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1.已知$a,b$为任意实数,则下列等式成立的是 (
A.$\sqrt{a^2}=a$
B.$\sqrt{a^4}=a^2$
C.$\sqrt{(-a)^2}=\pm a$
D.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
B
)A.$\sqrt{a^2}=a$
B.$\sqrt{a^4}=a^2$
C.$\sqrt{(-a)^2}=\pm a$
D.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查二次根式的性质与化简，解题时需要紧扣二次根式的相关性质，逐个验证每个选项是否符合性质要求，重点关注二次根式的非负性以及公式成立的前提条件。核心判断依据有三个：①√x表示x的算术平方根，结果一定是非负的；②$\sqrt{x^2}=|x|$；③积的算术平方根$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的成立前提是a≥0且b≥0，依次用这些性质判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，当a为负数时，$\sqrt{a^2}=-a≠a$，例如a=-2时，$\sqrt{(-2)^2}=2≠-2$，因此A不成立。
B选项：$\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}$，因为$a^2≥0$，所以$\sqrt{(a^2)^2}=a^2$，无论a取任意实数都成立，因此B符合要求。
C选项：$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的结果一定是非负的，不可能等于±a，因此C不成立。
D选项：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是a≥0且b≥0，若a、b均为负数，左边$\sqrt{ab}$有意义，但右边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，例如a=-1，b=-1时，左边$\sqrt{(-1)×(-1)}=1$，右边两个根式无意义，因此D不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.算术平方根的非负性 3.二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略二次根式的非负性以及相关公式的适用范围，解题时可通过举反例的方式快速排除错误选项，牢记性质的前提条件是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的性质与化简，解题时需要紧扣二次根式的相关性质，逐个验证每个选项是否符合性质要求，重点关注二次根式的非负性以及公式成立的前提条件。核心判断依据有三个：①√x表示x的算术平方根，结果一定是非负的；②$\sqrt{x^2}=|x|$；③积的算术平方根$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的成立前提是a≥0且b≥0，依次用这些性质判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，当a为负数时，$\sqrt{a^2}=-a≠a$，例如a=-2时，$\sqrt{(-2)^2}=2≠-2$，因此A不成立。
B选项：$\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}$，因为$a^2≥0$，所以$\sqrt{(a^2)^2}=a^2$，无论a取任意实数都成立，因此B符合要求。
C选项：$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的结果一定是非负的，不可能等于±a，因此C不成立。
D选项：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是a≥0且b≥0，若a、b均为负数，左边$\sqrt{ab}$有意义，但右边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，例如a=-1，b=-1时，左边$\sqrt{(-1)×(-1)}=1$，右边两个根式无意义，因此D不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.算术平方根的非负性 3.二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略二次根式的非负性以及相关公式的适用范围，解题时可通过举反例的方式快速排除错误选项，牢记性质的前提条件是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 下列二次根式中，与$\sqrt{5}$是同类二次根式的是 （
A.$\sqrt{25}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{45}$
D
）A.$\sqrt{25}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{45}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断是否为与$\sqrt{5}$同类的二次根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。因此解题思路为：先将每个选项的二次根式化简为最简形式，再对比化简后的被开方数是否等于$\sqrt{5}$的被开方数5，符合的即为正确选项。
【解析】
根据同类二次根式的判定规则，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数：
A. $\sqrt{25}=5$，是整数，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{10}$已是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与$\sqrt{5}$是同类二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原式的被开方数，解题时要牢记先化简再判断的规则。
【难度系数】
0.8
要判断是否为与$\sqrt{5}$同类的二次根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。因此解题思路为：先将每个选项的二次根式化简为最简形式，再对比化简后的被开方数是否等于$\sqrt{5}$的被开方数5，符合的即为正确选项。
【解析】
根据同类二次根式的判定规则，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数：
A. $\sqrt{25}=5$，是整数，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{10}$已是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$被开方数不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与$\sqrt{5}$是同类二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原式的被开方数，解题时要牢记先化简再判断的规则。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式计算正确的是 （
A.$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} = 5$
C
）A.$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} = 5$
答案
3.C
解析
【分析】
这道题考查二次根式的四则运算法则，解题思路是先明确二次根式加减、乘除的运算规则，再逐一验证每个选项的运算是否正确：①二次根式加减时，只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并，合并时仅系数相加减，根号和被开方数保持不变；②二次根式乘法满足$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），除法满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$），依据以上规则排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
A选项：$5\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$是同类二次根式，合并后应为$(5-2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，选项结果为3，运算错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，运算错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{10}÷\sqrt{2}=\sqrt{10÷2}=\sqrt{5}$，选项结果为5，运算错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减、二次根式的乘除
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查对二次根式四则运算规则的理解与应用，做题时需注意区分加减和乘除的运算差异，避免出现非同类二次根式强行合并、运算时遗漏根号的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的四则运算法则，解题思路是先明确二次根式加减、乘除的运算规则，再逐一验证每个选项的运算是否正确：①二次根式加减时，只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并，合并时仅系数相加减，根号和被开方数保持不变；②二次根式乘法满足$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），除法满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$），依据以上规则排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
A选项：$5\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$是同类二次根式，合并后应为$(5-2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，选项结果为3，运算错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，运算错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{10}÷\sqrt{2}=\sqrt{10÷2}=\sqrt{5}$，选项结果为5，运算错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减、二次根式的乘除
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查对二次根式四则运算规则的理解与应用，做题时需注意区分加减和乘除的运算差异，避免出现非同类二次根式强行合并、运算时遗漏根号的错误。
【难度系数】
0.8
4.若$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，则$m$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确可合并的二次根式为同类二次根式，解题思路如下：首先先将$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合题目给出的$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，根据同类二次根式被开方数相同的特点列方程，最后解方程求出m的值即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. 因为$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，说明二者是同类二次根式，即化为最简后被开方数相等，因此可列等式：
$m+1=2$
3. 解方程得：
$m=2-1=1$
综上，m的值为1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式的概念
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题关键是理解“能合并的二次根式”的含义，注意题目已经说明$\sqrt{m+1}$是最简二次根式，无需额外对其进行化简，直接利用同类二次根式的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确可合并的二次根式为同类二次根式，解题思路如下：首先先将$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合题目给出的$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，根据同类二次根式被开方数相同的特点列方程，最后解方程求出m的值即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. 因为$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，说明二者是同类二次根式，即化为最简后被开方数相等，因此可列等式：
$m+1=2$
3. 解方程得：
$m=2-1=1$
综上，m的值为1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式的概念
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题关键是理解“能合并的二次根式”的含义，注意题目已经说明$\sqrt{m+1}$是最简二次根式，无需额外对其进行化简，直接利用同类二次根式的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知一个长方形的面积是$2\sqrt{6}$，宽是$\sqrt{2}$，则它的长是（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，因此要求长，只需用面积除以宽即可。接下来按照二次根式的除法运算法则计算，最后将结果化为最简二次根式，和选项对比就能得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式$S=ab$（其中$S$为面积，$a$为长，$b$为宽），可得长$a = S÷ b$。
已知$S=2\sqrt{6}$，$b=\sqrt{2}$，代入得：
$a=2\sqrt{6}÷\sqrt{2}=2×\sqrt{\frac{6}{2}}=2\sqrt{3}$
所以长方形的长为$2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、二次根式除法运算、最简二次根式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何面积公式和二次根式运算结合考察，难度较低，只要熟练掌握二次根式的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，因此要求长，只需用面积除以宽即可。接下来按照二次根式的除法运算法则计算，最后将结果化为最简二次根式，和选项对比就能得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式$S=ab$（其中$S$为面积，$a$为长，$b$为宽），可得长$a = S÷ b$。
已知$S=2\sqrt{6}$，$b=\sqrt{2}$，代入得：
$a=2\sqrt{6}÷\sqrt{2}=2×\sqrt{\frac{6}{2}}=2\sqrt{3}$
所以长方形的长为$2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、二次根式除法运算、最简二次根式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何面积公式和二次根式运算结合考察，难度较低，只要熟练掌握二次根式的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 如图所示，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为2,3和4，则图中阴影部分的面积为（
A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
D
）A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
答案
6.D
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此先根据三个正方形的面积求出各自的边长。观察图形可知，所有阴影部分都位于左侧两个正方形所在的矩形区域内，我们可以用这个矩形的总面积减去区域内两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分的总面积，不需要分别计算每块阴影的面积，简化运算。
【解析】
第一步：求三个正方形的边长
∵ 正方形面积=边长²
∴ 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，面积为4的正方形边长为$\sqrt{4}=2$。
第二步：求左侧包含阴影的矩形的面积
观察图形可知，大矩形的高度等于面积为4的正方形的边长2，左侧矩形的长为前两个正方形的边长和：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，因此该矩形面积为：
$2×(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
第三步：计算阴影面积
该矩形内空白部分是两个正方形，面积和为$2+3=5$，因此阴影面积为：
$2\sqrt{2}+2\sqrt{3} - 5$
即$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；二次根式运算；割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用割补思想，将分散的阴影部分整合到同一个矩形中计算，避免单独计算每块阴影的繁琐步骤，同时需要熟练掌握正方形边长与面积的关系，以及二次根式的基本运算。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积，首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此先根据三个正方形的面积求出各自的边长。观察图形可知，所有阴影部分都位于左侧两个正方形所在的矩形区域内，我们可以用这个矩形的总面积减去区域内两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分的总面积，不需要分别计算每块阴影的面积，简化运算。
【解析】
第一步：求三个正方形的边长
∵ 正方形面积=边长²
∴ 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，面积为4的正方形边长为$\sqrt{4}=2$。
第二步：求左侧包含阴影的矩形的面积
观察图形可知，大矩形的高度等于面积为4的正方形的边长2，左侧矩形的长为前两个正方形的边长和：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，因此该矩形面积为：
$2×(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
第三步：计算阴影面积
该矩形内空白部分是两个正方形，面积和为$2+3=5$，因此阴影面积为：
$2\sqrt{2}+2\sqrt{3} - 5$
即$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；二次根式运算；割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用割补思想，将分散的阴影部分整合到同一个矩形中计算，避免单独计算每块阴影的繁琐步骤，同时需要熟练掌握正方形边长与面积的关系，以及二次根式的基本运算。
【难度系数】
0.7
7. 定义一种新运算“@”，“@”的运算法则为$a@b=\sqrt{ab+3}$，则$(2@3)@5=$
$3\sqrt{2}$
。答案
7.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分两步走：首先要准确理解新运算“@”的运算规则，其次遵循混合运算“先算括号内、再算括号外”的顺序，先计算括号里的2@3，将计算结果作为新运算的第一个数，再和5进行“@”运算，最后将得到的二次根式化简为最简形式即可。
【解析】
第一步：计算括号内的2@3
根据运算法则$a@b=\sqrt{ab+3}$，代入$a=2$，$b=3$：
$2@3=\sqrt{2×3 + 3}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
第二步：计算3@5
将第一步得到的结果3作为新的$a$，代入$a=3$，$b=5$：
$3@5=\sqrt{3×5 + 3}=\sqrt{15+3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简
【点评】
本题主要考查对新运算规则的应用能力，解题时需严格按照给定的运算法则代入计算，注意运算顺序和二次根式的化简要求，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路分两步走：首先要准确理解新运算“@”的运算规则，其次遵循混合运算“先算括号内、再算括号外”的顺序，先计算括号里的2@3，将计算结果作为新运算的第一个数，再和5进行“@”运算，最后将得到的二次根式化简为最简形式即可。
【解析】
第一步：计算括号内的2@3
根据运算法则$a@b=\sqrt{ab+3}$，代入$a=2$，$b=3$：
$2@3=\sqrt{2×3 + 3}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
第二步：计算3@5
将第一步得到的结果3作为新的$a$，代入$a=3$，$b=5$：
$3@5=\sqrt{3×5 + 3}=\sqrt{15+3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简
【点评】
本题主要考查对新运算规则的应用能力，解题时需严格按照给定的运算法则代入计算，注意运算顺序和二次根式的化简要求，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
8.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为$\sqrt{2}$，则输出的结果是
$8+5\sqrt{2}$
。答案
8.$8+5\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确程序的运行逻辑：输入n后，先计算n(n+1)的值，若该值大于12则直接输出，若不大于12，就将计算得到的结果作为新的n重新代入计算，直到结果大于12为止。我们先把初始值n=√2代入计算，判断是否满足输出条件，不满足就迭代计算，直到符合要求即可。
【解析】
1. 第一次计算：初始输入$n=\sqrt{2}$
计算$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$2+\sqrt{2}\approx3.414＜12$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算。
2. 第二次计算：$n=2+\sqrt{2}$
计算$n(n+1)=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
展开得：$2×3 + 2×\sqrt{2} + 3×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2=8+5\sqrt{2}$
计算近似值：$8+5\sqrt{2}\approx8+7.07=15.07＞12$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 程序流程图运算
2. 二次根式混合运算
【点评】
本题结合流程图考查二次根式的运算能力，解题的核心是理清程序的循环规则，计算二次根式乘法时要准确运用乘法分配律展开，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运行逻辑：输入n后，先计算n(n+1)的值，若该值大于12则直接输出，若不大于12，就将计算得到的结果作为新的n重新代入计算，直到结果大于12为止。我们先把初始值n=√2代入计算，判断是否满足输出条件，不满足就迭代计算，直到符合要求即可。
【解析】
1. 第一次计算：初始输入$n=\sqrt{2}$
计算$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$2+\sqrt{2}\approx3.414＜12$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算。
2. 第二次计算：$n=2+\sqrt{2}$
计算$n(n+1)=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
展开得：$2×3 + 2×\sqrt{2} + 3×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2=8+5\sqrt{2}$
计算近似值：$8+5\sqrt{2}\approx8+7.07=15.07＞12$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 程序流程图运算
2. 二次根式混合运算
【点评】
本题结合流程图考查二次根式的运算能力，解题的核心是理清程序的循环规则，计算二次根式乘法时要准确运用乘法分配律展开，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 当$x=\sqrt{3}+1$时，式子$x^2 - 2x + 2$的值为
4
。答案
9.4
解析
【分析】
本题是已知含根号的x的值，求二次代数式的值的问题。解题时首先观察代数式的结构：$x^2-2x+2$的前两项$x^2-2x$，刚好符合完全平方公式中“$a^2-2ab$”的形式，因此可以先将代数式配方变形，消去x中的常数项，再代入计算会比直接代入展开运算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
首先对代数式$x^2-2x+2$进行配方化简：
$x^2-2x+2=(x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$
已知$x=\sqrt{3}+1$，代入可得$x-1=\sqrt{3}+1-1=\sqrt{3}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入化简后的式子计算：
原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题时优先对代数式进行化简再代入数值，可有效减少运算量，降低计算出错的概率，熟练掌握完全平方公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是已知含根号的x的值，求二次代数式的值的问题。解题时首先观察代数式的结构：$x^2-2x+2$的前两项$x^2-2x$，刚好符合完全平方公式中“$a^2-2ab$”的形式，因此可以先将代数式配方变形，消去x中的常数项，再代入计算会比直接代入展开运算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
首先对代数式$x^2-2x+2$进行配方化简：
$x^2-2x+2=(x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$
已知$x=\sqrt{3}+1$，代入可得$x-1=\sqrt{3}+1-1=\sqrt{3}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入化简后的式子计算：
原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题时优先对代数式进行化简再代入数值，可有效减少运算量，降低计算出错的概率，熟练掌握完全平方公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
