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12.某校足球队有24名队员，下表是足球队队员的年龄分布统计表.对于不同的$ x $，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（
| 年龄/岁 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数(频数) |
| 14 | $ x $ | $ 6 - x $ |
A.中位数、众数
B.平均数、方差
C.平均数、中位数
D.众数、方差
A
）| 年龄/岁 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数(频数) |
| 14 | $ x $ | $ 6 - x $ |A.中位数、众数
B.平均数、方差
C.平均数、中位数
D.众数、方差
答案
12.A
解析
【分析】
要判断统计量是否随x变化，需先结合总人数明确各年龄段人数的特点，再分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一分析：首先15岁和16岁的人数和为$x+(6-x)=6$，总人数固定为24；先判断众数：找出现次数最多的年龄；再判断中位数：24个数据的中位数是排序后第12、13个数据的平均数，看这两个数据是否固定；最后判断平均数和方差是否受x的影响即可得到答案。
【解析】
解：首先计算总人数：$4+14+x+(6-x)=24$，总人数固定为24。
1. 分析众数：14岁的频数为14，13岁频数为4，15岁和16岁频数之和仅为6，因此无论x取何值，14岁的频数都是最大的，众数始终为14，不发生改变。
2. 分析中位数：24个数据从小到大排序后，中位数是第12个和第13个数据的平均数。其中13岁的有4人（对应第1~4个数据），14岁的有14人（对应第5~18个数据），因此第12、13个数据都是14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，不发生改变。
3. 分析平均数：总年龄和为$13×4 +14×14 +15x +16(6-x)=344 -x$，因此平均数为$\frac{344-x}{24}$，x变化时平均数也会变化。
4. 分析方差：方差反映数据的波动程度，平均数随x变化，且各年龄的人数分布随x变化，因此方差也会发生改变。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数；中位数；平均数与方差
【点评】
本题考查统计量的判断，解题关键是先明确15岁和16岁的总人数固定，再结合各统计量的定义分析是否受x的影响，掌握各类统计量的含义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断统计量是否随x变化，需先结合总人数明确各年龄段人数的特点，再分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一分析：首先15岁和16岁的人数和为$x+(6-x)=6$，总人数固定为24；先判断众数：找出现次数最多的年龄；再判断中位数：24个数据的中位数是排序后第12、13个数据的平均数，看这两个数据是否固定；最后判断平均数和方差是否受x的影响即可得到答案。
【解析】
解：首先计算总人数：$4+14+x+(6-x)=24$，总人数固定为24。
1. 分析众数：14岁的频数为14，13岁频数为4，15岁和16岁频数之和仅为6，因此无论x取何值，14岁的频数都是最大的，众数始终为14，不发生改变。
2. 分析中位数：24个数据从小到大排序后，中位数是第12个和第13个数据的平均数。其中13岁的有4人（对应第1~4个数据），14岁的有14人（对应第5~18个数据），因此第12、13个数据都是14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，不发生改变。
3. 分析平均数：总年龄和为$13×4 +14×14 +15x +16(6-x)=344 -x$，因此平均数为$\frac{344-x}{24}$，x变化时平均数也会变化。
4. 分析方差：方差反映数据的波动程度，平均数随x变化，且各年龄的人数分布随x变化，因此方差也会发生改变。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数；中位数；平均数与方差
【点评】
本题考查统计量的判断，解题关键是先明确15岁和16岁的总人数固定，再结合各统计量的定义分析是否受x的影响，掌握各类统计量的含义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13.现有A,B两组数据,A组数据分别为1,2,3,B组数据分别为2 023,2 024,2 025.
若A组数据的方差为a,B组数据的方差为b,则下列说法正确的是 （
A.$a=b$
B.$b=a+2\ 023$
C.$b=a+2\ 024$
D.$b=a+2\ 025$
若A组数据的方差为a,B组数据的方差为b,则下列说法正确的是 （
A
）A.$a=b$
B.$b=a+2\ 023$
C.$b=a+2\ 024$
D.$b=a+2\ 025$
答案
13.A
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：直接根据方差的计算公式，分别求出A、B两组数据的方差，再比较大小；思路2：利用方差的性质判断，方差是衡量数据波动程度的量，若一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差不变。观察可知B组每个数据都比A组对应数据大2022，可直接通过性质判断方差关系，也可计算验证，两种方法都能得到结论。
【解析】
方法一：计算法
①计算A组数据的方差a：
A组平均数：$\bar{x}_A=\frac{1+2+3}{3}=2$
方差$a=\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$
②计算B组数据的方差b：
B组平均数：$\bar{x}_B=\frac{2023+2024+2025}{3}=2024$
方差$b=\frac{(2023-2024)^2+(2024-2024)^2+(2025-2024)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$
因此$a=b$。
方法二：性质法
方差反映的是一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的波动情况不会发生改变，因此方差不变。
观察可得B组的每个数据都是A组对应数据加2022得到的，因此两组数据方差相等，即$a=b$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过直接计算方差得出结论，也可以利用方差的性质快速判断，掌握方差的性质能大幅提高解题效率，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：思路1：直接根据方差的计算公式，分别求出A、B两组数据的方差，再比较大小；思路2：利用方差的性质判断，方差是衡量数据波动程度的量，若一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差不变。观察可知B组每个数据都比A组对应数据大2022，可直接通过性质判断方差关系，也可计算验证，两种方法都能得到结论。
【解析】
方法一：计算法
①计算A组数据的方差a：
A组平均数：$\bar{x}_A=\frac{1+2+3}{3}=2$
方差$a=\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$
②计算B组数据的方差b：
B组平均数：$\bar{x}_B=\frac{2023+2024+2025}{3}=2024$
方差$b=\frac{(2023-2024)^2+(2024-2024)^2+(2025-2024)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$
因此$a=b$。
方法二：性质法
方差反映的是一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的波动情况不会发生改变，因此方差不变。
观察可得B组的每个数据都是A组对应数据加2022得到的，因此两组数据方差相等，即$a=b$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过直接计算方差得出结论，也可以利用方差的性质快速判断，掌握方差的性质能大幅提高解题效率，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
14.已知一组数据 $ x_1, x_2, x_3, \dots, x_n $ 的平均数为2,则另一组新数据 $ x_1+1, x_2+1, x_3+1, \dots, x_n+1 $ 的平均数是
3
。答案
14.3
解析
【分析】
解题思路可从两个方向切入：一是利用平均数的定义，先通过原数据的平均数算出原数据的总和，再求出每个数加1后的新数据总和，最后代入平均数公式计算结果；二是直接利用平均数的变化规律，当一组数据中每个数都加上同一个常数时，平均数也会增加这个常数，可直接快速得到答案。
【解析】
根据平均数的定义，原数据$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$的平均数为：
$\overline{x}_原=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2$
由此可得原数据总和：$x_1+x_2+\dots+x_n=2n$
新数据$x_1+1, x_2+1, \dots, x_n+1$的平均数为：
$\overline{x}_新=\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}$
$=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)+n}{n}$
$=\frac{2n +n}{n}=3$
也可直接根据平均数变化规律，每个数据加1，平均数对应加1，即$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
平均数的计算，平均数的性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过平均数的定义逐步推导计算，也可以利用平均数的变化规律快速求解，熟练掌握相关概念和性质可提高解题效率。
【难度系数】
0.9
解题思路可从两个方向切入：一是利用平均数的定义，先通过原数据的平均数算出原数据的总和，再求出每个数加1后的新数据总和，最后代入平均数公式计算结果；二是直接利用平均数的变化规律，当一组数据中每个数都加上同一个常数时，平均数也会增加这个常数，可直接快速得到答案。
【解析】
根据平均数的定义，原数据$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$的平均数为：
$\overline{x}_原=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2$
由此可得原数据总和：$x_1+x_2+\dots+x_n=2n$
新数据$x_1+1, x_2+1, \dots, x_n+1$的平均数为：
$\overline{x}_新=\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}$
$=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)+n}{n}$
$=\frac{2n +n}{n}=3$
也可直接根据平均数变化规律，每个数据加1，平均数对应加1，即$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
平均数的计算，平均数的性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过平均数的定义逐步推导计算，也可以利用平均数的变化规律快速求解，熟练掌握相关概念和性质可提高解题效率。
【难度系数】
0.9
15. 已知一组数据2，9，6，10，x的众数是x，其中x又是不等式组$\begin{cases}2024x - 4048 ＞ 0, \\14 - 2(x - 3) ＞ 0\end{cases}$的整数解，则这组数据的中位数是 ______ .
答案
15.6或9
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步先求解不等式组，得到x的取值范围，找出其中的整数解；第二步结合众数的定义（众数是一组数据中出现次数最多的数），确定x的可能取值，因为原数据2、9、6、10均只出现1次，所以x必须是原数据中的数才能成为众数；第三步将x代入原数据，排序后根据中位数的定义求出中位数即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$2024x - 4048 ＞ 0$，
移项得$2024x ＞ 4048$，
两边同时除以2024，得$x ＞ 2$；
解不等式$14 - 2(x - 3) ＞ 0$，
去括号得$14 - 2x + 6 ＞ 0$，
合并同类项得$20 - 2x ＞ 0$，
移项得$2x ＜ 20$，
解得$x ＜ 10$；
所以不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ 10$，其中的整数解为3、4、5、6、7、8、9。
2. 根据众数的定义确定x的取值：
原数据2、9、6、10各出现1次，若众数是x，则x的出现次数需最多，因此x只能是原数据中已有的数，即x=6或x=9（其余整数解均未在原数据中出现，取这些值时所有数出现次数相同，没有众数，不符合要求）。
3. 分别计算两种情况的中位数：
当x=6时，这组数据为2、6、6、9、10，排序后最中间的数是6，故中位数为6；
当x=9时，这组数据为2、6、9、9、10，排序后最中间的数是9，故中位数为9。
综上，这组数据的中位数是6或9。
【答案】
6或9
【知识点】
一元一次不等式组解法，众数的定义，中位数的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先结合不等式组解集和众数的特征确定x的可能取值，再分别求中位数，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分三步思考：第一步先求解不等式组，得到x的取值范围，找出其中的整数解；第二步结合众数的定义（众数是一组数据中出现次数最多的数），确定x的可能取值，因为原数据2、9、6、10均只出现1次，所以x必须是原数据中的数才能成为众数；第三步将x代入原数据，排序后根据中位数的定义求出中位数即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$2024x - 4048 ＞ 0$，
移项得$2024x ＞ 4048$，
两边同时除以2024，得$x ＞ 2$；
解不等式$14 - 2(x - 3) ＞ 0$，
去括号得$14 - 2x + 6 ＞ 0$，
合并同类项得$20 - 2x ＞ 0$，
移项得$2x ＜ 20$，
解得$x ＜ 10$；
所以不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ 10$，其中的整数解为3、4、5、6、7、8、9。
2. 根据众数的定义确定x的取值：
原数据2、9、6、10各出现1次，若众数是x，则x的出现次数需最多，因此x只能是原数据中已有的数，即x=6或x=9（其余整数解均未在原数据中出现，取这些值时所有数出现次数相同，没有众数，不符合要求）。
3. 分别计算两种情况的中位数：
当x=6时，这组数据为2、6、6、9、10，排序后最中间的数是6，故中位数为6；
当x=9时，这组数据为2、6、9、9、10，排序后最中间的数是9，故中位数为9。
综上，这组数据的中位数是6或9。
【答案】
6或9
【知识点】
一元一次不等式组解法，众数的定义，中位数的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先结合不等式组解集和众数的特征确定x的可能取值，再分别求中位数，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
