15 重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返.顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元.已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元.
(1)该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？
(2)春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价2m元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元.降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值.

15.解:(1)设一个火锅底料礼盒的销售单价为$x$元,一个麻花礼盒的销售单价为$y$元.由题意,得
$\begin{cases}3x+2y=195,\\x=2y-15,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=45,\\y=30.\end{cases}$
答:一个火锅底料礼盒的销售单价为45元,一个麻花礼盒的销售单价为30元.
(2)降价后,一个火锅底料礼盒的销售单价为$(45-2m)$元,一个麻花礼盒的销售单价为$(30-m)$元.由题意,得$\dfrac{140}{45-2m}×2=\dfrac{200}{30-m}$,解得$m=5$,经检验,$m=5$是原方程的解,且符合题意.
故$m$的值为5.

【分析】
(1) 本题有两个未知量，可通过设二元一次方程组求解：首先找到两个等量关系，一是购买3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒总花费195元，二是一个火锅底料礼盒单价比一个麻花礼盒单价的2倍少15元，设两个未知数代入等量关系得到方程组，解方程组即可得到两种礼盒的单价。
(2) 先根据(1)的结果表示出降价后两种礼盒的单价，再结合“总价÷单价=数量”的关系，利用“购买麻花礼盒的数量是火锅底料礼盒数量的2倍”这一等量关系列分式方程，解出结果后检验是否符合分母不为0的要求以及实际意义，即可得到m的值。
【解析】
(1) 设一个火锅底料礼盒的销售单价为$x$元，一个麻花礼盒的销售单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+2y=195\\x=2y-15\end{cases}$
将$x=2y-15$代入$3x+2y=195$，得$3(2y-15)+2y=195$，
展开计算：$6y-45+2y=195$，$8y=240$，解得$y=30$，
将$y=30$代入$x=2y-15$，得$x=2×30-15=45$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=45\\y=30\end{cases}$。
(2) 降价后，一个火锅底料礼盒的销售单价为$(45-2m)$元，一个麻花礼盒的销售单价为$(30-m)$元。
顾客乙购买火锅底料礼盒的数量为$\dfrac{140}{45-2m}$个，购买麻花礼盒的数量为$\dfrac{200}{30-m}$个，根据麻花礼盒数量是火锅底料礼盒数量的2倍，列方程：
$\dfrac{140}{45-2m}×2=\dfrac{200}{30-m}$
化简得：$\dfrac{280}{45-2m}=\dfrac{200}{30-m}$，交叉相乘得$280(30-m)=200(45-2m)$，
展开计算：$8400-280m=9000-400m$，
移项得：$120m=600$，解得$m=5$。
检验：当$m=5$时，$45-2m=45-10=35≠0$，$30-m=25≠0$，所以$m=5$是原方程的解，且符合实际销售的要求。
【答案】
(1) 一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元；
(2) $m$的值为5。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分式方程的应用
【点评】
本题结合生活消费场景考查方程的实际应用，核心是从题干中准确提取等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须验根，保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.7

1 (2025·山东淄博)若分式$\frac{1}{x+1} ÷ \frac{x-3}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是 ()

A.$x ≠ -1$且$x ≠ 2$
B.$x ≠ -1$且$x ≠ 3$
C.$x ≠ 2$且$x ≠ 3$
D.$x ≠ -1$且$x ≠ 2$且$x ≠ 3$

1.D

【分析】
要判断分式有意义的x的取值范围，需依据两个核心规则：一是所有分式的分母不能为0，二是除法运算中的除数不能为0。我们只需要把式子中所有会导致分母为0、除数为0的x值排除，就能得到正确的取值范围。
【解析】
要使原式有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 分式$\frac{1}{x+1}$的分母不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$；
2. 除数$\frac{x-3}{x-2}$的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除法的除数不能为0：即$\frac{x-3}{x-2}≠0$，分母已要求不为0，因此只需分子不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
联立三个条件，得x的取值范围是$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法运算规则
【点评】
本题是分式意义的基础考查题，易错点是容易遗漏除数不能为0的限制条件，解题时要逐一排查所有限制x取值的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2 (2025·江苏无锡)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6 km，小亮骑行时间比小红少用了4 min. 设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为 ()

A.$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
B.$\frac{6}{1.2x}+4=\frac{6}{x}$
C.$\frac{6}{1.2x}-\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
D.$\frac{6}{1.2x}-4=\frac{6}{x}$

2.A

【分析】
本题是行程类的分式方程实际应用题，核心解题思路为：首先明确行程问题基本公式“时间=路程÷速度”，先统一时间单位（题目中时间差为分钟，速度单位为km/h，需将分钟换算为小时），再分别表示出两人骑行的时间，最后根据“小亮骑行时间比小红少用4min”的等量关系列方程即可。
【解析】
已知小红骑行速度为$x$ km/h，则小亮骑行速度为$1.2x$ km/h。
先统一单位：$4\ \mathrm{min}=\frac{4}{60}\ \mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”可得：
小红骑行6km的时间为$\frac{6}{x}$ h，
小亮骑行6km的时间为$\frac{6}{1.2x}$ h。
由“小亮骑行时间比小红少4min”可知：小亮的骑行时间+4min=小红的骑行时间，代入对应表达式列方程为：
$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是找准两人骑行时间的等量关系，同时要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配错选。
【难度系数】
0.85

3 (2025·黑龙江齐齐哈尔)如果关于x的分式方程$\frac{mx}{1-x}+\frac{x}{x-1}=2$无解，那么实数m的值是（）

A.$m=1$
B.$m=-1$
C.$m=1$或$m=-1$
D.$m≠1$且$m≠-1$

3.C

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的根）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出m的值。
【解析】
首先对原分式方程去分母，方程两边同时乘以最简公分母$1-x$（注意$x≠1$，否则分母为0），得：
$mx - x = 2(1-x)$
整理方程：
左边合并同类项得$(m-1)x$，右边展开得$2-2x$，移项将含x的项移到左边：
$(m-1)x + 2x = 2$
合并同类项得：$(m+1)x = 2$
接下来分两种情况讨论：
1. 当整式方程$(m+1)x=2$本身无解时：
一元一次方程$ax=b$无解的条件是$a=0$且$b≠0$，因此$m+1=0$，解得$m=-1$，此时左边$0· x=0$，右边为2，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的分母为0时$1-x=0$，即增根为$x=1$，将$x=1$代入$(m+1)x=2$得：
$m+1=2$，解得$m=1$，此时整式方程的解$x=1$使原分式方程分母为0，是增根，原分式方程无解。
综上，m的值为1或-1。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，解题时需全面考虑分式方程无解的两类情形，分情况讨论即可正确求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6