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10.计算：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025}=$
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
.答案
10.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察式子的两个底数$\sqrt{3}-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，二者符合平方差公式的形式，乘积为整数，可简化计算。我们先把指数更高的$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025}$拆成$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$，再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n = (ab)^n$，把指数相同的部分合并计算，先算底数的乘积，再计算幂，最后乘剩余的项即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=[ (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) ]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=[ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 ]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=(3-2)^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=1^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式；积的乘方逆运算；二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式运算中的典型巧算题型，解题的核心是观察到两个底数的乘积为常数，通过拆分高次幂、逆用积的乘方公式和平方差公式简化计算，避免直接计算高次幂的繁琐，需要熟练掌握相关运算公式的正用和逆用。
【难度系数】
0.7
首先观察式子的两个底数$\sqrt{3}-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，二者符合平方差公式的形式，乘积为整数，可简化计算。我们先把指数更高的$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025}$拆成$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$，再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n = (ab)^n$，把指数相同的部分合并计算，先算底数的乘积，再计算幂，最后乘剩余的项即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=[ (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) ]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=[ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 ]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=(3-2)^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=1^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式；积的乘方逆运算；二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式运算中的典型巧算题型，解题的核心是观察到两个底数的乘积为常数，通过拆分高次幂、逆用积的乘方公式和平方差公式简化计算，避免直接计算高次幂的繁琐，需要熟练掌握相关运算公式的正用和逆用。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}$。
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}| =\sqrt{\frac{48}{3}}+\sqrt{\frac{1}{2}×12}-(\sqrt{6}-2)=\sqrt{16}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=4+2=6.$
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}=(2\sqrt{6}+5\sqrt{2})÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}=5.$
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}=(2\sqrt{6}+5\sqrt{2})÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}=5.$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：①二次根式乘除可直接用运算规则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}（a≥0,b＞0）$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，也可先化简为最简二次根式再计算；②计算绝对值项时，先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值等于它的相反数；③最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} = \sqrt{\frac{1}{2}×12} = \sqrt{6}$
因为$2＜\sqrt{6}$，所以$|2 - \sqrt{6}| = \sqrt{6}-2$
代入原式得：
$\begin{split}原式&=4+\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)\\&=4+\sqrt{6}-\sqrt{6}+2\\&=6\end{split}$
(2) 先化简所有二次根式：
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}$
代入原式后用分配律计算除法：
$\begin{split}原式&=(2\sqrt{6}+5\sqrt{2})÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=2\sqrt{6}÷\sqrt{2}+5\sqrt{2}÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}\\&=5\end{split}$
【答案】
(1)6；(2)5
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值的性质，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查运算规则的熟练应用，解题时要注意去绝对值、去括号的符号问题，最终计算结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：①二次根式乘除可直接用运算规则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}（a≥0,b＞0）$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，也可先化简为最简二次根式再计算；②计算绝对值项时，先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值等于它的相反数；③最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} = \sqrt{\frac{1}{2}×12} = \sqrt{6}$
因为$2＜\sqrt{6}$，所以$|2 - \sqrt{6}| = \sqrt{6}-2$
代入原式得：
$\begin{split}原式&=4+\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)\\&=4+\sqrt{6}-\sqrt{6}+2\\&=6\end{split}$
(2) 先化简所有二次根式：
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}$
代入原式后用分配律计算除法：
$\begin{split}原式&=(2\sqrt{6}+5\sqrt{2})÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=2\sqrt{6}÷\sqrt{2}+5\sqrt{2}÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}\\&=5\end{split}$
【答案】
(1)6；(2)5
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值的性质，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查运算规则的熟练应用，解题时要注意去绝对值、去括号的符号问题，最终计算结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
12. 已知$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}, y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$，求下列各式的值：
(1)$x^2y - xy^2$；
(2)$x^2 - xy + y^2$。
(1)$x^2y - xy^2$；
(2)$x^2 - xy + y^2$。
答案
12.解:$\because x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$,
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$,
$\therefore xy=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}·\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=1,x+y=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6.$
(1)$x^2y - xy^2=xy(x-y)=1×[(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})]=4\sqrt{2}.$
(2)$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy=6^2-3×1=36-3=33.$
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$,
$\therefore xy=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}·\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=1,x+y=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6.$
(1)$x^2y - xy^2=xy(x-y)=1×[(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})]=4\sqrt{2}.$
(2)$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy=6^2-3×1=36-3=33.$
解析
【分析】
解题时先对x、y进行分母有理化，化简得到x、y的最简形式，再观察待求代数式的结构特征，将代数式通过因式分解、完全平方公式变形为含有x+y、xy、x-y的形式，最后整体代入计算，这样可以避免直接计算x、y的高次项，简化运算过程。
【解析】
首先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$，
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$，
计算得：
$x+y=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$，
$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$。
(1) 对$x^2y - xy^2$提公因式变形：
$x^2y - xy^2=xy(x-y)$，
代入$xy=1$，$x-y=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$，
得原式$=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
(2) 对$x^2 - xy + y^2$用完全平方公式变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2 - 3xy$，
代入$x+y=6$，$xy=1$，
得原式$=6^2 - 3×1=36-3=33$。
【答案】
(1)$4\sqrt{2}$；(2)$33$
【知识点】
分母有理化，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，解题核心是先将含二次根式的分母有理化得到x、y的最简形式，再通过代数式变形将待求式转化为可整体代入的结构，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先对x、y进行分母有理化，化简得到x、y的最简形式，再观察待求代数式的结构特征，将代数式通过因式分解、完全平方公式变形为含有x+y、xy、x-y的形式，最后整体代入计算，这样可以避免直接计算x、y的高次项，简化运算过程。
【解析】
首先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$，
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$，
计算得：
$x+y=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$，
$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$。
(1) 对$x^2y - xy^2$提公因式变形：
$x^2y - xy^2=xy(x-y)$，
代入$xy=1$，$x-y=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$，
得原式$=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
(2) 对$x^2 - xy + y^2$用完全平方公式变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2 - 3xy$，
代入$x+y=6$，$xy=1$，
得原式$=6^2 - 3×1=36-3=33$。
【答案】
(1)$4\sqrt{2}$；(2)$33$
【知识点】
分母有理化，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，解题核心是先将含二次根式的分母有理化得到x、y的最简形式，再通过代数式变形将待求式转化为可整体代入的结构，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
