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16.有11个正整数,平均数是10,中位数是9,众数只有一个8,则这11个正整数中最大的正整数的最大值是
35
.答案
16.35
解析
【分析】
要使11个正整数中的最大数尽可能大，需让其余10个数尽可能小，同时满足三个约束条件：①11个数总和为$11×10=110$；②从小到大排列后第6个数（中位数）是9；③唯一众数是8，即8的出现次数比其他所有数都多。首先确定8的最少出现次数：要保证8是唯一众数，8至少出现3次（若仅出现2次，其他数也可能出现2次，无法保证唯一性）。再依次构造小于9的数、介于9和最大数之间的数，均取最小符合要求的值，最后用总和减去其余10个数的和即可得到最大数的最大值。
【解析】
1. 计算11个数的总和：$\mathrm{总和}=11×10=110$。
2. 11个数从小到大排列，第6位是中位数，即$a_6=9$。
3. 构造其余10个尽可能小的数：
前5位（$a_1∼ a_5$）：放入3个8（保证8的出现次数最多），剩余2位取最小正整数1（1最多出现2次，不会和8的出现次数相同），即$a_1=1,a_2=1,a_3=8,a_4=8,a_5=8$，前5位和为$1+1+8+8+8=26$。
第7到第10位（$a_7∼ a_{10}$）：取最小的符合要求的数，其中$a_7$可取9（9共出现2次，小于8的3次，符合众数要求），后续数取10、10、11（各数出现次数均不超过2次），即$a_7=9,a_8=10,a_9=10,a_{10}=11$，这4位和为$9+10+10+11=40$。
4. 计算前10位的总和：$26+9+40=75$。
5. 最大数$a_{11}=110-75=35$，验证符合所有条件。
【答案】
35
【知识点】
平均数计算，中位数定义，众数定义
【点评】
本题是统计量的综合应用题型，解题核心是掌握“求最大值时其余量尽可能小”的最值构造思路，同时要紧扣众数唯一的限制条件，避免出现多个众数的错误，是统计模块的经典拓展题。
【难度系数】
0.6
要使11个正整数中的最大数尽可能大，需让其余10个数尽可能小，同时满足三个约束条件：①11个数总和为$11×10=110$；②从小到大排列后第6个数（中位数）是9；③唯一众数是8，即8的出现次数比其他所有数都多。首先确定8的最少出现次数：要保证8是唯一众数，8至少出现3次（若仅出现2次，其他数也可能出现2次，无法保证唯一性）。再依次构造小于9的数、介于9和最大数之间的数，均取最小符合要求的值，最后用总和减去其余10个数的和即可得到最大数的最大值。
【解析】
1. 计算11个数的总和：$\mathrm{总和}=11×10=110$。
2. 11个数从小到大排列，第6位是中位数，即$a_6=9$。
3. 构造其余10个尽可能小的数：
前5位（$a_1∼ a_5$）：放入3个8（保证8的出现次数最多），剩余2位取最小正整数1（1最多出现2次，不会和8的出现次数相同），即$a_1=1,a_2=1,a_3=8,a_4=8,a_5=8$，前5位和为$1+1+8+8+8=26$。
第7到第10位（$a_7∼ a_{10}$）：取最小的符合要求的数，其中$a_7$可取9（9共出现2次，小于8的3次，符合众数要求），后续数取10、10、11（各数出现次数均不超过2次），即$a_7=9,a_8=10,a_9=10,a_{10}=11$，这4位和为$9+10+10+11=40$。
4. 计算前10位的总和：$26+9+40=75$。
5. 最大数$a_{11}=110-75=35$，验证符合所有条件。
【答案】
35
【知识点】
平均数计算，中位数定义，众数定义
【点评】
本题是统计量的综合应用题型，解题核心是掌握“求最大值时其余量尽可能小”的最值构造思路，同时要紧扣众数唯一的限制条件，避免出现多个众数的错误，是统计模块的经典拓展题。
【难度系数】
0.6
17.在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m)，绘制出如下的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图1中a的值为
(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数.
(3)根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛.初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛？请直接写出结论.
(1)图1中a的值为
25
.(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数.
(3)根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛.初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛？请直接写出结论.
答案
17.解:(1)根据题意,得1-20%-10%-15%-30%=25%.所以a的值是25.故填25.
(2)观察条形统计图,得
$\bar x=\frac{1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×3}{2+4+5+6+3}=1.61(\mathrm{m})$;
∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是1.65 m;
将这组数据从小到大排列,其中处于中间的两个数都是1.60,则这组数据的中位数是1.60 m.
(3)能进入复赛.
(2)观察条形统计图,得
$\bar x=\frac{1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×3}{2+4+5+6+3}=1.61(\mathrm{m})$;
∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是1.65 m;
将这组数据从小到大排列,其中处于中间的两个数都是1.60,则这组数据的中位数是1.60 m.
(3)能进入复赛.
解析
【分析】
（1）扇形统计图中所有部分的百分比之和为100%，因此用1减去其余各成绩对应的百分比，即可求出a的值；
（2）计算平均数需要先提取条形统计图中各成绩对应的人数，用加权平均数公式计算；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接找出现次数最多的成绩即可；中位数需要先计算总人数，将所有成绩从小到大排序后，总人数为偶数时取中间两个数的平均数；
（3）要判断1.65m的运动员能否进复赛，从高到低统计前9名的成绩区间即可：1.70m的有3人，1.65m的有6人，两者相加刚好9人，因此1.65m的运动员可以进入复赛。
【解析】
(1) 扇形统计图各部分百分比总和为1，因此：
$a\% = 1 - 20\% - 10\% - 15\% - 30\% = 25\%$，解得$a=25$。
(2) 首先计算总人数：$2+4+5+6+3=20$（人）
① 平均数：根据加权平均数公式
$\bar{x}=\frac{1.50×2 + 1.55×4 + 1.60×5 + 1.65×6 + 1.70×3}{2+4+5+6+3}=\frac{32.2}{20}=1.61(\mathrm{m})$
② 众数：成绩为1.65m的人数有6人，出现次数最多，因此众数为1.65m。
③ 中位数：将20个成绩从小到大排列，第10个和第11个成绩均为1.60m，因此中位数为$\frac{1.60+1.60}{2}=1.60(\mathrm{m})$。
(3) 从高到低排序，1.70m的有3人，1.65m的有6人，$3+6=9$，刚好是进入复赛的人数，因此初赛成绩为1.65m的运动员能进入复赛。
【答案】
(1) $\boxed{25}$
(2) 平均数为$\boxed{1.61\mathrm{m}}$，众数为$\boxed{1.65\mathrm{m}}$，中位数为$\boxed{1.60\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{能进入复赛}$
【知识点】
统计图表的应用，加权平均数，众数与中位数
【点评】
本题结合扇形统计图和条形统计图考察统计模块的基础知识点，解题核心是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握各统计量的计算规则，同时能结合统计结果进行简单的决策判断，属于统计部分的常规题型。
【难度系数】
0.7
（1）扇形统计图中所有部分的百分比之和为100%，因此用1减去其余各成绩对应的百分比，即可求出a的值；
（2）计算平均数需要先提取条形统计图中各成绩对应的人数，用加权平均数公式计算；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接找出现次数最多的成绩即可；中位数需要先计算总人数，将所有成绩从小到大排序后，总人数为偶数时取中间两个数的平均数；
（3）要判断1.65m的运动员能否进复赛，从高到低统计前9名的成绩区间即可：1.70m的有3人，1.65m的有6人，两者相加刚好9人，因此1.65m的运动员可以进入复赛。
【解析】
(1) 扇形统计图各部分百分比总和为1，因此：
$a\% = 1 - 20\% - 10\% - 15\% - 30\% = 25\%$，解得$a=25$。
(2) 首先计算总人数：$2+4+5+6+3=20$（人）
① 平均数：根据加权平均数公式
$\bar{x}=\frac{1.50×2 + 1.55×4 + 1.60×5 + 1.65×6 + 1.70×3}{2+4+5+6+3}=\frac{32.2}{20}=1.61(\mathrm{m})$
② 众数：成绩为1.65m的人数有6人，出现次数最多，因此众数为1.65m。
③ 中位数：将20个成绩从小到大排列，第10个和第11个成绩均为1.60m，因此中位数为$\frac{1.60+1.60}{2}=1.60(\mathrm{m})$。
(3) 从高到低排序，1.70m的有3人，1.65m的有6人，$3+6=9$，刚好是进入复赛的人数，因此初赛成绩为1.65m的运动员能进入复赛。
【答案】
(1) $\boxed{25}$
(2) 平均数为$\boxed{1.61\mathrm{m}}$，众数为$\boxed{1.65\mathrm{m}}$，中位数为$\boxed{1.60\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{能进入复赛}$
【知识点】
统计图表的应用，加权平均数，众数与中位数
【点评】
本题结合扇形统计图和条形统计图考察统计模块的基础知识点，解题核心是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握各统计量的计算规则，同时能结合统计结果进行简单的决策判断，属于统计部分的常规题型。
【难度系数】
0.7
