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15. 观察下边图形，每个小正方形的边长为1.
(1)则图中阴影部分的面积是
(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为$\sqrt{15}$的整数部分. 求：
①x，y的值；
②$(x+y)^2$的算术平方根.
(1)则图中阴影部分的面积是
13
，边长是$\sqrt{13}$
.(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为$\sqrt{15}$的整数部分. 求：
①x，y的值；
②$(x+y)^2$的算术平方根.
答案
15.(1)$13\ \ \sqrt{13}$
(2)①$x=\sqrt{13}-3,\ y=3.$
②$\sqrt{13}.$
(2)①$x=\sqrt{13}-3,\ y=3.$
②$\sqrt{13}.$
解析
【分析】
(1) 求阴影面积可采用割补法：先计算包含阴影部分的大正方形面积，再减去阴影周围4个全等直角三角形的面积，即可得到阴影面积；再根据正方形面积与边长的关系，就能求出阴影正方形的边长。
(2) ① 先估算无理数的大小，确定√13和√15分别介于哪两个相邻整数之间，整数部分就是较小的那个整数，小数部分为原数减去整数部分，即可求出x、y的值；② 先代入x、y的值计算x+y，再求(x+y)²的算术平方根即可。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，观察可得阴影周围的4个直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边长度分别为2和3：
单个直角三角形面积 = $\frac{1}{2}×2×3=3$，4个三角形总面积 = $4×3=12$；
包含阴影的大正方形边长为$2+3=5$，面积 = $5×5=25$；
因此阴影部分面积 = $25-12=13$。
设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式$a^2=13$，且$a＞0$，得$a=\sqrt{13}$。
(2) ① 估算无理数大小：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，
∴ $3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分$x=\sqrt{13}-3$；
同理，$9＜15＜16$，
∴ $3＜\sqrt{15}＜4$，因此$\sqrt{15}$的整数部分$y=3$。
② 代入$x=\sqrt{13}-3$、$y=3$得：$x+y=\sqrt{13}-3+3=\sqrt{13}$；
则$(x+y)^2=(\sqrt{13})^2=13$；
13的算术平方根为$\sqrt{13}$，即$(x+y)^2$的算术平方根是$\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $13$，$\sqrt{13}$
(2) ① $x=\sqrt{13}-3$，$y=3$；② $\sqrt{13}$
【知识点】
割补法求面积，无理数的估算，算术平方根计算
【点评】
本题综合考查了网格内图形面积计算、无理数估算及算术平方根的相关知识，解题关键是熟练掌握割补法求面积的方法，明确无理数整数部分、小数部分的求解规则。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影面积可采用割补法：先计算包含阴影部分的大正方形面积，再减去阴影周围4个全等直角三角形的面积，即可得到阴影面积；再根据正方形面积与边长的关系，就能求出阴影正方形的边长。
(2) ① 先估算无理数的大小，确定√13和√15分别介于哪两个相邻整数之间，整数部分就是较小的那个整数，小数部分为原数减去整数部分，即可求出x、y的值；② 先代入x、y的值计算x+y，再求(x+y)²的算术平方根即可。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，观察可得阴影周围的4个直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边长度分别为2和3：
单个直角三角形面积 = $\frac{1}{2}×2×3=3$，4个三角形总面积 = $4×3=12$；
包含阴影的大正方形边长为$2+3=5$，面积 = $5×5=25$；
因此阴影部分面积 = $25-12=13$。
设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式$a^2=13$，且$a＞0$，得$a=\sqrt{13}$。
(2) ① 估算无理数大小：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，
∴ $3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分$x=\sqrt{13}-3$；
同理，$9＜15＜16$，
∴ $3＜\sqrt{15}＜4$，因此$\sqrt{15}$的整数部分$y=3$。
② 代入$x=\sqrt{13}-3$、$y=3$得：$x+y=\sqrt{13}-3+3=\sqrt{13}$；
则$(x+y)^2=(\sqrt{13})^2=13$；
13的算术平方根为$\sqrt{13}$，即$(x+y)^2$的算术平方根是$\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $13$，$\sqrt{13}$
(2) ① $x=\sqrt{13}-3$，$y=3$；② $\sqrt{13}$
【知识点】
割补法求面积，无理数的估算，算术平方根计算
【点评】
本题综合考查了网格内图形面积计算、无理数估算及算术平方根的相关知识，解题关键是熟练掌握割补法求面积的方法，明确无理数整数部分、小数部分的求解规则。
【难度系数】
0.7
16. 观察下列计算过程，猜想立方根.
$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，$6^3=216$，$7^3=343$，$8^3=512$，$9^3=729$.
(1)小明是这样试求出19 683的立方根的：先估计19 683的立方根的个位数，猜想它的个位数为
(2)请你根据(1)中小明的方法填空：
①$\sqrt[3]{117\ 649}$ =
②$\sqrt[3]{-373\ 248}$ =
③$\sqrt[3]{0.531\ 441}$ =
$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，$6^3=216$，$7^3=343$，$8^3=512$，$9^3=729$.
(1)小明是这样试求出19 683的立方根的：先估计19 683的立方根的个位数，猜想它的个位数为
7
，又由$20^3 ＜ 19\ 000 ＜ 30^3$，猜想19 683的立方根十位数为2
，验证得19 683的立方根是27
.(2)请你根据(1)中小明的方法填空：
①$\sqrt[3]{117\ 649}$ =
49
；②$\sqrt[3]{-373\ 248}$ =
-72
；③$\sqrt[3]{0.531\ 441}$ =
0.81
.答案
16.(1)$7\ \ 2\ \ 27$
(2)①$49$ ②$-72$ ③$0.81$
(2)①$49$ ②$-72$ ③$0.81$
解析
【分析】
解决这类立方根估算问题，思路分为三步：①确定个位：观察1~9的立方结果，被开方数的个位数字与某个数立方的个位数字一致，即可确定立方根的个位；②确定十位（整数高位）：将被开方数与相邻整十数的立方比较，找到其所在的范围，即可确定十位数字；③特殊情况处理：负数的立方根为负数，小数的立方根可先将小数转化为整数求立方根，再根据“被开方数小数点每移动3位，立方根小数点同方向移动1位”的规律调整结果。
【解析】
(1) 观察1~9的立方结果，只有$7^3=343$的个位是3，与19683的个位数字相同，因此19683的立方根个位数为7；
计算得$20^3=8000$，$30^3=27000$，满足$20^3＜19683＜30^3$，因此19683的立方根十位数为2；
验证：$27^3=27×27×27=19683$，因此19683的立方根是27。
(2) ①求$\sqrt[3]{117649}$：被开方数个位是9，只有$9^3=729$的个位是9，故个位数为9；
计算得$40^3=64000$，$50^3=125000$，满足$40^3＜117649＜50^3$，故十位数为4，因此$\sqrt[3]{117649}=49$。
②求$\sqrt[3]{-373248}$：负数的立方根为负数，先求$\sqrt[3]{373248}$：被开方数个位是8，只有$2^3=8$的个位是8，故个位数为2；
计算得$70^3=343000$，$80^3=512000$，满足$70^3＜373248＜80^3$，故十位数为7，即$\sqrt[3]{373248}=72$，因此$\sqrt[3]{-373248}=-72$。
③求$\sqrt[3]{0.531441}$：将被开方数扩大1000000倍得531441，先求$\sqrt[3]{531441}$：个位是1，只有$1^3=1$的个位是1，故个位数为1；
计算得$80^3=512000$，$90^3=729000$，满足$80^3＜531441＜90^3$，故十位数为8，即$\sqrt[3]{531441}=81$；
被开方数小数点向左移动了6位，因此立方根小数点向左移动2位，得$\sqrt[3]{0.531441}=0.81$。
【答案】
(1)7；2；27
(2)①49；②-72；③0.81
【知识点】
立方根估算；立方根性质；小数点移动规律
【点评】
本题考查立方根的估算技巧，核心是熟练掌握1~9的立方结果，通过个位特征和数值范围快速确定立方根，同时要注意负数、小数的立方根运算规则，是对立方根概念的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解决这类立方根估算问题，思路分为三步：①确定个位：观察1~9的立方结果，被开方数的个位数字与某个数立方的个位数字一致，即可确定立方根的个位；②确定十位（整数高位）：将被开方数与相邻整十数的立方比较，找到其所在的范围，即可确定十位数字；③特殊情况处理：负数的立方根为负数，小数的立方根可先将小数转化为整数求立方根，再根据“被开方数小数点每移动3位，立方根小数点同方向移动1位”的规律调整结果。
【解析】
(1) 观察1~9的立方结果，只有$7^3=343$的个位是3，与19683的个位数字相同，因此19683的立方根个位数为7；
计算得$20^3=8000$，$30^3=27000$，满足$20^3＜19683＜30^3$，因此19683的立方根十位数为2；
验证：$27^3=27×27×27=19683$，因此19683的立方根是27。
(2) ①求$\sqrt[3]{117649}$：被开方数个位是9，只有$9^3=729$的个位是9，故个位数为9；
计算得$40^3=64000$，$50^3=125000$，满足$40^3＜117649＜50^3$，故十位数为4，因此$\sqrt[3]{117649}=49$。
②求$\sqrt[3]{-373248}$：负数的立方根为负数，先求$\sqrt[3]{373248}$：被开方数个位是8，只有$2^3=8$的个位是8，故个位数为2；
计算得$70^3=343000$，$80^3=512000$，满足$70^3＜373248＜80^3$，故十位数为7，即$\sqrt[3]{373248}=72$，因此$\sqrt[3]{-373248}=-72$。
③求$\sqrt[3]{0.531441}$：将被开方数扩大1000000倍得531441，先求$\sqrt[3]{531441}$：个位是1，只有$1^3=1$的个位是1，故个位数为1；
计算得$80^3=512000$，$90^3=729000$，满足$80^3＜531441＜90^3$，故十位数为8，即$\sqrt[3]{531441}=81$；
被开方数小数点向左移动了6位，因此立方根小数点向左移动2位，得$\sqrt[3]{0.531441}=0.81$。
【答案】
(1)7；2；27
(2)①49；②-72；③0.81
【知识点】
立方根估算；立方根性质；小数点移动规律
【点评】
本题考查立方根的估算技巧，核心是熟练掌握1~9的立方结果，通过个位特征和数值范围快速确定立方根，同时要注意负数、小数的立方根运算规则，是对立方根概念的灵活应用。
【难度系数】
0.7
