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4 (2025·天津)计算$\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}$的结果等于（
A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
A
）A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
答案
4.A
解析
【分析】
这是一道异分母分式加法运算题，解题思路如下：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母：第一个分母$a^2-1$可利用平方差公式分解为$(a+1)(a-1)$，第二个分母为$a+1$，因此最简公分母是$(a+1)(a-1)$；第二步利用分式的基本性质将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先对第一个分式的分母因式分解：
$a^2 -1=(a+1)(a-1)$
则原式变形为：
$\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{a+1}$
将第二个分式通分，分子、分母同乘$(a-1)$得：
$\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\frac{2 + a -1}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}$
约去分子、分母的公因式$(a+1)$（$a≠-1$），得：
$\frac{1}{a-1}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减法，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查异分母分式的加法运算，解题核心是先对多项式分母因式分解确定最简公分母，通分计算分子时要注意运算符号，最终结果需化为最简分式，属于分式运算的基础常规题。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式加法运算题，解题思路如下：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母：第一个分母$a^2-1$可利用平方差公式分解为$(a+1)(a-1)$，第二个分母为$a+1$，因此最简公分母是$(a+1)(a-1)$；第二步利用分式的基本性质将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先对第一个分式的分母因式分解：
$a^2 -1=(a+1)(a-1)$
则原式变形为：
$\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{a+1}$
将第二个分式通分，分子、分母同乘$(a-1)$得：
$\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\frac{2 + a -1}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}$
约去分子、分母的公因式$(a+1)$（$a≠-1$），得：
$\frac{1}{a-1}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减法，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查异分母分式的加法运算，解题核心是先对多项式分母因式分解确定最简公分母，通分计算分子时要注意运算符号，最终结果需化为最简分式，属于分式运算的基础常规题。
【难度系数】
0.8
5 (2025·江苏苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$，则红球的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握简单随机事件的概率计算公式：摸到某类球的概率=该类球的个数÷所有球的总个数。我们可以先设红球的个数为未知数，结合已知的白球数量表示出总球数，再根据摸到白球的概率列方程求解；也可以先通过白球数量和对应概率算出总球数，再用总球数减去白球数量得到红球个数。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ 3+x $个。
根据摸到白球的概率为$ \frac{3}{5} $，代入概率公式可得：
$\frac{3}{3+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3×5=3(3+x)$
化简计算：$15=9+3x$
移项得：$3x=15-9=6$
解得：$x=2$，即红球的个数为2个。
也可直接计算总球数：总球数$=3÷\frac{3}{5}=5$个，红球个数$=5-3=2$个。
【答案】
B
【知识点】
概率计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率板块的基础常考题，主要考查对简单概率公式的理解和运用，只要明确概率计算公式中各量的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握简单随机事件的概率计算公式：摸到某类球的概率=该类球的个数÷所有球的总个数。我们可以先设红球的个数为未知数，结合已知的白球数量表示出总球数，再根据摸到白球的概率列方程求解；也可以先通过白球数量和对应概率算出总球数，再用总球数减去白球数量得到红球个数。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ 3+x $个。
根据摸到白球的概率为$ \frac{3}{5} $，代入概率公式可得：
$\frac{3}{3+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3×5=3(3+x)$
化简计算：$15=9+3x$
移项得：$3x=15-9=6$
解得：$x=2$，即红球的个数为2个。
也可直接计算总球数：总球数$=3÷\frac{3}{5}=5$个，红球个数$=5-3=2$个。
【答案】
B
【知识点】
概率计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率板块的基础常考题，主要考查对简单概率公式的理解和运用，只要明确概率计算公式中各量的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6 (2025·山东东营)化简$(1+\dfrac{m}{m-1})÷\dfrac{4m^2 -1}{m-1}=$
$\frac{1}{2m+1}$
.答案
6.$\frac{1}{2m+1}$
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，解题遵循分式运算顺序：首先处理括号内的加法，将整数1通分转化为分母是m-1的分式，和括号内的分式相加；再把除法运算转化为乘法运算，同时对平方差形式的多项式4m²-1进行因式分解；最后约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
第一步：计算括号内的加法
将1通分为$\dfrac{m-1}{m-1}$，则：
$1+\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{m-1}{m-1}+\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{m-1+m}{m-1}=\dfrac{2m-1}{m-1}$
第二步：除法转乘法，同时因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得$4m^2-1=(2m+1)(2m-1)$，除以一个分式等于乘它的倒数，因此：
原式$=\dfrac{2m-1}{m-1}×\dfrac{m-1}{(2m+1)(2m-1)}$
第三步：约分化简
约去分子分母的公因式$m-1$和$2m-1$，可得结果为$\dfrac{1}{2m+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{2m+1}$
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和因式分解的应用，熟练掌握通分、约分的方法以及平方差公式的形式是解题的关键，计算时要注意公因式的准确识别，避免约分错误。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算类题目，解题遵循分式运算顺序：首先处理括号内的加法，将整数1通分转化为分母是m-1的分式，和括号内的分式相加；再把除法运算转化为乘法运算，同时对平方差形式的多项式4m²-1进行因式分解；最后约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
第一步：计算括号内的加法
将1通分为$\dfrac{m-1}{m-1}$，则：
$1+\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{m-1}{m-1}+\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{m-1+m}{m-1}=\dfrac{2m-1}{m-1}$
第二步：除法转乘法，同时因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得$4m^2-1=(2m+1)(2m-1)$，除以一个分式等于乘它的倒数，因此：
原式$=\dfrac{2m-1}{m-1}×\dfrac{m-1}{(2m+1)(2m-1)}$
第三步：约分化简
约去分子分母的公因式$m-1$和$2m-1$，可得结果为$\dfrac{1}{2m+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{2m+1}$
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和因式分解的应用，熟练掌握通分、约分的方法以及平方差公式的形式是解题的关键，计算时要注意公因式的准确识别，避免约分错误。
【难度系数】
0.7
7 (2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费。设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
$\frac{6\ 000}{x+50}=\frac{1\ 000}{x}$
。答案
7.$\frac{6\ 000}{x+50}=\frac{1\ 000}{x}$
解析
【分析】
解题时首先明确题设的未知数，先推导出燃油汽车每百公里的耗电费表达式；再抓住题干中的核心等量关系：燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程=纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程；最后结合“总路程=（总费用÷每百公里耗费）×100”的数量关系列式，由于等式两边都有乘100的项，可以直接约去，简化后即可得到对应的分式方程。
【解析】
设纯电汽车每百公里的耗电费为$x$元，由“每百公里的耗油费比耗电费多50元”可得，燃油汽车每百公里的耗电费为$(x+50)$元。
根据“总路程=（总费用÷每百公里耗费）×100”，结合两种车行驶路程相等的条件可得：
$\frac{6000}{x+50} × 100 = \frac{1000}{x} × 100$
两边同时除以100，化简后得到：
$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
【答案】
$\frac{6\ 000}{x+50}=\frac{1\ 000}{x}$
【知识点】
1. 列分式方程解应用题
2. 行程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题的核心是找准路程相等的等量关系，理清总费用、百公里耗费、行驶路程三者的数量关系即可快速列式。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确题设的未知数，先推导出燃油汽车每百公里的耗电费表达式；再抓住题干中的核心等量关系：燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程=纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程；最后结合“总路程=（总费用÷每百公里耗费）×100”的数量关系列式，由于等式两边都有乘100的项，可以直接约去，简化后即可得到对应的分式方程。
【解析】
设纯电汽车每百公里的耗电费为$x$元，由“每百公里的耗油费比耗电费多50元”可得，燃油汽车每百公里的耗电费为$(x+50)$元。
根据“总路程=（总费用÷每百公里耗费）×100”，结合两种车行驶路程相等的条件可得：
$\frac{6000}{x+50} × 100 = \frac{1000}{x} × 100$
两边同时除以100，化简后得到：
$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
【答案】
$\frac{6\ 000}{x+50}=\frac{1\ 000}{x}$
【知识点】
1. 列分式方程解应用题
2. 行程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题的核心是找准路程相等的等量关系，理清总费用、百公里耗费、行驶路程三者的数量关系即可快速列式。
【难度系数】
0.75
8 (2025·江苏淮安)先化简,再求值:$\dfrac{a^2 + 2a + 1}{a^2 + a} ÷ (a - \dfrac{1}{a})$,其中$a = \sqrt{2} + 1$.
答案
8.解:原式$=\dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)}÷\dfrac{a^2-1}{a}=\dfrac{a+1}{a}·\dfrac{a}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{1}{a-1}$.
当$a=\sqrt{2}+1$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
当$a=\sqrt{2}+1$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值计算”的思路解题：首先按照分式运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式运算；再将分式除法转化为乘法运算，同时对分子、分母因式分解，约分得到最简分式；最后代入a的取值，对结果进行二次根式化简即可，运算中要注意因式分解的准确性和分式运算规则。
【解析】
解：先化简原式：
1. 对第一个分式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{a^2 + 2a + 1}{a^2 + a} = \dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)}$
2. 计算括号内的减法，通分后利用平方差公式因式分解：
$a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 - 1}{a} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$
3. 将除法转化为乘法，约分化简：
原式$=\dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)} ÷ \dfrac{(a+1)(a-1)}{a} = \dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)} · \dfrac{a}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{1}{a-1}$
4. 代入$a=\sqrt{2}+1$计算：
当$a=\sqrt{2}+1$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算规则和因式分解的应用，运算时需注意遵循先括号后乘除的顺序，代值后注意对二次根式结果进行分母有理化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值计算”的思路解题：首先按照分式运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式运算；再将分式除法转化为乘法运算，同时对分子、分母因式分解，约分得到最简分式；最后代入a的取值，对结果进行二次根式化简即可，运算中要注意因式分解的准确性和分式运算规则。
【解析】
解：先化简原式：
1. 对第一个分式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{a^2 + 2a + 1}{a^2 + a} = \dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)}$
2. 计算括号内的减法，通分后利用平方差公式因式分解：
$a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 - 1}{a} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$
3. 将除法转化为乘法，约分化简：
原式$=\dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)} ÷ \dfrac{(a+1)(a-1)}{a} = \dfrac{(a+1)^2}{a(a+1)} · \dfrac{a}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{1}{a-1}$
4. 代入$a=\sqrt{2}+1$计算：
当$a=\sqrt{2}+1$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算规则和因式分解的应用，运算时需注意遵循先括号后乘除的顺序，代值后注意对二次根式结果进行分母有理化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
9 (2021·江苏连云港)解方程：$\dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{4}{x^2 -1}=1$
答案
9.解:方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$(x+1)^2-4=(x+1)(x-1)$,
即$x^2+2x+1-4=x^2-1$,解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,因此$x=1$不是原分式方程的解,$∴$原方程无解.
即$x^2+2x+1-4=x^2-1$,解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,因此$x=1$不是原分式方程的解,$∴$原方程无解.
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路可分为三步：第一步先确定最简公分母，观察分母$x-1$和$x^2-1$，利用平方差公式可知$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$；第二步方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解；第三步必须检验解出的根是否使原分式的分母为0，若分母为0则该根是增根，原方程无解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)$
展开整理得：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项得：
$2x = 2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，不是原方程的解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；平方差公式；增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，核心考查分式方程求解的标准化流程，易错点有两处：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是求解整式方程后忘记检验增根直接作答。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程求解的题目，解题思路可分为三步：第一步先确定最简公分母，观察分母$x-1$和$x^2-1$，利用平方差公式可知$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$；第二步方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解；第三步必须检验解出的根是否使原分式的分母为0，若分母为0则该根是增根，原方程无解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)$
展开整理得：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项得：
$2x = 2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，不是原方程的解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；平方差公式；增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，核心考查分式方程求解的标准化流程，易错点有两处：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是求解整式方程后忘记检验增根直接作答。
【难度系数】
0.7
10 (2025·江苏常州)某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍.问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
答案
10.解:设浇水方式改进后平均每天用水$x$吨.根据题意,得$\dfrac{20}{x}=\dfrac{20}{x+1}×2$,解得$x=1$.
经检验,$x=1$是原方程的解,且符合题意.
答:浇水方式改进后平均每天用水1吨.
经检验,$x=1$是原方程的解,且符合题意.
答:浇水方式改进后平均每天用水1吨.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设未知数：设改进后平均每天用水$x$吨，因改进后每天比原来少用1吨，故原来每天用水$(x+1)$吨；再抓等量关系：20吨水改进后使用的天数=原来使用天数的2倍，而使用天数=总水量÷每日用水量，据此可列分式方程；解完方程后需双重检验，既要验证是方程的解，还要验证符合实际意义。
【解析】
解：设浇水方式改进后平均每天用水$x$吨，则原来平均每天用水$(x+1)$吨。
根据题意列方程：
$\dfrac{20}{x}=\dfrac{20}{x+1}×2$
两边同乘$x(x+1)$去分母得：
$20(x+1)=40x$
去括号得：
$20x+20=40x$
移项合并同类项得：
$20x=20$
解得：$x=1$
经检验，$x=1$时，$x(x+1)=2≠0$，是原方程的解，且符合实际用水的题意。
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨。
【答案】
1吨
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，分式方程检验
【点评】
本题是典型的生活类分式方程应用题，解题关键是准确提炼等量关系列方程，需注意解分式方程后必须做双检验，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设未知数：设改进后平均每天用水$x$吨，因改进后每天比原来少用1吨，故原来每天用水$(x+1)$吨；再抓等量关系：20吨水改进后使用的天数=原来使用天数的2倍，而使用天数=总水量÷每日用水量，据此可列分式方程；解完方程后需双重检验，既要验证是方程的解，还要验证符合实际意义。
【解析】
解：设浇水方式改进后平均每天用水$x$吨，则原来平均每天用水$(x+1)$吨。
根据题意列方程：
$\dfrac{20}{x}=\dfrac{20}{x+1}×2$
两边同乘$x(x+1)$去分母得：
$20(x+1)=40x$
去括号得：
$20x+20=40x$
移项合并同类项得：
$20x=20$
解得：$x=1$
经检验，$x=1$时，$x(x+1)=2≠0$，是原方程的解，且符合实际用水的题意。
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨。
【答案】
1吨
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，分式方程检验
【点评】
本题是典型的生活类分式方程应用题，解题关键是准确提炼等量关系列方程，需注意解分式方程后必须做双检验，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
