1. 下列方程中是分式方程的是 （）

A.$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$
B.$2x=5-x$
C.$x^2+1=0$
D.$2+\frac{1}{x}=x$

D

根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
A选项的分母均为常数，不含未知数，属于整式方程；
B选项是一元一次整式方程；
C选项是一元二次整式方程；
D选项的分母含有未知数x，符合分式方程的定义。

2. 下列方程中是分式方程的有 （）
①$\frac{x-1}{2}=1$；②$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{3x-1}$；③$x=\frac{x}{5}$；④$\frac{x}{2}-\frac{2}{x}=1$。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
1. 方程①$\frac{x-1}{2}=1$的分母是常数2，不含未知数，属于整式方程；
2. 方程②$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{3x-1}$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
3. 方程③$x=\frac{x}{5}$的分母是常数5，不含未知数，属于整式方程；
4. 方程④$\frac{x}{2}-\frac{2}{x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，分式方程共有2个。

3. 端午节，又称“端阳节”“蒲节”“端礼节”等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节。某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子。该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同。设实际每小时包$ x $个，则下列方程正确的是（）

A.$\frac{1000}{x - 100} = \frac{1200}{x}$
B.$\frac{1200}{x - 100} = \frac{1000}{x}$
C.$\frac{1200}{x + 100} = \frac{1000}{x}$
D.$\frac{1000}{x + 100} = \frac{1200}{x}$

A

设实际每小时包$x$个，由实际比原计划每小时多包100个，可得原计划每小时包$(x-100)$个。根据“时间=总数量÷每小时包的数量”，原计划包1000个的时间为$\frac{1000}{x-100}$，实际包1200个的时间为$\frac{1200}{x}$，由二者时间相等，列方程得$\frac{1000}{x-100}=\frac{1200}{x}$。

4. 解分式方程$\frac{1}{x-2} -2 = \frac{1-x}{2-x}$时，去分母正确的是 （）

A.$1 - 2(x-2) =1 +x$
B.$1 -2(x-2) = -1 +x$
C.$1 -2(x-2) = -1 -x$
D.$-1 +2(2 -x)=1 +x$

B

先观察分式方程的分母，可得$2-x=-(x-2)$，因此该方程的最简公分母为$x-2$。将方程两边同时乘以$x-2$：
1. 左边第一项$\frac{1}{x-2}$乘$x-2$得$1$，第二项$-2$乘$x-2$得$-2(x-2)$；
2. 右边$\frac{1-x}{2-x}$乘$x-2$，等价于$\frac{1-x}{-(x-2)}·(x-2)=-(1-x)=-1+x$。
最终去分母得到$1-2(x-2)=-1+x$。