定义:若分式A与分式B的差等于它们的积.即$A-B=AB$,则称分式B是分式A的“友好分式”.如$\frac{1}{x+1}$与$\frac{1}{x+2}$.因为$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$,$\frac{1}{x+1}×\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$,所以$\frac{1}{x+2}$是$\frac{1}{x+1}$的“友好分式”.
(1)填空:分式$\frac{1}{x+4}$分式$\frac{1}{x+3}$的“友好分式”.(填“是”或“不是”)
(2)已知分式$\frac{2x+2}{3x+2}$是分式A的“友好分式”.
①求分式A的表达式;
②若整数x使得分式A的值是正整数,求分式A的值.

解:(1)是 提示:$∵\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{(x+4)-(x+3)}{(x+3)(x+4)}=\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}$,$\dfrac{1}{x+3}×\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}$,$∴\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{1}{x+3}×\dfrac{1}{x+4}$,
$∴$分式$\dfrac{1}{x+4}$是分式$\dfrac{1}{x+3}$的“友好分式”.
(2)①$∵$分式$\dfrac{2x+2}{3x+2}$是分式$A$的“友好分式”,
$∴A-\dfrac{2x+2}{3x+2}=\dfrac{2x+2}{3x+2}× A$,$∴A-\dfrac{2x+2}{3x+2}× A=\dfrac{2x+2}{3x+2}$,$∴A(1-\dfrac{2x+2}{3x+2})=\dfrac{2x+2}{3x+2}$,
$∴A×\dfrac{x}{3x+2}=\dfrac{2x+2}{3x+2}$,$∴A=\dfrac{2x+2}{3x+2}÷\dfrac{x}{3x+2}=\dfrac{2x+2}{3x+2}·\dfrac{3x+2}{x}=\dfrac{2x+2}{x}$.
②$∵A=\dfrac{2x+2}{x}=2+\dfrac{2}{x}$,$A$为正整数,$x$为整数,$∴x=1,±2$.
当$x=1$时,$A=4$;当$x=2$时,$A=3$;当$x=-2$时,$A=1$.综上所述,$A$的值为4或3或1.

【分析】
（1）首先明确“友好分式”的定义：若两个分式A、B满足$A-B=AB$，则B是A的友好分式。判断$\frac{1}{x+4}$是不是$\frac{1}{x+3}$的友好分式，只需分别计算二者的差和乘积，对比结果是否相等即可。
（2）①根据友好分式的定义列出关于A的等式，通过移项、提取公因式A，将等式变形为A的系数为单一分式的形式，再通过分式除法运算求出A的表达式，注意保证运算过程中分式有意义。
②先将A的表达式化简为“整式+简单分式”的形式，结合A是正整数、x是整数的条件，分析分母x是分子2的约数，同时保证A的结果为正，筛选符合条件的x后代入计算，排除使分式无意义的取值。
【解析】
(1) 计算两个分式的差：
$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{(x+4)-(x+3)}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{(x+3)(x+4)}$
计算两个分式的乘积：
$\frac{1}{x+3}×\frac{1}{x+4}=\frac{1}{(x+3)(x+4)}$
可得$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+3}×\frac{1}{x+4}$，符合友好分式的定义。
(2) ①根据“友好分式”的定义可得：
$A-\frac{2x+2}{3x+2}=\frac{2x+2}{3x+2}·A$
移项得：$A-\frac{2x+2}{3x+2}·A=\frac{2x+2}{3x+2}$
提取公因式A：$A(1-\frac{2x+2}{3x+2})=\frac{2x+2}{3x+2}$
计算括号内的式子：$1-\frac{2x+2}{3x+2}=\frac{(3x+2)-(2x+2)}{3x+2}=\frac{x}{3x+2}$
因此有$A·\frac{x}{3x+2}=\frac{2x+2}{3x+2}$
两边同时乘以$\frac{3x+2}{x}$（$x≠0$且$3x+2≠0$），得：
$A=\frac{2x+2}{3x+2}·\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+2}{x}$
②先化简A：$A=\frac{2x+2}{x}=2+\frac{2}{x}$
∵A的值是正整数，x是整数
∴$\frac{2}{x}$必须是整数，即x是2的整数约数，且$2+\frac{2}{x}＞0$
符合条件的x取值为1、2、-2：
当x=1时，$A=2+\frac{2}{1}=4$；
当x=2时，$A=2+\frac{2}{2}=3$；
当x=-2时，$A=2+\frac{2}{-2}=1$。
上述取值均满足分式有意义的要求。
【答案】
(1) 是
(2) ①$A=\frac{2x+2}{x}$；②A的值为1、3、4
【知识点】
新定义运算，分式化简，分式整数解
【点评】
本题以新定义为载体考查分式的四则运算、方程求解和整数解筛选，解题核心是准确理解新定义，将陌生问题转化为已学的分式运算问题，求解整数解时需注意结合正整数的限制条件，同时保证分式有意义，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.7