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1. 把多项式$x^2 -9$分解因式的结果是 （）
A.$(x-3)^2$
B.$(x+3)^2$
C.$(x-3)(x+3)$
D.$x(x-9)$
A.$(x-3)^2$
B.$(x+3)^2$
C.$(x-3)(x+3)$
D.$x(x-9)$
答案
C
解析
多项式$x^2 -9$可变形为$x^2 - 3^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，代入公式可得分解结果为$(x-3)(x+3)$。
2. 分解因式 $x^2 -6x +9$ 的结果是 （）
A.$(x-3)^2$
B.$(x+3)^2$
C.$(x-3)(x+3)$
D.$x(x-6)+9$
A.$(x-3)^2$
B.$(x+3)^2$
C.$(x-3)(x+3)$
D.$x(x-6)+9$
答案
A
解析
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，原式$x^2-6x+9$可变形为$x^2-2· x·3+3^2$，代入公式可得分解结果为$(x-3)^2$。选项B展开为$x^2+6x+9$、选项C展开为$x^2-9$，均与原式不符，选项D不是整式乘积的形式，不属于因式分解。
3. 在下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是 （）
A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 4y^2$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 + 2x - 1$
A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 4y^2$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 + 2x - 1$
答案
C
解析
完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足三项、首末两项为非负的平方项，中间项为两底数乘积的2倍：
选项A：仅两项，不符合完全平方公式三项的结构，无法用完全平方公式分解；
选项B：仅两项，属于平方差形式，用平方差公式分解，不符合要求；
选项C：$x^2-2x+1=x^2-2· x·1+1^2$，符合完全平方公式结构，可分解为$(x-1)^2$；
选项D：末项为$-1$，是负数，不满足首末两项为正平方项的要求，无法用完全平方公式分解。
选项A：仅两项，不符合完全平方公式三项的结构，无法用完全平方公式分解；
选项B：仅两项，属于平方差形式，用平方差公式分解，不符合要求；
选项C：$x^2-2x+1=x^2-2· x·1+1^2$，符合完全平方公式结构，可分解为$(x-1)^2$；
选项D：末项为$-1$，是负数，不满足首末两项为正平方项的要求，无法用完全平方公式分解。
4. 有下列多项式:①$-x^2 + 16y^2$；②$81(a^2 - 2ab + b^2) - (a + b)^2$；③$3n^2 - \frac{2}{3}mn + \frac{1}{9}n^2$；④$-x^2 - y^2$。其中能用公式法分解因式的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐个判断各多项式：
1. ①$-x^2+16y^2=(4y)^2-x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4y-x)(4y+x)$，能用公式法分解；
2. ②先变形为$[9(a-b)]^2-(a+b)^2$，符合平方差公式特征，可分解，能用公式法分解；
3. ③合并同类项后为$\frac{28}{9}n^2-\frac{2}{3}mn$，既不满足平方差公式特征，也不满足完全平方公式特征，不能用公式法分解；
4. ④$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，无法写成平方差形式，也不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解。
综上，能用公式法分解因式的多项式共2个。
1. ①$-x^2+16y^2=(4y)^2-x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4y-x)(4y+x)$，能用公式法分解；
2. ②先变形为$[9(a-b)]^2-(a+b)^2$，符合平方差公式特征，可分解，能用公式法分解；
3. ③合并同类项后为$\frac{28}{9}n^2-\frac{2}{3}mn$，既不满足平方差公式特征，也不满足完全平方公式特征，不能用公式法分解；
4. ④$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，无法写成平方差形式，也不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解。
综上，能用公式法分解因式的多项式共2个。
5.若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为（）
A.6
B.24
C.30
D.150
A.6
B.24
C.30
D.150
答案
D
解析
先对所求多项式因式分解，提取公因式ab可得：$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 = ab(a^2 + 2ab + b^2)$，根据完全平方公式，$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，因此原式化简为$ab(a+b)^2$。将$a+b=5$，$ab=6$代入，计算得$6×5^2=6×25=150$。
6.若多项式$9x^2+12x+m$可以用完全平方公式分解因式，则$m$的值为（）
A.－4
B.$\pm6$
C.2
D.4
A.－4
B.$\pm6$
C.2
D.4
答案
D
解析
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对比多项式$9x^2+12x+m$：
1. 首项$9x^2=(3x)^2$，可得$a=3x$；
2. 中间项$12x=2×3x× b$，解得$b=2$；
3. 因此$m=b^2=2^2=4$。
1. 首项$9x^2=(3x)^2$，可得$a=3x$；
2. 中间项$12x=2×3x× b$，解得$b=2$；
3. 因此$m=b^2=2^2=4$。
7.若$(x+2y)(x+my)=x^2-4y^2$，则$m$的值是 （）
A.－2
B.2
C.－4
D.4
A.－2
B.2
C.－4
D.4
答案
A
解析
根据平方差公式，$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，结合已知等式$(x+2y)(x+my)=x^2-4y^2$，对比等式两边的因式可得$x+my=x-2y$，因此$m=-2$。
8. 因式分解：$-x^2 - x - \frac{1}{4} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{-(x+\dfrac{1}{2})^2}$
解析
解：
$-x^2 - x - \frac{1}{4}$
$= -(x^2 + x + \frac{1}{4})$
$= -(x + \frac{1}{2})^2$
最终
$-x^2 - x - \frac{1}{4}$
$= -(x^2 + x + \frac{1}{4})$
$= -(x + \frac{1}{2})^2$
最终
9. 分解因式：$x^2 - 9y^2 =$ 。
答案
$\boldsymbol{(x+3y)(x-3y)}$
解析
解：
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将原式变形得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x + 3y)(x - 3y)$
最终
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将原式变形得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x + 3y)(x - 3y)$
最终
