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10. 因式分解$x^4 - 18x^2 + 81$的结果为。
答案
解：
$\begin{aligned}x^4 - 18x^2 + 81&=(x^2)^2 - 2· x^2·9 + 9^2\\&=(x^2 - 9)^2\\&=(x^2 - 3^2)^2\\&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{(x+3)^2(x-3)^2}$。
$\begin{aligned}x^4 - 18x^2 + 81&=(x^2)^2 - 2· x^2·9 + 9^2\\&=(x^2 - 9)^2\\&=(x^2 - 3^2)^2\\&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{(x+3)^2(x-3)^2}$。
11.已知一个长方形的长为$a$，宽为$b$，其周长为10，面积为$\frac{9}{4}$，则$a^2b + b^2a$的值是。
答案
$\boldsymbol{\frac{45}{4}}$
解析
解：
由长方形周长为10，得$2(a+b)=10$，即$a+b=5$，
由长方形面积为$\frac{9}{4}$，得$ab=\frac{9}{4}$。
对所求式子因式分解：
$a^2b + b^2a = ab(a+b)$
将$a+b=5$，$ab=\frac{9}{4}$代入上式：
原式$=\frac{9}{4} × 5 = \frac{45}{4}$
由长方形周长为10，得$2(a+b)=10$，即$a+b=5$，
由长方形面积为$\frac{9}{4}$，得$ab=\frac{9}{4}$。
对所求式子因式分解：
$a^2b + b^2a = ab(a+b)$
将$a+b=5$，$ab=\frac{9}{4}$代入上式：
原式$=\frac{9}{4} × 5 = \frac{45}{4}$
12. 把下列各式因式分解：
(1) $4x^2 - 9y^2$；
(2) $(3m - 1)^2 - 9$。
(1) $4x^2 - 9y^2$；
(2) $(3m - 1)^2 - 9$。
答案
解：
(1) 原式$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x + 3y)(2x - 3y)$
(2) 原式$=(3m - 1)^2 - 3^2$
$=[(3m - 1) + 3][(3m - 1) - 3]$
$=(3m + 2)(3m - 4)$
(1) 原式$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x + 3y)(2x - 3y)$
(2) 原式$=(3m - 1)^2 - 3^2$
$=[(3m - 1) + 3][(3m - 1) - 3]$
$=(3m + 2)(3m - 4)$
13. 把$(x-3y)^2 -6(x-3y)+9$分解因式,结果正确的是 （）
A.$(x-3y+9)^2$
B.$(x-3y-9)^2$
C.$(x-3y+3)^2$
D.$(x-3y-3)^2$
A.$(x-3y+9)^2$
B.$(x-3y-9)^2$
C.$(x-3y+3)^2$
D.$(x-3y-3)^2$
答案
D
解析
将$x-3y$看作一个整体，利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$进行因式分解：
令$a = x-3y$，$b=3$，则原式$=a^2 - 2· a· 3 + 3^2=(a-3)^2$，代入回代得结果为$(x-3y-3)^2$。
令$a = x-3y$，$b=3$，则原式$=a^2 - 2· a· 3 + 3^2=(a-3)^2$，代入回代得结果为$(x-3y-3)^2$。
14.若$a,b,c$是一个三角形三边的长,则代数式$(a^2 - 2ab + b^2) - c^2$的值（）
A.小于等于0
B.小于0
C.等于0
D.大于0
A.小于等于0
B.小于0
C.等于0
D.大于0
答案
B
解析
先对代数式因式分解：
原式$=(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$。
两个异号实数的乘积为负数，因此该代数式的值小于0。
原式$=(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$。
两个异号实数的乘积为负数，因此该代数式的值小于0。
15.已知△ABC的三边长分别为$a,b,c$,且满足$(a-17)^2 + |b-15| + c^2 -16c +64=0$,则△ABC是（）
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
答案
A
解析
先对已知等式变形，将$c^2-16c+64$配方得$(c-8)^2$，原式化为：
$(a-17)^2 + |b-15| + (c-8)^2 = 0$
由于平方、绝对值均具有非负性，几个非负数的和为0时，每一项都为0，因此：
$a-17=0$，解得$a=17$；
$b-15=0$，解得$b=15$；
$c-8=0$，解得$c=8$。
根据勾股定理逆定理验证：$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，即$b^2+c^2=a^2$，因此$△ ABC$是以$a$为斜边的直角三角形。
$(a-17)^2 + |b-15| + (c-8)^2 = 0$
由于平方、绝对值均具有非负性，几个非负数的和为0时，每一项都为0，因此：
$a-17=0$，解得$a=17$；
$b-15=0$，解得$b=15$；
$c-8=0$，解得$c=8$。
根据勾股定理逆定理验证：$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，即$b^2+c^2=a^2$，因此$△ ABC$是以$a$为斜边的直角三角形。
16.若$(a+b+c) · (\quad)=c^2-(a+b)^2$，则括号内的整式是。
答案
$\boldsymbol{c-a-b}$
解析
解：
对等式右侧用平方差公式因式分解：
$c^2-(a+b)^2 = [c+(a+b)][c-(a+b)] = (a+b+c)(c-a-b)$
对比等式$(a+b+c)·(\quad)=c^2-(a+b)^2$，可得括号内的整式为$c-a-b$。
最终
对等式右侧用平方差公式因式分解：
$c^2-(a+b)^2 = [c+(a+b)][c-(a+b)] = (a+b+c)(c-a-b)$
对比等式$(a+b+c)·(\quad)=c^2-(a+b)^2$，可得括号内的整式为$c-a-b$。
最终
17. 若多项式$x^2 + mx + 4$能用完全平方公式分解因式，则整数$m$的值是。
答案
$\pm4$
解析
解：
由完全平方公式的结构特征可知，$x^2 + mx + 4$可变形为$x^2 + mx + 2^2$，
要满足完全平方式，则中间项$mx = \pm 2· x· 2$，
即$mx = \pm4x$，
因此整数$m = \pm4$。
由完全平方公式的结构特征可知，$x^2 + mx + 4$可变形为$x^2 + mx + 2^2$，
要满足完全平方式，则中间项$mx = \pm 2· x· 2$，
即$mx = \pm4x$，
因此整数$m = \pm4$。
18. 已知$|\sqrt{x^2} + y - 1| + y^2 -6|y| +9=0$，且$xy＜0$，则$x^y$的值是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{64}}$
解析
解：
原方程可变形为：
$|\ |x| + y - 1\ | + (|y| - 3)^2 = 0$
因为绝对值和平方数都具有非负性，因此两个非负项的和为0时，两项各自为0，可得：
$\begin{cases}|y| - 3 = 0 \\|x| + y - 1 = 0\end{cases}$
由$|y| - 3 = 0$得$y = 3$或$y = -3$。
当$y=3$时，代入$|x| + y -1 =0$，得$|x| = 1 - 3 = -2$，无实数解，舍去该情况。
当$y=-3$时，代入$|x| + y -1 =0$，得$|x| = 1 - (-3) = 4$，即$x=4$或$x=-4$。
又因为$xy ＜ 0$，$y=-3 ＜ 0$，所以$x＞0$，得$x=4$。
因此$x^y = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$。
原方程可变形为：
$|\ |x| + y - 1\ | + (|y| - 3)^2 = 0$
因为绝对值和平方数都具有非负性，因此两个非负项的和为0时，两项各自为0，可得：
$\begin{cases}|y| - 3 = 0 \\|x| + y - 1 = 0\end{cases}$
由$|y| - 3 = 0$得$y = 3$或$y = -3$。
当$y=3$时，代入$|x| + y -1 =0$，得$|x| = 1 - 3 = -2$，无实数解，舍去该情况。
当$y=-3$时，代入$|x| + y -1 =0$，得$|x| = 1 - (-3) = 4$，即$x=4$或$x=-4$。
又因为$xy ＜ 0$，$y=-3 ＜ 0$，所以$x＞0$，得$x=4$。
因此$x^y = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$。
19. 在实数范围内分解因式：$x^2 -6x +7 =$ 。
答案
解：
$\begin{aligned}x^2 - 6x + 7&=x^2 -6x +9 - 2\\&=(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2\\&=(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2})\end{aligned}$
$\begin{aligned}x^2 - 6x + 7&=x^2 -6x +9 - 2\\&=(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2\\&=(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2})\end{aligned}$
20. 把下列各式因式分解：
(1) $4(a-b)^3 + 8(b-a)^2$；
(2) $(2x+y)^2 - (x+2y)^2$。
(1) $4(a-b)^3 + 8(b-a)^2$；
(2) $(2x+y)^2 - (x+2y)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=4(a-b)^3 + 8(a-b)^2$
$=4(a-b)^2 · (a-b) + 4(a-b)^2 · 2$
$=4(a-b)^2(a-b+2)$
(2) 原式$=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]$
$=(3x+3y)(x-y)$
$=3(x+y)(x-y)$
(1) 原式$=4(a-b)^3 + 8(a-b)^2$
$=4(a-b)^2 · (a-b) + 4(a-b)^2 · 2$
$=4(a-b)^2(a-b+2)$
(2) 原式$=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]$
$=(3x+3y)(x-y)$
$=3(x+y)(x-y)$
