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18.有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图所示的方式，将木板的长AD增加$2\sqrt{3}$ cm（即$DE=2\sqrt{3}$ cm），宽AB增加$7\sqrt{3}$ cm（即$BG=7\sqrt{3}$ cm），得到一个面积为$192\ \mathrm{cm}^2$的正方形AGFE.
(1)求长方形木板ABCD的面积；
(2)木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行.
(1)求长方形木板ABCD的面积；
(2)木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行.
答案
18.解:(1)由题意可得正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$.
(2)木工乙的想法可行.理由如下:
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板,$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\frac{\sqrt{6}}{2}=12×\frac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$.
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$,$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}$,
$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$.$\therefore$可以裁出所求的长方形木料.$\therefore$木工乙的想法可行.
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$.
(2)木工乙的想法可行.理由如下:
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板,$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\frac{\sqrt{6}}{2}=12×\frac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$.
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$,$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}$,
$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$.$\therefore$可以裁出所求的长方形木料.$\therefore$木工乙的想法可行.
解析
【分析】
(1) 先从已知的正方形AGFE的面积入手，利用正方形面积与边长的关系求出正方形的边长；再结合长和宽的增加量，反推原长方形ABCD的长和宽，最后用长方形面积公式计算即可得到结果。
(2) 先根据裁出长方形的面积和宽，求出裁出长方形的长；再将裁出长方形的长、宽分别与原长方形ABCD的长、宽比较大小，若裁出的长和宽均小于原长方形的长和宽，则想法可行，比较二次根式大小时可将根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小判断。
【解析】
(1) 解：
∵正方形AGFE的面积为$192\ \mathrm{cm}^2$，
∴正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
∴原长方形的长$AD=8\sqrt{3}-DE=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
原长方形的宽$AB=8\sqrt{3}-BG=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
∴长方形木板ABCD的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 解：已知裁出的长方形面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴裁出的长方形的长为$12÷\frac{\sqrt{6}}{2}=12×\frac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$，
由(1)得原长方形ABCD的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
将根式变形比较大小：$4\sqrt{6}=\sqrt{96}$，$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$，因此$4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$；
又$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}$，$\sqrt{6}＜\sqrt{12}$，因此$\frac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$，
即裁出的长方形的长、宽均小于原长方形的长、宽，可以裁出所需木料，故木工乙的想法可行。
【答案】
(1) $18\ \mathrm{cm}^2$；(2) 木工乙的想法可行。
【知识点】
二次根式运算、面积公式应用、实数大小比较
【点评】
本题结合实际场景考查二次根式的基础运算与几何面积的应用，解题的核心是理清图形变化前后边长的数量关系，比较二次根式大小时将根号外因式移入根号内是常用的简便方法，熟练掌握该技巧能降低解题出错率。
【难度系数】
0.7
(1) 先从已知的正方形AGFE的面积入手，利用正方形面积与边长的关系求出正方形的边长；再结合长和宽的增加量，反推原长方形ABCD的长和宽，最后用长方形面积公式计算即可得到结果。
(2) 先根据裁出长方形的面积和宽，求出裁出长方形的长；再将裁出长方形的长、宽分别与原长方形ABCD的长、宽比较大小，若裁出的长和宽均小于原长方形的长和宽，则想法可行，比较二次根式大小时可将根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小判断。
【解析】
(1) 解：
∵正方形AGFE的面积为$192\ \mathrm{cm}^2$，
∴正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
∴原长方形的长$AD=8\sqrt{3}-DE=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
原长方形的宽$AB=8\sqrt{3}-BG=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
∴长方形木板ABCD的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 解：已知裁出的长方形面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴裁出的长方形的长为$12÷\frac{\sqrt{6}}{2}=12×\frac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$，
由(1)得原长方形ABCD的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
将根式变形比较大小：$4\sqrt{6}=\sqrt{96}$，$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$，因此$4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$；
又$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}$，$\sqrt{6}＜\sqrt{12}$，因此$\frac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$，
即裁出的长方形的长、宽均小于原长方形的长、宽，可以裁出所需木料，故木工乙的想法可行。
【答案】
(1) $18\ \mathrm{cm}^2$；(2) 木工乙的想法可行。
【知识点】
二次根式运算、面积公式应用、实数大小比较
【点评】
本题结合实际场景考查二次根式的基础运算与几何面积的应用，解题的核心是理清图形变化前后边长的数量关系，比较二次根式大小时将根号外因式移入根号内是常用的简便方法，熟练掌握该技巧能降低解题出错率。
【难度系数】
0.7
19. (代数推理)观察下列等式：
$a_1=\frac{1}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；$a_2=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；$a_3=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$；$a_4=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$；$···$.
按照上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第6个等式：
(2)请写出第n个等式：
(3)求$a_1+a_2+a_3+···+a_{20}$的值.
$a_1=\frac{1}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；$a_2=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；$a_3=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$；$a_4=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$；$···$.
按照上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第6个等式：
$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
；(2)请写出第n个等式：
$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
；(3)求$a_1+a_2+a_3+···+a_{20}$的值.
答案
19.(1)$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)解:$a_1+a_2+a_3+…+a_{20}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+…+\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$.
(2)$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)解:$a_1+a_2+a_3+…+a_{20}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+…+\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$.
解析
【分析】
本题是二次根式运算结合规律探究的题型，解题思路如下：
1. 先观察给出的前4个等式的结构：每个等式左边的分母是两个连续正奇数的算术平方根的和，分子为1，右边是这两个算术平方根的差除以2，本质是对左边的式子进行分母有理化。
2. 解决第(1)问：根据前面等式的规律，第k个等式分母的第一个根号内的数是2k-1，第二个是2k+1，代入k=6即可写出第6个等式。
3. 解决第(2)问：将第k个的规律用含n的代数式表示，再通过分母有理化验证等式成立即可得到第n个等式。
4. 解决第(3)问：将每个$a_n$用裂项后的形式代入求和，可发现相邻两项的中间部分会相互抵消，仅剩下首项的-1和末项的$\sqrt{2×20+1}$，即可快速算出结果，避免逐项计算的繁琐。
【解析】
(1) 观察前4个等式：第1个等式分母为$\sqrt{1}+\sqrt{3}$，第2个为$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，第3个为$\sqrt{5}+\sqrt{7}$，可得第k个等式的分母为$\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}$。
当k=6时，$2×6-1=11$，$2×6+1=13$，因此：
$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{13}-\sqrt{11}$：
$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{(\sqrt{11}+\sqrt{13})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{13-11}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$，即第6个等式为$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$。
(2) 结合上述规律，第n个等式左边为$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$，分母有理化后：
$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
因此第n个等式为$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$（n为正整数）。
(3) 求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$，将每个项用裂项后的形式代入：
原式$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
观察可得，相邻两项中前一项的正根号部分和后一项的负根号部分相互抵消：$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$抵消，$\sqrt{5}$与$-\sqrt{5}$抵消，…，$\sqrt{39}$与$-\sqrt{39}$抵消，最后剩余：
原式$=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$
【答案】
(1)$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)$\frac{\sqrt{41}-1}{2}$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 规律探究
3. 裂项相消求和
【点评】
本题综合考查规律归纳能力和二次根式的运算能力，解题的核心是准确找出等式的通用规律，再利用裂项抵消的方法简化求和运算，避免了复杂的逐项计算，是二次根式简便运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式运算结合规律探究的题型，解题思路如下：
1. 先观察给出的前4个等式的结构：每个等式左边的分母是两个连续正奇数的算术平方根的和，分子为1，右边是这两个算术平方根的差除以2，本质是对左边的式子进行分母有理化。
2. 解决第(1)问：根据前面等式的规律，第k个等式分母的第一个根号内的数是2k-1，第二个是2k+1，代入k=6即可写出第6个等式。
3. 解决第(2)问：将第k个的规律用含n的代数式表示，再通过分母有理化验证等式成立即可得到第n个等式。
4. 解决第(3)问：将每个$a_n$用裂项后的形式代入求和，可发现相邻两项的中间部分会相互抵消，仅剩下首项的-1和末项的$\sqrt{2×20+1}$，即可快速算出结果，避免逐项计算的繁琐。
【解析】
(1) 观察前4个等式：第1个等式分母为$\sqrt{1}+\sqrt{3}$，第2个为$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，第3个为$\sqrt{5}+\sqrt{7}$，可得第k个等式的分母为$\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}$。
当k=6时，$2×6-1=11$，$2×6+1=13$，因此：
$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{13}-\sqrt{11}$：
$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{(\sqrt{11}+\sqrt{13})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{13-11}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$，即第6个等式为$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$。
(2) 结合上述规律，第n个等式左边为$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$，分母有理化后：
$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
因此第n个等式为$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$（n为正整数）。
(3) 求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$，将每个项用裂项后的形式代入：
原式$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
观察可得，相邻两项中前一项的正根号部分和后一项的负根号部分相互抵消：$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$抵消，$\sqrt{5}$与$-\sqrt{5}$抵消，…，$\sqrt{39}$与$-\sqrt{39}$抵消，最后剩余：
原式$=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$
【答案】
(1)$a_6=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)$\frac{\sqrt{41}-1}{2}$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 规律探究
3. 裂项相消求和
【点评】
本题综合考查规律归纳能力和二次根式的运算能力，解题的核心是准确找出等式的通用规律，再利用裂项抵消的方法简化求和运算，避免了复杂的逐项计算，是二次根式简便运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
