21.某校有一块长方形劳动实践基地，长为$(2a-2)\ \mathrm{m}$，宽为$a\ \mathrm{m}$，其中$a＞6$。
(1)去年实践基地收获500 kg蔬菜，该校安排甲、乙两组志愿者进行采摘。已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10 min。甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)今年从该基地中截取出一个边长为$a\ \mathrm{m}$的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300 kg，B类蔬菜200 kg。哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由。
(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14 m，宽增加$a\ \mathrm{m}$。若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数$a$的值。

解：
(1) 设乙组每分钟采摘$x$ kg蔬菜，则甲组每分钟采摘$2x$ kg蔬菜。
根据题意列方程：
$\frac{500}{x} - \frac{500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$，得：
$1000 - 500 = 20x$
解得$x=25$。
检验：当$x=25$时，$2x ≠ 0$，故$x=25$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$2x=50$。
答：甲组每分钟采摘50 kg蔬菜，乙组每分钟采摘25 kg蔬菜。
(2) A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
A类蔬菜种植面积为$a^2 \ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\frac{300}{a^2} \ \mathrm{kg/m}^2$。
B类蔬菜种植面积为：
$a(2a-2) - a^2 = a^2 - 2a = a(a-2) \ \mathrm{m}^2$
B类蔬菜单位面积产量为$\frac{200}{a(a-2)} \ \mathrm{kg/m}^2$。
作差比较：
$\begin{aligned}\frac{300}{a^2} - \frac{200}{a(a-2)} &= \frac{300(a-2) - 200a}{a^2(a-2)} \\&= \frac{100a - 600}{a^2(a-2)}\end{aligned}$
已知$a＞6$，故$100a-600＞0$，$a^2＞0$，$a-2＞0$，因此$\frac{100a - 600}{a^2(a-2)} ＞ 0$，即$\frac{300}{a^2} ＞ \frac{200}{a(a-2)}$。
所以A类蔬菜的单位面积产量更大。
(3) 原基地面积为：
$S_{\mathrm{原}} = a(2a-2) = 2a^2 - 2a$
扩建后基地的长为$(2a-2)+14 = 2a+12 \ \mathrm{m}$，宽为$a+a=2a \ \mathrm{m}$，因此扩建后面积：
$S_{\mathrm{扩}} = 2a · (2a+12) = 4a^2 + 24a$
计算面积比值：
$\begin{aligned}\frac{S_{\mathrm{扩}}}{S_{\mathrm{原}}} &= \frac{4a^2 + 24a}{2a^2 - 2a} \\&= \frac{2(a+6)}{a-1} \\&= 2 + \frac{14}{a-1}\end{aligned}$
由题意，$\frac{S_{\mathrm{扩}}}{S_{\mathrm{原}}}$为整数，且$a$为整数，$a＞6$，故$a-1$是14的正因数，且$a-1＞5$。
14的正因数为1,2,7,14，满足条件的$a-1=7$或$a-1=14$，对应$a=8$或$a=15$。
答：整数$a$的值为8或15。