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11. 把下列各式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{108}$；
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}$；
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$；
(4)$\sqrt{25 × 4}$。
(1)$\sqrt{108}$；
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}$；
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$；
(4)$\sqrt{25 × 4}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}=\sqrt{\frac{9×5}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$.
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}=\sqrt{\frac{9×5}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$.
解析
【分析】
要将各式化为最简二次根式，需先明确最简二次根式的核心要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时按以下思路推进：
1. 若被开方数是整数，先拆分出最大的完全平方因数，再借助二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$开方化简；
2. 若被开方数是分数，先拆分分子、分母中的完全平方因数，借助$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$化简；
3. 若被开方数包含运算，先计算出被开方数的结果，再按上述规则化简即可。
【解析】
解：
(1) $\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{\frac{45}{4}}=\sqrt{\frac{9×5}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
(3) $\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
(4) $\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$
【答案】
(1) $6\sqrt{3}$；(2) $\frac{3\sqrt{5}}{2}$；(3) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$；(4) $10$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质、有理数混合运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题时要注意优先完成被开方数内部的运算，再拆分完全平方因数开方，最终结果要确保满足最简二次根式的要求，避免出现化简不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
要将各式化为最简二次根式，需先明确最简二次根式的核心要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时按以下思路推进：
1. 若被开方数是整数，先拆分出最大的完全平方因数，再借助二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$开方化简；
2. 若被开方数是分数，先拆分分子、分母中的完全平方因数，借助$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$化简；
3. 若被开方数包含运算，先计算出被开方数的结果，再按上述规则化简即可。
【解析】
解：
(1) $\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{\frac{45}{4}}=\sqrt{\frac{9×5}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
(3) $\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
(4) $\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$
【答案】
(1) $6\sqrt{3}$；(2) $\frac{3\sqrt{5}}{2}$；(3) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$；(4) $10$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质、有理数混合运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题时要注意优先完成被开方数内部的运算，再拆分完全平方因数开方，最终结果要确保满足最简二次根式的要求，避免出现化简不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
12.计算：
(1)$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}$；
(2)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}$。
(1)$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}$；
(2)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}$。
答案
12.解:(1)$\sqrt{14}÷\sqrt{6}×\sqrt{\frac{27}{2}}=\sqrt{\frac{14}{6}×\frac{27}{2}}=\sqrt{\frac{63}{2}}=\sqrt{\frac{7×2×3^2}{2^2}}=\frac{3\sqrt{14}}{2}$.
(2)$\sqrt{27}×\sqrt{50}÷2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}=\frac{15}{2}$.
(2)$\sqrt{27}×\sqrt{50}÷2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}=\frac{15}{2}$.
解析
【分析】
这两道题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①二次根式乘除满足法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，乘除为同级运算，既可以按从左到右顺序计算，也可以将所有被开方数统一放在同一个根号下计算，最终结果要化为最简二次根式；②也可以先将每个二次根式先化简为最简形式，再分别计算系数和被开方数的运算，简化计算过程。
【解析】
(1) 按照二次根式乘除法则合并运算：
$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}}$
计算根号内的乘法得$\sqrt{\dfrac{63}{2}}$，再化简为最简二次根式：
$\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\sqrt{\dfrac{3^2×7×2}{2^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$
(2) 先化简各二次根式再运算：
先化简得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，代入原式：
$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}$
先计算乘法得$15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}$，约去$\sqrt{6}$后得$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题重点考察二次根式的乘除混合运算能力，计算时可灵活选择运算顺序，注意最终结果必须为最简形式，运算时要区分系数和被开方数的运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.75
这两道题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①二次根式乘除满足法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，乘除为同级运算，既可以按从左到右顺序计算，也可以将所有被开方数统一放在同一个根号下计算，最终结果要化为最简二次根式；②也可以先将每个二次根式先化简为最简形式，再分别计算系数和被开方数的运算，简化计算过程。
【解析】
(1) 按照二次根式乘除法则合并运算：
$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}}$
计算根号内的乘法得$\sqrt{\dfrac{63}{2}}$，再化简为最简二次根式：
$\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\sqrt{\dfrac{3^2×7×2}{2^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$
(2) 先化简各二次根式再运算：
先化简得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，代入原式：
$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}$
先计算乘法得$15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}$，约去$\sqrt{6}$后得$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题重点考察二次根式的乘除混合运算能力，计算时可灵活选择运算顺序，注意最终结果必须为最简形式，运算时要区分系数和被开方数的运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.75
13.化简：$\frac{2}{3}\sqrt{16a} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}\sqrt{4b} \ (a＞0,b＞0).$
答案
13.解:$\frac{2}{3}\sqrt{16a} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}\sqrt{4b} =\frac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{\sqrt{b}}{3} =\frac{8\sqrt{a}}{3} ×(-\frac{3}{2\sqrt{ab}}) × \frac{\sqrt{b}}{3}=-\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：①首先明确运算顺序：乘除是同级运算，按照从左到右的顺序计算；②先把每个二次根式化简为最简二次根式，方便后续计算；③将除法运算转化为乘法运算（除以一个非零数等于乘它的倒数）；④分别计算系数的乘积和二次根式部分的乘积，最后合并结果，注意运算过程中符号的处理，本题的除数是负数，最终结果符号为负。
【解析】
解：
∵$a＞0,b＞0$
∴原式=$\frac{2}{3}×4\sqrt{a} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}×2\sqrt{b}$
=$\frac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{\sqrt{b}}{3}$
将除法转化为乘法可得：
=$\frac{8\sqrt{a}}{3} × (-\frac{3}{2\sqrt{ab}}) × \frac{\sqrt{b}}{3}$
分别计算系数部分和二次根式部分：
系数部分：$\frac{8}{3} × (-\frac{3}{2}) × \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$
二次根式部分：$\sqrt{a} × \frac{1}{\sqrt{ab}} × \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a·b}{ab}} = \sqrt{1}=1$
两部分相乘得最终结果：$-\frac{4}{3} ×1 = -\frac{4}{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式乘除运算，乘除混合运算顺序
【点评】
本题侧重考查二次根式乘除混合运算的能力，解题时要注意先确定结果的符号，再分别计算系数和根式部分，将二次根式先化为最简形式再运算能有效减少计算错误，运算过程中要注意遵循同级运算从左到右的顺序。
【难度系数】
0.7
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：①首先明确运算顺序：乘除是同级运算，按照从左到右的顺序计算；②先把每个二次根式化简为最简二次根式，方便后续计算；③将除法运算转化为乘法运算（除以一个非零数等于乘它的倒数）；④分别计算系数的乘积和二次根式部分的乘积，最后合并结果，注意运算过程中符号的处理，本题的除数是负数，最终结果符号为负。
【解析】
解：
∵$a＞0,b＞0$
∴原式=$\frac{2}{3}×4\sqrt{a} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}×2\sqrt{b}$
=$\frac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{\sqrt{b}}{3}$
将除法转化为乘法可得：
=$\frac{8\sqrt{a}}{3} × (-\frac{3}{2\sqrt{ab}}) × \frac{\sqrt{b}}{3}$
分别计算系数部分和二次根式部分：
系数部分：$\frac{8}{3} × (-\frac{3}{2}) × \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$
二次根式部分：$\sqrt{a} × \frac{1}{\sqrt{ab}} × \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a·b}{ab}} = \sqrt{1}=1$
两部分相乘得最终结果：$-\frac{4}{3} ×1 = -\frac{4}{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式乘除运算，乘除混合运算顺序
【点评】
本题侧重考查二次根式乘除混合运算的能力，解题时要注意先确定结果的符号，再分别计算系数和根式部分，将二次根式先化为最简形式再运算能有效减少计算错误，运算过程中要注意遵循同级运算从左到右的顺序。
【难度系数】
0.7
14.若$\sqrt{24n}$是整数，则正整数$n$的最小值是（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
14.C
解析
【分析】
要使$\sqrt{24n}$是整数，说明被开方数$24n$是能完全开方的正整数（即完全平方数）。解题时先将24分解质因数，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特点，找出还需要补充的质因数，相乘即可得到最小的正整数$n$。
【解析】
先对24分解质因数：
$24 = 2×2×2×3 = 2^2×6$
因此$\sqrt{24n} = \sqrt{2^2×6n} = 2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，则$\sqrt{6n}$必须为整数，即$6n$是完全平方数。
6的质因数为2和3，各出现1次，要使$6n$为完全平方数，最小需要补充1个2和1个3，即$n$最小为$2×3=6$，此时$6n=36$，是6的平方，满足条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数的特征、质因数分解
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是明确“根号结果为整数则被开方数为完全平方数”的规律，通过分解质因数可以快速确定最小$n$的取值。
【难度系数】
0.7
要使$\sqrt{24n}$是整数，说明被开方数$24n$是能完全开方的正整数（即完全平方数）。解题时先将24分解质因数，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特点，找出还需要补充的质因数，相乘即可得到最小的正整数$n$。
【解析】
先对24分解质因数：
$24 = 2×2×2×3 = 2^2×6$
因此$\sqrt{24n} = \sqrt{2^2×6n} = 2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，则$\sqrt{6n}$必须为整数，即$6n$是完全平方数。
6的质因数为2和3，各出现1次，要使$6n$为完全平方数，最小需要补充1个2和1个3，即$n$最小为$2×3=6$，此时$6n=36$，是6的平方，满足条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数的特征、质因数分解
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是明确“根号结果为整数则被开方数为完全平方数”的规律，通过分解质因数可以快速确定最小$n$的取值。
【难度系数】
0.7
15.如果一个二次根式与$\sqrt{x-y}$相乘的积不含有根号，那么这个二次根式可以是
$\sqrt{x-y}$(答案不唯一)
（只需写一个）。答案
15.$\sqrt{x-y}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求：找到一个二次根式，与$\sqrt{x-y}$相乘后结果不含根号。我们可以回忆二次根式的运算性质，当两个相同的非负二次根式相乘时，结果就是根号里的被开方数，是不含根号的整式，满足要求。首先要注意$\sqrt{x-y}$有意义的前提是$x-y≥0$，所以我们直接选取和它相同的二次根式即可，也可以选取它的非零常数倍的二次根式，都是符合要求的。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
已知$\sqrt{x-y}$是二次根式，隐含条件$x-y≥0$，我们选取这个二次根式为$\sqrt{x-y}$，计算乘积：
$\sqrt{x-y} × \sqrt{x-y} = (\sqrt{x-y})^2 = x-y$
结果$x-y$是整式，不含根号，符合题目要求。注：答案不唯一，如$2\sqrt{x-y}$等也满足条件。
【答案】
$\sqrt{x-y}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对二次根式运算性质的掌握，解题时只需要结合二次根式的乘法规则，找到能消去原式根号的二次根式即可，注意所写的二次根式要保证有意义。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确题目要求：找到一个二次根式，与$\sqrt{x-y}$相乘后结果不含根号。我们可以回忆二次根式的运算性质，当两个相同的非负二次根式相乘时，结果就是根号里的被开方数，是不含根号的整式，满足要求。首先要注意$\sqrt{x-y}$有意义的前提是$x-y≥0$，所以我们直接选取和它相同的二次根式即可，也可以选取它的非零常数倍的二次根式，都是符合要求的。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
已知$\sqrt{x-y}$是二次根式，隐含条件$x-y≥0$，我们选取这个二次根式为$\sqrt{x-y}$，计算乘积：
$\sqrt{x-y} × \sqrt{x-y} = (\sqrt{x-y})^2 = x-y$
结果$x-y$是整式，不含根号，符合题目要求。注：答案不唯一，如$2\sqrt{x-y}$等也满足条件。
【答案】
$\sqrt{x-y}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对二次根式运算性质的掌握，解题时只需要结合二次根式的乘法规则，找到能消去原式根号的二次根式即可，注意所写的二次根式要保证有意义。
【难度系数】
0.9
16.已知实数$ a $满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$.
(1)$ a $的取值范围为________;
(2)$ a - 2025^2 $的值为________.
(1)$ a $的取值范围为________;
(2)$ a - 2025^2 $的值为________.
答案
16.(1)$a≥2\ 026$ (2)$2\ 026$
解析
【分析】
（1）要确定a的取值范围，观察等式中含有二次根式$\sqrt{a-2026}$，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，由此列出不等式即可求解a的范围。
（2）求$a-2025^2$的值，先根据第（1）问得到的a的范围，判断$2025-a$的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将原等式化简，最后变形即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此对于$\sqrt{a-2026}$，有：
$a - 2026 ≥ 0$
解得 $a ≥ 2026$
(2) 由(1)知$a≥2026$，因此$2025 - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2025 - a| = a - 2025$
将其代入原等式：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
两边同时减去a，得：
$-2025 + \sqrt{a - 2026} = 0$
移项得：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方，得：
$a - 2026 = 2025^2$
移项可得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
(1)$a≥ 2026$ (2)$2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题突破口是先利用二次根式有意义的条件确定参数的取值范围，再去绝对值化简计算，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要确定a的取值范围，观察等式中含有二次根式$\sqrt{a-2026}$，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，由此列出不等式即可求解a的范围。
（2）求$a-2025^2$的值，先根据第（1）问得到的a的范围，判断$2025-a$的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将原等式化简，最后变形即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此对于$\sqrt{a-2026}$，有：
$a - 2026 ≥ 0$
解得 $a ≥ 2026$
(2) 由(1)知$a≥2026$，因此$2025 - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2025 - a| = a - 2025$
将其代入原等式：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
两边同时减去a，得：
$-2025 + \sqrt{a - 2026} = 0$
移项得：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方，得：
$a - 2026 = 2025^2$
移项可得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
(1)$a≥ 2026$ (2)$2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题突破口是先利用二次根式有意义的条件确定参数的取值范围，再去绝对值化简计算，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17. 已知$|1 - x| - \sqrt{x^2 - 8x + 16} = 2x - 5$，求$x$的取值范围。
答案
17.解:由已知,得等式的左边$=|1-x|-\sqrt{(x-4)^2}=|1-x|-|x-4|$,右边$=2x-5$.
只有$|1-x|=x-1$,$|x-4|=4-x$时,左边=右边.
这时$\begin{cases}1-x≤0,\\x-4≤0,\end{cases}$解得$1≤x≤4$.$\therefore x$的取值范围是$1≤x≤4$.
只有$|1-x|=x-1$,$|x-4|=4-x$时,左边=右边.
这时$\begin{cases}1-x≤0,\\x-4≤0,\end{cases}$解得$1≤x≤4$.$\therefore x$的取值范围是$1≤x≤4$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将等式左边的根号部分化简为绝对值形式，此时左边变为两个绝对值的差。接下来对比等式左右两边的形式，分析去绝对值符号后各项的符号：要使左边化简后等于右边的$2x-5$，需保证$|1-x|$去绝对值后为$x-1$（即$1-x≤0$），$|x-4|$去绝对值后为$4-x$（即$x-4≤0$），最后列不等式组求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=|1-x|-\sqrt{x^2-8x+16}\\&=|1-x|-\sqrt{(x-4)^2}\\&=|1-x|-|x-4|\end{aligned}$
已知等式右边为$2x-5$，若左边=右边，需满足：
$|1-x|=x-1$，且$|x-4|=4-x$
根据绝对值的性质，可列不等式组：
$\begin{cases}1-x≤0 \\ x-4≤0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥1$，解第二个不等式得$x≤4$，因此不等式组的解集为$1≤ x≤4$。
【答案】
$1≤ x≤4$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题型，核心考查二次根式化简规则和去绝对值的符号判断，解题的关键是根据等式两边的形式确定绝对值内表达式的正负性，再通过解不等式组得到取值范围，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将等式左边的根号部分化简为绝对值形式，此时左边变为两个绝对值的差。接下来对比等式左右两边的形式，分析去绝对值符号后各项的符号：要使左边化简后等于右边的$2x-5$，需保证$|1-x|$去绝对值后为$x-1$（即$1-x≤0$），$|x-4|$去绝对值后为$4-x$（即$x-4≤0$），最后列不等式组求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=|1-x|-\sqrt{x^2-8x+16}\\&=|1-x|-\sqrt{(x-4)^2}\\&=|1-x|-|x-4|\end{aligned}$
已知等式右边为$2x-5$，若左边=右边，需满足：
$|1-x|=x-1$，且$|x-4|=4-x$
根据绝对值的性质，可列不等式组：
$\begin{cases}1-x≤0 \\ x-4≤0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥1$，解第二个不等式得$x≤4$，因此不等式组的解集为$1≤ x≤4$。
【答案】
$1≤ x≤4$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题型，核心考查二次根式化简规则和去绝对值的符号判断，解题的关键是根据等式两边的形式确定绝对值内表达式的正负性，再通过解不等式组得到取值范围，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
