本题考查多个基础数论概念的辨析，学习时要记清每个概念的适用条件和细节，避免混淆概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 一个自然数的倍数总是
A.大于
B.小于
C.等于
D.不小于
D
它的因数 （D
）A.大于
B.小于
C.等于
D.不小于
答案
15. D
解析
【分析】
解题时首先明确考点为因数和倍数的关系，先回忆二者的特征：一个自然数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身。先排除明显错误的选项B，再判断单独的“大于”或“等于”都不全面：最小的倍数等于最大的因数，其他倍数都比所有因数大，因此倍数要么等于要么大于因数，也就是不小于，即可锁定正确答案。
【解析】
结合因数和倍数的特征分析：
1. 因数的特征：一个自然数的因数个数有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身；
2. 倍数的特征：一个自然数的倍数个数无限，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
举例验证：以自然数6为例，它的因数有1、2、3、6，最大因数是6；它的倍数有6、12、18……，最小倍数是6，其余倍数都大于6。
因此一个自然数的倍数≥它的因数，即倍数总是不小于它的因数，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因数的特征，倍数的特征，因数与倍数的关系
【点评】
这道题是因数倍数板块的基础易错题，容易忽略“一个数本身既是自身的最大因数，也是自身的最小倍数”这个特殊情况，误选A选项，牢记因数和倍数的极值特征就可以避开陷阱。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确考点为因数和倍数的关系，先回忆二者的特征：一个自然数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身。先排除明显错误的选项B，再判断单独的“大于”或“等于”都不全面：最小的倍数等于最大的因数，其他倍数都比所有因数大，因此倍数要么等于要么大于因数，也就是不小于，即可锁定正确答案。
【解析】
结合因数和倍数的特征分析：
1. 因数的特征：一个自然数的因数个数有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身；
2. 倍数的特征：一个自然数的倍数个数无限，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
举例验证：以自然数6为例，它的因数有1、2、3、6，最大因数是6；它的倍数有6、12、18……，最小倍数是6，其余倍数都大于6。
因此一个自然数的倍数≥它的因数，即倍数总是不小于它的因数，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因数的特征，倍数的特征，因数与倍数的关系
【点评】
这道题是因数倍数板块的基础易错题，容易忽略“一个数本身既是自身的最大因数，也是自身的最小倍数”这个特殊情况，误选A选项，牢记因数和倍数的极值特征就可以避开陷阱。
【难度系数】
0.7
四、解答题
16. 把下面的数分解质因数。
(1)$18=$______；(2)$24=$______。
16. 把下面的数分解质因数。
(1)$18=$______；(2)$24=$______。
答案
16. (1)2×3×3 (2)2×2×2×3
解析
【分析】
要把合数分解质因数，首先要明确分解质因数的定义：即把一个合数写成几个质数相乘的形式，我们常用短除法来计算。思考步骤如下：①先从最小的质数（2、3、5……）开始除这个合数，确保每次用的除数都是质数；②如果除得的商还是合数，就继续用质数除，一直除到商是质数为止；③最后把所有的除数和最终的质数商写成连乘的形式，就是分解质因数的结果。
【解析】
(1) 分解18的质因数：
第一步，用最小的质数2除18，可得$18÷2=9$；
第二步，9是合数，继续用质数3除9，可得$9÷3=3$；
第三步，3是质数，停止计算，将所有除数和最终的商相乘，即$18=2×3×3$。
(2) 分解24的质因数：
第一步，用最小的质数2除24，可得$24÷2=12$；
第二步，12是合数，继续用质数2除12，可得$12÷2=6$；
第三步，6是合数，继续用质数2除6，可得$6÷2=3$；
第四步，3是质数，停止计算，将所有除数和最终的商相乘，即$24=2×2×2×3$。
【答案】
(1)$2×3×3$；(2)$2×2×2×3$
【知识点】
分解质因数；质数的认识；短除法
【点评】
本题是分解质因数的基础练习题，核心是要注意分解后的所有因数都必须是质数，不能包含1和合数，熟练掌握短除法能提升解题的效率和准确率。
【难度系数】
0.9
要把合数分解质因数，首先要明确分解质因数的定义：即把一个合数写成几个质数相乘的形式，我们常用短除法来计算。思考步骤如下：①先从最小的质数（2、3、5……）开始除这个合数，确保每次用的除数都是质数；②如果除得的商还是合数，就继续用质数除，一直除到商是质数为止；③最后把所有的除数和最终的质数商写成连乘的形式，就是分解质因数的结果。
【解析】
(1) 分解18的质因数：
第一步，用最小的质数2除18，可得$18÷2=9$；
第二步，9是合数，继续用质数3除9，可得$9÷3=3$；
第三步，3是质数，停止计算，将所有除数和最终的商相乘，即$18=2×3×3$。
(2) 分解24的质因数：
第一步，用最小的质数2除24，可得$24÷2=12$；
第二步，12是合数，继续用质数2除12，可得$12÷2=6$；
第三步，6是合数，继续用质数2除6，可得$6÷2=3$；
第四步，3是质数，停止计算，将所有除数和最终的商相乘，即$24=2×2×2×3$。
【答案】
(1)$2×3×3$；(2)$2×2×2×3$
【知识点】
分解质因数；质数的认识；短除法
【点评】
本题是分解质因数的基础练习题，核心是要注意分解后的所有因数都必须是质数，不能包含1和合数，熟练掌握短除法能提升解题的效率和准确率。
【难度系数】
0.9
17.一堆贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；6个6个地数，最后多3个。这些贝壳至少有多少个？
答案
17. 这些贝壳至少有57个
解析
【分析】
解题时先观察余数的规律：4个4个地数多1个，说明总数比4的倍数少3；5个5个地数多2个，说明总数比5的倍数少3；6个6个地数多3个，说明总数比6的倍数少3。因此如果给这堆贝壳补上3个，新的总数就能同时被4、5、6整除。要求贝壳最少的数量，只需要先求出4、5、6的最小公倍数，再减去补上的3个即可。
【解析】
第一步：求4、5、6的最小公倍数
分解质因数：
$4=2×2$
$5=5$
$6=2×3$
最小公倍数是公有质因数和独有质因数的乘积，即$2×2×3×5=60$
第二步：计算原有贝壳数量
因为补上3个后总数是60，所以原有贝壳数为$60-3=57$（个）
验证：$57÷4=14……1$，$57÷5=11……2$，$57÷6=9……3$，完全符合题目条件。
【答案】
这些贝壳至少有57个
【知识点】
最小公倍数求解、有余数的除法、公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数应用的典型变式题，解题核心是通过转化思想，将“有余数”的问题转化为“求公倍数”的常规问题，能有效提升学生的逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察余数的规律：4个4个地数多1个，说明总数比4的倍数少3；5个5个地数多2个，说明总数比5的倍数少3；6个6个地数多3个，说明总数比6的倍数少3。因此如果给这堆贝壳补上3个，新的总数就能同时被4、5、6整除。要求贝壳最少的数量，只需要先求出4、5、6的最小公倍数，再减去补上的3个即可。
【解析】
第一步：求4、5、6的最小公倍数
分解质因数：
$4=2×2$
$5=5$
$6=2×3$
最小公倍数是公有质因数和独有质因数的乘积，即$2×2×3×5=60$
第二步：计算原有贝壳数量
因为补上3个后总数是60，所以原有贝壳数为$60-3=57$（个）
验证：$57÷4=14……1$，$57÷5=11……2$，$57÷6=9……3$，完全符合题目条件。
【答案】
这些贝壳至少有57个
【知识点】
最小公倍数求解、有余数的除法、公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数应用的典型变式题，解题核心是通过转化思想，将“有余数”的问题转化为“求公倍数”的常规问题，能有效提升学生的逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
18. 三根铁丝的长分别是15米、18米和24米，现在把它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？
答案
18. 每段长3米
解析
【分析】
要解决这道题，首先要准确理解题意：把三根不同长度的铁丝剪成相等的小段且没有剩余，说明每段的长度必须同时是15、18、24的公因数；要求每段尽量长，就是要找这三个数的最大公因数。所以解题核心就是求出15、18、24的最大公因数，用五年级学过的短除法就可以轻松求解。
【解析】
我们用短除法求15、18、24的最大公因数：
1. 把15、18、24放在短除号内，先找三个数共有的质因数，三个数都能被3整除：
$15÷3=5$，$18÷3=6$，$24÷3=8$
2. 观察得到的商5、6、8，这三个数除了1之外没有其他共同的公因数，短除结束。
三个数的最大公因数就是共同的除数3，因此每段最长是3米，且没有剩余。
【答案】
每段长3米
【知识点】
最大公因数求解，公因数实际应用，短除法
【点评】
这是公因数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是将题干中“等长、无剩余、最长”的表述，转化为求多个数最大公因数的数学问题，掌握短除法求最大公因数的方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要准确理解题意：把三根不同长度的铁丝剪成相等的小段且没有剩余，说明每段的长度必须同时是15、18、24的公因数；要求每段尽量长，就是要找这三个数的最大公因数。所以解题核心就是求出15、18、24的最大公因数，用五年级学过的短除法就可以轻松求解。
【解析】
我们用短除法求15、18、24的最大公因数：
1. 把15、18、24放在短除号内，先找三个数共有的质因数，三个数都能被3整除：
$15÷3=5$，$18÷3=6$，$24÷3=8$
2. 观察得到的商5、6、8，这三个数除了1之外没有其他共同的公因数，短除结束。
三个数的最大公因数就是共同的除数3，因此每段最长是3米，且没有剩余。
【答案】
每段长3米
【知识点】
最大公因数求解，公因数实际应用，短除法
【点评】
这是公因数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是将题干中“等长、无剩余、最长”的表述，转化为求多个数最大公因数的数学问题，掌握短除法求最大公因数的方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
19. 一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是多少？至少可以裁成多少个这样的正方形？
答案
19. 最大边长是15厘米，可以裁20个正方形
解析
【分析】
要把长方形纸裁成同样大小、边长为整厘米且没有剩余的正方形，说明正方形的边长必须是长方形长75厘米和宽60厘米的公因数。题目要求边长最大，所以首先需要求75和60的最大公因数，就能得到正方形的最大边长。再分别计算长方形的长、宽方向分别能裁出多少个正方形，两者相乘就能得到至少可以裁出的正方形总个数。
【解析】
1. 求正方形的最大边长：
用短除法求75和60的最大公因数：
先把75和60同时除以公因数3，得到商25和20；再把25和20同时除以公因数5，得到商5和4，此时5和4互质。
所以75和60的最大公因数是$3×5=15$，即裁成的正方形边长最大是15厘米。
2. 求至少可以裁成的正方形个数：
长方形长的方向可以裁的个数：$75÷15=5$（个）
长方形宽的方向可以裁的个数：$60÷15=4$（个）
总个数：$5×4=20$（个）
（也可通过面积验证：长方形面积$=75×60=4500$平方厘米，单个正方形面积$=15×15=225$平方厘米，总个数$=4500÷225=20$个，结果一致）
【答案】
裁成的正方形边长最大是15厘米，至少可以裁成20个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用，整数乘除法计算
【点评】
本题是最大公因数在实际裁剪问题中的典型应用，解题的核心是理解“无剩余、最大边长”对应的数学含义是求长和宽的最大公因数，结合简单的乘除计算即可得到结果，有助于提升学生将数学知识结合实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
要把长方形纸裁成同样大小、边长为整厘米且没有剩余的正方形，说明正方形的边长必须是长方形长75厘米和宽60厘米的公因数。题目要求边长最大，所以首先需要求75和60的最大公因数，就能得到正方形的最大边长。再分别计算长方形的长、宽方向分别能裁出多少个正方形，两者相乘就能得到至少可以裁出的正方形总个数。
【解析】
1. 求正方形的最大边长：
用短除法求75和60的最大公因数：
先把75和60同时除以公因数3，得到商25和20；再把25和20同时除以公因数5，得到商5和4，此时5和4互质。
所以75和60的最大公因数是$3×5=15$，即裁成的正方形边长最大是15厘米。
2. 求至少可以裁成的正方形个数：
长方形长的方向可以裁的个数：$75÷15=5$（个）
长方形宽的方向可以裁的个数：$60÷15=4$（个）
总个数：$5×4=20$（个）
（也可通过面积验证：长方形面积$=75×60=4500$平方厘米，单个正方形面积$=15×15=225$平方厘米，总个数$=4500÷225=20$个，结果一致）
【答案】
裁成的正方形边长最大是15厘米，至少可以裁成20个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用，整数乘除法计算
【点评】
本题是最大公因数在实际裁剪问题中的典型应用，解题的核心是理解“无剩余、最大边长”对应的数学含义是求长和宽的最大公因数，结合简单的乘除计算即可得到结果，有助于提升学生将数学知识结合实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
