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13. 在$\sqrt{27}$，$\sqrt{\frac{1}{12}}$，$\sqrt{1\frac{1}{2}}$中，与$\sqrt{3}$可以合并的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
13.C
解析
【分析】
要判断几个二次根式能否与$\sqrt{3}$合并，核心是掌握同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式，同类二次根式可以合并。解题思路为：先把题干给出的三个二次根式分别化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否为3，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
逐个化简题干中的二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，最简形式的被开方数是3，属于$\sqrt{3}$的同类二次根式，可以合并；
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{12}}$：$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4×3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，最简形式的被开方数是3，属于$\sqrt{3}$的同类二次根式，可以合并；
3. 化简$\sqrt{1\frac{1}{2}}$：先将带分数化为假分数，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，因此$\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，最简形式的被开方数是6，和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并。
综上，能与$\sqrt{3}$合并的有2个。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，需先将所有二次根式化为最简形式后再比较被开方数，属于二次根式部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断几个二次根式能否与$\sqrt{3}$合并，核心是掌握同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式，同类二次根式可以合并。解题思路为：先把题干给出的三个二次根式分别化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否为3，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
逐个化简题干中的二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，最简形式的被开方数是3，属于$\sqrt{3}$的同类二次根式，可以合并；
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{12}}$：$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4×3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，最简形式的被开方数是3，属于$\sqrt{3}$的同类二次根式，可以合并；
3. 化简$\sqrt{1\frac{1}{2}}$：先将带分数化为假分数，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，因此$\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，最简形式的被开方数是6，和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并。
综上，能与$\sqrt{3}$合并的有2个。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，需先将所有二次根式化为最简形式后再比较被开方数，属于二次根式部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
14.如图所示,将一个半径为$3\sqrt{2}$的铁丝圆环展开,重新围成一个矩形.若矩形的长为$\sqrt{8}π$,则矩形的宽是（
）
A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{3}π$
D.$3\sqrt{2}π$
）A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{3}π$
D.$3\sqrt{2}π$
答案
14.B
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住铁丝从圆环改围成矩形的过程中总长度不变，即圆的周长等于矩形的周长。解题思路分为三步：第一步根据圆的半径计算圆的周长，得到铁丝的总长度；第二步利用矩形周长公式，结合周长相等建立等量关系；第三步代入已知的矩形长，通过二次根式化简计算出矩形的宽。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即原圆环的周长）：
根据圆的周长公式$C=2π r$，已知圆环半径$r=3\sqrt{2}$，代入得：
$C=2π×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}π$
2. 利用周长相等计算矩形的宽：
铁丝长度不变，因此矩形周长等于圆的周长$6\sqrt{2}π$。
矩形周长公式为$C_{矩形}=2×(长+宽)$，已知矩形长为$\sqrt{8}π$，设宽为$x$，代入公式得：
$2×(\sqrt{8}π +x)=6\sqrt{2}π$
先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，等式两边同时除以2得：
$2\sqrt{2}π +x=3\sqrt{2}π$
移项计算得：
$x=3\sqrt{2}π -2\sqrt{2}π=\sqrt{2}π$
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；矩形周长计算；二次根式化简
【点评】
本题侧重考查基础公式的应用，解题关键是抓住形变前后周长不变的核心等量关系，结合二次根式的简单运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住铁丝从圆环改围成矩形的过程中总长度不变，即圆的周长等于矩形的周长。解题思路分为三步：第一步根据圆的半径计算圆的周长，得到铁丝的总长度；第二步利用矩形周长公式，结合周长相等建立等量关系；第三步代入已知的矩形长，通过二次根式化简计算出矩形的宽。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即原圆环的周长）：
根据圆的周长公式$C=2π r$，已知圆环半径$r=3\sqrt{2}$，代入得：
$C=2π×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}π$
2. 利用周长相等计算矩形的宽：
铁丝长度不变，因此矩形周长等于圆的周长$6\sqrt{2}π$。
矩形周长公式为$C_{矩形}=2×(长+宽)$，已知矩形长为$\sqrt{8}π$，设宽为$x$，代入公式得：
$2×(\sqrt{8}π +x)=6\sqrt{2}π$
先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，等式两边同时除以2得：
$2\sqrt{2}π +x=3\sqrt{2}π$
移项计算得：
$x=3\sqrt{2}π -2\sqrt{2}π=\sqrt{2}π$
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；矩形周长计算；二次根式化简
【点评】
本题侧重考查基础公式的应用，解题关键是抓住形变前后周长不变的核心等量关系，结合二次根式的简单运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式.如果一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.若一个三角形的三边长分别为3,3,4,其面积$S$介于两个连续整数$n$和$n+1$之间,则$n$的值为
4
.答案
15.4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据三角形三边长度，按照题干给出的半周长公式计算p的值；第二步将p和三边长代入海伦-秦九韶面积公式，求出面积的二次根式表达；第三步通过估算二次根式的大小，判断面积介于哪两个连续整数之间，即可得到n的值。
【解析】
已知三角形三边长分别为$a=3$，$b=3$，$c=4$：
1. 计算半周长$p$：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+3+4}{2}=5$
2. 代入面积公式计算$S$：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}$
3. 估算$\sqrt{20}$的大小：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜20＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$
因此面积$S$介于整数4和5之间，可得$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
新公式代入应用，二次根式估算，实数大小比较
【点评】
本题结合传统数学文化设置考点，侧重考查对新公式的运用能力和无理数的估算能力，解题时严格按照公式步骤计算即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步先根据三角形三边长度，按照题干给出的半周长公式计算p的值；第二步将p和三边长代入海伦-秦九韶面积公式，求出面积的二次根式表达；第三步通过估算二次根式的大小，判断面积介于哪两个连续整数之间，即可得到n的值。
【解析】
已知三角形三边长分别为$a=3$，$b=3$，$c=4$：
1. 计算半周长$p$：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+3+4}{2}=5$
2. 代入面积公式计算$S$：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}$
3. 估算$\sqrt{20}$的大小：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜20＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$
因此面积$S$介于整数4和5之间，可得$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
新公式代入应用，二次根式估算，实数大小比较
【点评】
本题结合传统数学文化设置考点，侧重考查对新公式的运用能力和无理数的估算能力，解题时严格按照公式步骤计算即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
16.若$\sqrt{48} · \sqrt{2a}$的值是一个整数，则正整数$a$的最小值是
6
。答案
16.6
解析
【分析】
解题时先利用二次根式的乘法法则将两个二次根式合并，再对合并后的二次根式进行化简，要使最终结果为整数，需保证化简后根号内的部分是能开得尽方的数，结合a是正整数的条件，即可求出a的最小值。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}\quad(m≥0,n≥0)$，可得：
$\sqrt{48}·\sqrt{2a}=\sqrt{48×2a}=\sqrt{96a}$
对$\sqrt{96a}$进行化简：
$96=16×6$，其中16是完全平方数（$16=4^2$），因此：
$\sqrt{96a}=\sqrt{16×6a}=\sqrt{16}×\sqrt{6a}=4\sqrt{6a}$
要使原式的值为整数，即$4\sqrt{6a}$为整数，因为4是整数，因此$\sqrt{6a}$必须为整数，也就是$6a$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，两个质因数的指数均为1，要使$6a$为完全平方数，正整数$a$最小需要补充质因数2和3各1个，即$a_{最小}=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次根式乘法、二次根式化简、完全平方数特征
【点评】
本题侧重考察二次根式的运算与化简能力，解题的核心是先将原式化简为最简二次根式形式，再结合结果为整数的要求推导未知参数的取值，掌握二次根式的运算法则和完全平方数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次根式的乘法法则将两个二次根式合并，再对合并后的二次根式进行化简，要使最终结果为整数，需保证化简后根号内的部分是能开得尽方的数，结合a是正整数的条件，即可求出a的最小值。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}\quad(m≥0,n≥0)$，可得：
$\sqrt{48}·\sqrt{2a}=\sqrt{48×2a}=\sqrt{96a}$
对$\sqrt{96a}$进行化简：
$96=16×6$，其中16是完全平方数（$16=4^2$），因此：
$\sqrt{96a}=\sqrt{16×6a}=\sqrt{16}×\sqrt{6a}=4\sqrt{6a}$
要使原式的值为整数，即$4\sqrt{6a}$为整数，因为4是整数，因此$\sqrt{6a}$必须为整数，也就是$6a$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，两个质因数的指数均为1，要使$6a$为完全平方数，正整数$a$最小需要补充质因数2和3各1个，即$a_{最小}=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次根式乘法、二次根式化简、完全平方数特征
【点评】
本题侧重考察二次根式的运算与化简能力，解题的核心是先将原式化简为最简二次根式形式，再结合结果为整数的要求推导未知参数的取值，掌握二次根式的运算法则和完全平方数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17.(跨学科融合)物体在做自由落体运动时,下落时间t(单位:s)和下落高度h(单位:m)之间满足关系式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,其中g取$10\ \mathrm{m/s}^2$(不考虑空气阻力).
(1)小球从90 m高空自由下落,需要多长时间到达地面?
(2)小明认为,小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落需要时间的2倍.你认同小明的想法吗?请说明理由.
(1)小球从90 m高空自由下落,需要多长时间到达地面?
(2)小明认为,小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落需要时间的2倍.你认同小明的想法吗?请说明理由.
答案
17.解:(1)由题意,得$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×90}{10}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}(\mathrm{s}).$
$\therefore$小球从90 m高空自由下落,需要$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$到达地面.
(2)不认同小明的想法.理由如下:
由题意,得$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{s}),\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}≠2,$
即小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落所需时间的$\sqrt{2}$倍,不是2倍,
$\therefore$不认同小明的想法.
$\therefore$小球从90 m高空自由下落,需要$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$到达地面.
(2)不认同小明的想法.理由如下:
由题意,得$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{s}),\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}≠2,$
即小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落所需时间的$\sqrt{2}$倍,不是2倍,
$\therefore$不认同小明的想法.
解析
【分析】
(1)题目已明确给出下落时间t和下落高度h的关系式，已知下落高度h=90m、g=10m/s²，直接将数值代入公式，按照二次根式的运算规则计算，就能得到小球落地所需时间。(2)要判断小明的想法是否正确，先代入h=180m算出对应的下落时间，再将该时间与90m的下落时间求比值，判断比值是否为2即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意，将h=90，g=10代入公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{2×90}{10}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}(\mathrm{s})$
$\therefore$小球从90 m高空自由下落，需要$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$到达地面。
(2) 不认同小明的想法，理由如下：
将h=180，g=10代入公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{2×180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{s})$
计算两个时间的比值：$\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}≠2$，即小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落所需时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此不认同小明的想法。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$；(2) 不认同小明的想法，小球从180m高空下落的时间是从90m高空下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍。
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，比例关系验证
【点评】
本题结合物理自由落体的实际场景考查二次根式的应用，解题核心是准确代入已知量计算对应结果，再通过比值验证结论，需要注意t与$\sqrt{h}$成正比，并非与h成正比，不能直接按高度的倍数推断时间的倍数。
【难度系数】
0.8
(1)题目已明确给出下落时间t和下落高度h的关系式，已知下落高度h=90m、g=10m/s²，直接将数值代入公式，按照二次根式的运算规则计算，就能得到小球落地所需时间。(2)要判断小明的想法是否正确，先代入h=180m算出对应的下落时间，再将该时间与90m的下落时间求比值，判断比值是否为2即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意，将h=90，g=10代入公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{2×90}{10}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}(\mathrm{s})$
$\therefore$小球从90 m高空自由下落，需要$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$到达地面。
(2) 不认同小明的想法，理由如下：
将h=180，g=10代入公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{2×180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{s})$
计算两个时间的比值：$\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}≠2$，即小球从180 m高空自由下落需要的时间是从90 m高空自由下落所需时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此不认同小明的想法。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$；(2) 不认同小明的想法，小球从180m高空下落的时间是从90m高空下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍。
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，比例关系验证
【点评】
本题结合物理自由落体的实际场景考查二次根式的应用，解题核心是准确代入已知量计算对应结果，再通过比值验证结论，需要注意t与$\sqrt{h}$成正比，并非与h成正比，不能直接按高度的倍数推断时间的倍数。
【难度系数】
0.8
