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5. 分式方程$\frac{2}{x}=\frac{5}{x-3}$的解为 （）
A.$x=-3$
B.$x=-2$
C.$x=2$
D.$x=3$
A.$x=-3$
B.$x=-2$
C.$x=2$
D.$x=3$
答案
B
解析
解分式方程$\frac{2}{x}=\frac{5}{x-3}$：
1. 去分母：方程两边同乘最简公分母$x(x-3)$，得$2(x-3)=5x$；
2. 解整式方程：展开得$2x-6=5x$，移项合并得$-3x=6$，解得$x=-2$；
3. 检验：将$x=-2$代入$x(x-3)$，计算得$(-2)×(-2-3)=10≠0$，$x=-2$是原方程的有效解。
1. 去分母：方程两边同乘最简公分母$x(x-3)$，得$2(x-3)=5x$；
2. 解整式方程：展开得$2x-6=5x$，移项合并得$-3x=6$，解得$x=-2$；
3. 检验：将$x=-2$代入$x(x-3)$，计算得$(-2)×(-2-3)=10≠0$，$x=-2$是原方程的有效解。
6. 下列方程中,是分式方程的有 ______(填序号)。
①$\frac{1}{2}+x=\frac{x}{3}$；②$\frac{1}{y}=3$；③$\frac{5}{x+1}=\frac{6}{x}$；④$\frac{x^2}{2}-2x=\frac{1}{3}$。
①$\frac{1}{2}+x=\frac{x}{3}$；②$\frac{1}{y}=3$；③$\frac{5}{x+1}=\frac{6}{x}$；④$\frac{x^2}{2}-2x=\frac{1}{3}$。
答案
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
①方程的分母为2、3，均不含未知数，是整式方程；
②方程的分母为y，含有未知数，是分式方程；
③方程的分母为$x+1$、$x$，含有未知数，是分式方程；
④方程的分母为2、3，均不含未知数，是整式方程。
因此是分式方程的有$\boldsymbol{②③}$。
①方程的分母为2、3，均不含未知数，是整式方程；
②方程的分母为y，含有未知数，是分式方程；
③方程的分母为$x+1$、$x$，含有未知数，是分式方程；
④方程的分母为2、3，均不含未知数，是整式方程。
因此是分式方程的有$\boldsymbol{②③}$。
7. 分式方程$\frac{2}{x+1}=1$的解为。
答案
$\boldsymbol{x=1}$
解析
解：
方程两边同乘$(x+1)$，得
$2 = x + 1$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x+1=2≠0$，所以$x=1$是原分式方程的解。
方程两边同乘$(x+1)$，得
$2 = x + 1$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x+1=2≠0$，所以$x=1$是原分式方程的解。
8.若关于$x$的分式方程$\frac{a}{x-2}=\frac{x-1}{x-2}$有增根，则$a$的值为。
答案
解：
令分式方程的分母为0，即$x-2=0$，解得增根为$x=2$。
方程两边同乘$(x-2)$去分母，得：
$a = x - 1$
将增根$x=2$代入上式，得$a=2-1=1$。
故$a$的值为$\boldsymbol{1}$。
令分式方程的分母为0，即$x-2=0$，解得增根为$x=2$。
方程两边同乘$(x-2)$去分母，得：
$a = x - 1$
将增根$x=2$代入上式，得$a=2-1=1$。
故$a$的值为$\boldsymbol{1}$。
9.魅力新保定，跑向新未来！2025年4月20日上午7:30，2025保定马拉松赛鸣枪开跑。甲、乙两人参加约40 km的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2 km，最终甲比乙早1 h到达。设乙的平均速度为x km/h，根据题意可列方程为。
答案
解：
已知乙的平均速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则甲的平均速度为$(x+2)\ \mathrm{km/h}$。
乙跑完全程的用时为$\frac{40}{x}\ \mathrm{h}$，甲跑完全程的用时为$\frac{40}{x+2}\ \mathrm{h}$。
根据甲比乙早1h到达的条件，可列方程：
$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+2} = 1$
已知乙的平均速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则甲的平均速度为$(x+2)\ \mathrm{km/h}$。
乙跑完全程的用时为$\frac{40}{x}\ \mathrm{h}$，甲跑完全程的用时为$\frac{40}{x+2}\ \mathrm{h}$。
根据甲比乙早1h到达的条件，可列方程：
$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+2} = 1$
10. 解方程：
(1)$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2}{x+3};$
(2)$\dfrac{x-3}{x-2}+1=\dfrac{3}{2-x}。$
(1)$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2}{x+3};$
(2)$\dfrac{x-3}{x-2}+1=\dfrac{3}{2-x}。$
答案
解：
(1) 方程两边同乘$2x(x+3)$去分母，得：
$x+3=4x$
移项合并得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$2x(x+3)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 原方程变形为$\frac{x-3}{x-2}+1=-\frac{3}{x-2}$，
方程两边同乘$(x-2)$去分母，得：
$x-3 + x-2 = -3$
合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(1) 方程两边同乘$2x(x+3)$去分母，得：
$x+3=4x$
移项合并得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$2x(x+3)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 原方程变形为$\frac{x-3}{x-2}+1=-\frac{3}{x-2}$，
方程两边同乘$(x-2)$去分母，得：
$x-3 + x-2 = -3$
合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
11.有下列说法:①$\frac{5x+1}{3x}=\frac{2}{x}$是分式方程;②$x=1$或$x=-1$是分式方程$\frac{x+1}{x^2-1}=0$的解;③分式方程$\frac{3}{x+4}=\frac{2}{x}$转化成一元一次方程时,方程两边需要同乘$x(x+4)$;④解分式方程时一定会出现增根。其中正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐个判断各说法：
1. 根据分式方程定义：分母含有未知数的方程是分式方程，方程$\frac{5x+1}{3x}=\frac{2}{x}$的分母含未知数$x$，故①正确。
2. 分式方程$\frac{x+1}{x^2-1}=0$中，分母$x^2-1≠0$，即$x≠\pm1$，因此$x=1$和$x=-1$都是增根，该方程无解，故②错误。
3. 分式方程$\frac{3}{x+4}=\frac{2}{x}$的最简公分母为$x(x+4)$，转化为一元一次方程时两边需同乘$x(x+4)$，故③正确。
4. 解分式方程时不一定会出现增根，仅当整式方程的根使原分式方程分母为0时才会产生增根，故④错误。
综上，正确的说法共2个。
1. 根据分式方程定义：分母含有未知数的方程是分式方程，方程$\frac{5x+1}{3x}=\frac{2}{x}$的分母含未知数$x$，故①正确。
2. 分式方程$\frac{x+1}{x^2-1}=0$中，分母$x^2-1≠0$，即$x≠\pm1$，因此$x=1$和$x=-1$都是增根，该方程无解，故②错误。
3. 分式方程$\frac{3}{x+4}=\frac{2}{x}$的最简公分母为$x(x+4)$，转化为一元一次方程时两边需同乘$x(x+4)$，故③正确。
4. 解分式方程时不一定会出现增根，仅当整式方程的根使原分式方程分母为0时才会产生增根，故④错误。
综上，正确的说法共2个。
12. 已知关于$x$的分式方程$\frac{a}{x-2}=\frac{1-x}{2-x}-3$无解，则$a$的值为 （）
A.－1
B.1
C.2
D.0
A.－1
B.1
C.2
D.0
答案
B
解析
先对分式方程去分母，方程两边同乘最简公分母$x-2$：
原方程$\frac{a}{x-2}=\frac{1-x}{2-x}-3$变形后得：
$a = x-1 - 3(x-2)$
展开整理得：$a = -2x +5$，解得$x=\frac{5-a}{2}$。
分式方程无解说明存在增根，分式的分母为0时$x=2$，将增根$x=2$代入$x=\frac{5-a}{2}$：
$2=\frac{5-a}{2}$，解得$a=1$。
该整式方程是一元一次方程，x的系数不为0，不存在整式方程本身无解的情况，因此a的值为1。
原方程$\frac{a}{x-2}=\frac{1-x}{2-x}-3$变形后得：
$a = x-1 - 3(x-2)$
展开整理得：$a = -2x +5$，解得$x=\frac{5-a}{2}$。
分式方程无解说明存在增根，分式的分母为0时$x=2$，将增根$x=2$代入$x=\frac{5-a}{2}$：
$2=\frac{5-a}{2}$，解得$a=1$。
该整式方程是一元一次方程，x的系数不为0，不存在整式方程本身无解的情况，因此a的值为1。
13.若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{3}{x^2-4}$有解，则$k$需满足的条件是 （）
A.$k≠-1$且$k≠-\frac{3}{4}$
B.$k≠1$且$k≠-\frac{3}{4}$
C.$k≠-1$且$k≠\frac{3}{4}$
D.$k≠1$且$k≠\frac{3}{4}$
A.$k≠-1$且$k≠-\frac{3}{4}$
B.$k≠1$且$k≠-\frac{3}{4}$
C.$k≠-1$且$k≠\frac{3}{4}$
D.$k≠1$且$k≠\frac{3}{4}$
答案
A
解析
1. 确定分式方程的定义域：分母不为0，即$x≠2$且$x≠-2$，最简公分母为$(x-2)(x+2)$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同乘$(x-2)(x+2)$，得$(x+2)+k(x-2)=3$，整理得：$(1+k)x=2k+1$。
3. 保证整式方程有解：若$1+k=0$即$k=-1$时，整式方程变为$0· x=-1$，整式方程无解，原分式方程也无解，因此$k≠-1$。
4. 排除增根情况：当$1+k≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{2k+1}{k+1}$。
若$x=2$，代入得$\frac{2k+1}{k+1}=2$，化简后$1=2$，矛盾，不存在$k$使得$x=2$是方程的解；
若$x=-2$，代入得$\frac{2k+1}{k+1}=-2$，解得$k=-\frac{3}{4}$，此时$x=-2$是增根，原分式方程无解，因此$k≠-\frac{3}{4}$。
综上，分式方程有解时$k$需满足$k≠-1$且$k≠-\frac{3}{4}$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同乘$(x-2)(x+2)$，得$(x+2)+k(x-2)=3$，整理得：$(1+k)x=2k+1$。
3. 保证整式方程有解：若$1+k=0$即$k=-1$时，整式方程变为$0· x=-1$，整式方程无解，原分式方程也无解，因此$k≠-1$。
4. 排除增根情况：当$1+k≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{2k+1}{k+1}$。
若$x=2$，代入得$\frac{2k+1}{k+1}=2$，化简后$1=2$，矛盾，不存在$k$使得$x=2$是方程的解；
若$x=-2$，代入得$\frac{2k+1}{k+1}=-2$，解得$k=-\frac{3}{4}$，此时$x=-2$是增根，原分式方程无解，因此$k≠-\frac{3}{4}$。
综上，分式方程有解时$k$需满足$k≠-1$且$k≠-\frac{3}{4}$。
