登录
14.从温州轨道交通$\mathrm{S}_1$线惠民路站到动车南站，$\mathrm{S}_1$线车程约12 km，自驾车车程约15 km。小钱乘坐$\mathrm{S}_1$线比自驾车平均速度提高了20%，时间缩短了0.1 h。设小钱自驾车平均速度为$x$ km/h，则下列方程正确的是（）
A.$\dfrac{15}{(1+20\%)x} - \dfrac{12}{x} = 0.1$
B.$\dfrac{12}{(1-20\%)x} - \dfrac{15}{x} = 0.1$
C.$\dfrac{15}{x} - \dfrac{12}{(1-20\%)x} = 0.1$
D.$\dfrac{15}{x} - \dfrac{12}{(1+20\%)x} = 0.1$
A.$\dfrac{15}{(1+20\%)x} - \dfrac{12}{x} = 0.1$
B.$\dfrac{12}{(1-20\%)x} - \dfrac{15}{x} = 0.1$
C.$\dfrac{15}{x} - \dfrac{12}{(1-20\%)x} = 0.1$
D.$\dfrac{15}{x} - \dfrac{12}{(1+20\%)x} = 0.1$
答案
D
解析
1. 已知自驾车平均速度为$x\ \mathrm{km/h}$，乘坐$\mathrm{S}_1$线平均速度比自驾提高20%，因此$\mathrm{S}_1$线的平均速度为$(1+20\%)x\ \mathrm{km/h}$。
2. 自驾车路程为15km，自驾用时为$\frac{15}{x}\ \mathrm{h}$；$\mathrm{S}_1$线路程为12km，乘坐$\mathrm{S}_1$线用时为$\frac{12}{(1+20\%)x}\ \mathrm{h}$。
3. 根据“乘坐$\mathrm{S}_1$线比自驾时间缩短了$0.1\ \mathrm{h}$”，可得自驾用时减去$\mathrm{S}_1$线用时等于$0.1\ \mathrm{h}$，列方程为：$\frac{15}{x} - \frac{12}{(1+20\%)x} = 0.1$。
2. 自驾车路程为15km，自驾用时为$\frac{15}{x}\ \mathrm{h}$；$\mathrm{S}_1$线路程为12km，乘坐$\mathrm{S}_1$线用时为$\frac{12}{(1+20\%)x}\ \mathrm{h}$。
3. 根据“乘坐$\mathrm{S}_1$线比自驾时间缩短了$0.1\ \mathrm{h}$”，可得自驾用时减去$\mathrm{S}_1$线用时等于$0.1\ \mathrm{h}$，列方程为：$\frac{15}{x} - \frac{12}{(1+20\%)x} = 0.1$。
15. 请你利用代数式 $x - 3$，$x + 2025$，$-2$ 组成一个分式方程：。
答案
解：$\dfrac{x+2025}{x-3}=-2$（答案不唯一）
16.若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-4}=1-\frac{m}{4-x}$的解为非负数，则$m$的取值范围是。
答案
解：
方程两边同乘最简公分母$(x-4)$，得：
$2 = x - 4 + m$
解得：
$x = 6 - m$
由分式方程的解为非负数，可得：
$6 - m ≥ 0$
解得 $m ≤ 6$。
又分式方程分母不能为0，即$x-4 ≠ 0$，也就是$x ≠ 4$，因此：
$6 - m ≠ 4$
解得 $m ≠ 2$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m ≤ 6且m ≠ 2}$。
方程两边同乘最简公分母$(x-4)$，得：
$2 = x - 4 + m$
解得：
$x = 6 - m$
由分式方程的解为非负数，可得：
$6 - m ≥ 0$
解得 $m ≤ 6$。
又分式方程分母不能为0，即$x-4 ≠ 0$，也就是$x ≠ 4$，因此：
$6 - m ≠ 4$
解得 $m ≠ 2$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m ≤ 6且m ≠ 2}$。
17.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x+2≤ \dfrac{2-x}{3}, \\ 3x＞m\end{cases}$无解，且关于$x$的分式方程$\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{mx-1}{3-x}=3$的解为非负数，则满足条件的所有整数$m$的和是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：
先解不等式组：
解不等式$x+2 ≤ \dfrac{2-x}{3}$，
两边同乘3得：$3x+6 ≤ 2-x$，
移项合并得：$4x ≤ -4$，
解得：$x ≤ -1$。
解不等式$3x ＞ m$，得：$x ＞ \dfrac{m}{3}$。
因为不等式组无解，所以$\dfrac{m}{3} ≥ -1$，
解得：$m ≥ -3$。
再解分式方程$\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{mx-1}{3-x}=3$：
方程变形为$\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{mx-1}{x-3}=3$，
两边同乘$x-3$去分母得：$4 + mx -1 = 3(x-3)$，
整理得：$(m-3)x = -12$。
当$m=3$时，方程左边为0，右边为-12，方程无解，不符合题意，故$m ≠ 3$。
则$x = \dfrac{12}{3-m}$。
因为分式方程的解为非负数，且分母不为0，即$x ≥ 0$且$x ≠ 3$：
1. 由$\dfrac{12}{3-m} ≥ 0$，得$3-m ＞ 0$，即$m ＜ 3$；
2. 由$\dfrac{12}{3-m} ≠ 3$，得$3-m ≠ 4$，即$m ≠ -1$。
综上，$m$的取值范围是$-3 ≤ m ＜ 3$且$m ≠ -1$，
满足条件的整数$m$为：$-3,-2,0,1,2$，
它们的和为：$-3 + (-2) + 0 + 1 + 2 = -2$。
先解不等式组：
解不等式$x+2 ≤ \dfrac{2-x}{3}$，
两边同乘3得：$3x+6 ≤ 2-x$，
移项合并得：$4x ≤ -4$，
解得：$x ≤ -1$。
解不等式$3x ＞ m$，得：$x ＞ \dfrac{m}{3}$。
因为不等式组无解，所以$\dfrac{m}{3} ≥ -1$，
解得：$m ≥ -3$。
再解分式方程$\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{mx-1}{3-x}=3$：
方程变形为$\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{mx-1}{x-3}=3$，
两边同乘$x-3$去分母得：$4 + mx -1 = 3(x-3)$，
整理得：$(m-3)x = -12$。
当$m=3$时，方程左边为0，右边为-12，方程无解，不符合题意，故$m ≠ 3$。
则$x = \dfrac{12}{3-m}$。
因为分式方程的解为非负数，且分母不为0，即$x ≥ 0$且$x ≠ 3$：
1. 由$\dfrac{12}{3-m} ≥ 0$，得$3-m ＞ 0$，即$m ＜ 3$；
2. 由$\dfrac{12}{3-m} ≠ 3$，得$3-m ≠ 4$，即$m ≠ -1$。
综上，$m$的取值范围是$-3 ≤ m ＜ 3$且$m ≠ -1$，
满足条件的整数$m$为：$-3,-2,0,1,2$，
它们的和为：$-3 + (-2) + 0 + 1 + 2 = -2$。
18. 对于实数$x,y$定义一种新运算“※”：$x※y=\frac{y}{x^2 - y}$，例如：$1※2=\frac{2}{1^2 - 2}=-2$。当分式方程 $x※1=\frac{1}{x - 1}-\frac{m - 1}{x^2 - 1}$ 的解大于$-1$时，$m$的取值范围是。
答案
解：根据新运算定义，$x※1=\frac{1}{x^2 - 1}$，代入分式方程得：
$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{m - 1}{x^2 - 1}$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（注意$x≠\pm1$），得：
$1 = (x + 1) - (m - 1)$
整理得：
$1 = x - m + 2$
解得：
$x = m - 1$
由题意方程的解大于$-1$，得：
$m - 1 ＞ -1 \implies m ＞ 0$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠1$且$x≠-1$：
1. 若$x=1$，则$m-1=1$，得$m=2$，此时方程为增根，舍去；
2. 若$x=-1$，则$m-1=-1$，得$m=0$，不符合$m＞0$的条件。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m＞0且m≠2}$。
$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{m - 1}{x^2 - 1}$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（注意$x≠\pm1$），得：
$1 = (x + 1) - (m - 1)$
整理得：
$1 = x - m + 2$
解得：
$x = m - 1$
由题意方程的解大于$-1$，得：
$m - 1 ＞ -1 \implies m ＞ 0$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠1$且$x≠-1$：
1. 若$x=1$，则$m-1=1$，得$m=2$，此时方程为增根，舍去；
2. 若$x=-1$，则$m-1=-1$，得$m=0$，不符合$m＞0$的条件。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m＞0且m≠2}$。
19.为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”。在工程实施过程中，某工程队负责一段全长为6 km的排水管道铺设任务。为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多20％，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务。实际每天铺设排水管道多少米？
答案
解：
6 km = 6000 m
设原计划每天铺设排水管道$ x $米，则实际每天铺设排水管道$(1+20\%)x = 1.2x$米。
根据题意列方程：
$\frac{6000}{x} - \frac{6000}{1.2x} = 20$
方程两边同乘$1.2x$去分母，得：
$7200 - 6000 = 24x$
解得：$x = 50$
检验：当$x=50$时，$1.2x ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则实际每天铺设的长度为：$1.2 × 50 = 60$米。
答：实际每天铺设排水管道60米。
6 km = 6000 m
设原计划每天铺设排水管道$ x $米，则实际每天铺设排水管道$(1+20\%)x = 1.2x$米。
根据题意列方程：
$\frac{6000}{x} - \frac{6000}{1.2x} = 20$
方程两边同乘$1.2x$去分母，得：
$7200 - 6000 = 24x$
解得：$x = 50$
检验：当$x=50$时，$1.2x ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则实际每天铺设的长度为：$1.2 × 50 = 60$米。
答：实际每天铺设排水管道60米。
20. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{m}{x-2}+\frac{1}{x-1}=\frac{2m-2}{x^2-3x+2}$。
(1) 若 $ m=-3 $，求该方程的解；
(2) 若该方程无解，求 $ m $ 的值。
(1) 若 $ m=-3 $，求该方程的解；
(2) 若该方程无解，求 $ m $ 的值。
答案
解：
(1) 当$m=-3$时，原方程为：
$\frac{-3}{x-2}+\frac{1}{x-1}=\frac{-8}{x^2-3x+2}$
对分母因式分解得$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$，方程两边同乘$(x-2)(x-1)$去分母得：
$-3(x-1)+(x-2)=-8$
展开整理：
$-3x+3+x-2=-8$
$-2x=-9$
解得：$x=\frac{9}{2}$
检验：当$x=\frac{9}{2}$时，$(x-2)(x-1)≠0$，
所以原方程的解为$x=\frac{9}{2}$。
(2) 方程两边同乘$(x-2)(x-1)$去分母得：
$m(x-1)+(x-2)=2m-2$
整理得：
$(m+1)x=3m$
分两种情况讨论：
① 当$m+1=0$，即$m=-1$时，整式方程变为$0=-3$，等式不成立，此时整式方程无解，原分式方程也无解；
② 当$m+1≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{3m}{m+1}$，若原方程无解，则$x=\frac{3m}{m+1}$是原方程的增根，增根为$x=1$或$x=2$：
若$x=1$，代入得$\frac{3m}{m+1}=1$，解得$m=\frac{1}{2}$；
若$x=2$，代入得$\frac{3m}{m+1}=2$，解得$m=2$。
综上，$m$的值为$-1$或$\frac{1}{2}$或$2$。
(1) 当$m=-3$时，原方程为：
$\frac{-3}{x-2}+\frac{1}{x-1}=\frac{-8}{x^2-3x+2}$
对分母因式分解得$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$，方程两边同乘$(x-2)(x-1)$去分母得：
$-3(x-1)+(x-2)=-8$
展开整理：
$-3x+3+x-2=-8$
$-2x=-9$
解得：$x=\frac{9}{2}$
检验：当$x=\frac{9}{2}$时，$(x-2)(x-1)≠0$，
所以原方程的解为$x=\frac{9}{2}$。
(2) 方程两边同乘$(x-2)(x-1)$去分母得：
$m(x-1)+(x-2)=2m-2$
整理得：
$(m+1)x=3m$
分两种情况讨论：
① 当$m+1=0$，即$m=-1$时，整式方程变为$0=-3$，等式不成立，此时整式方程无解，原分式方程也无解；
② 当$m+1≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{3m}{m+1}$，若原方程无解，则$x=\frac{3m}{m+1}$是原方程的增根，增根为$x=1$或$x=2$：
若$x=1$，代入得$\frac{3m}{m+1}=1$，解得$m=\frac{1}{2}$；
若$x=2$，代入得$\frac{3m}{m+1}=2$，解得$m=2$。
综上，$m$的值为$-1$或$\frac{1}{2}$或$2$。
