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14. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为$(-1,4)$,顶点B的坐标为$(-4,3)$,顶点C的坐标为$(-3,1)$.
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$,请你画出三角形$A'B'C'$;
(2)请直接写出点$A',B',C'$的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$,请你画出三角形$A'B'C'$;
(2)请直接写出点$A',B',C'$的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
答案
解:(1)如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$.
(3)三角形$ABC$的面积$=3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×2=3.5$.
解析
【分析】
(1) 要画出平移后的$△ A'B'C'$，首先依据平移坐标变化规则：向右平移时横坐标加平移单位，向下平移时纵坐标减平移单位，先算出$A、B、C$三点平移后的对应点坐标，再在坐标系中描出三个对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(2) 求平移后点的坐标，直接套用平移坐标变化规律：点$(x,y)$向右平移$a$个单位、向下平移$b$个单位后，对应点坐标为$(x+a,y-b)$，代入三个顶点的原坐标计算即可。
(3) 求$△ ABC$的面积时，因为它是网格中的斜三角形，无法直接用三角形面积公式计算，所以采用割补法：将三角形放入恰好能覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 先计算各顶点平移后的坐标：
点$A(-1,4)$向右平移5个单位、向下平移4个单位后，横坐标为$-1+5=4$，纵坐标为$4-4=0$，得到$A'(4,0)$；
点$B(-4,3)$平移后横坐标为$-4+5=1$，纵坐标为$3-4=-1$，得到$B'(1,-1)$；
点$C(-3,1)$平移后横坐标为$-3+5=2$，纵坐标为$1-4=-3$，得到$C'(2,-3)$；
在坐标系中描出$A'、B'、C'$三点，顺次连接，即可得到$△ A'B'C'$。
(2) 由上述计算可得平移后三点坐标。
(3) 用割补法计算面积：
观察$△ ABC$的位置，可将其放入边长为3的正方形内，正方形面积为$3×3=9$；
正方形内除$△ ABC$外有3个直角三角形，面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此$△ ABC$的面积$=9-1-1.5-3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$
(3)三角形ABC的面积为$3.5$
【知识点】
平移的坐标变换；割补法求面积；平面直角坐标系描点
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形平移的规律应用，以及网格中不规则图形面积的计算方法，属于基础题型，侧重对基础运算和方法应用能力的考查，掌握平移坐标变化规律和割补法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出平移后的$△ A'B'C'$，首先依据平移坐标变化规则：向右平移时横坐标加平移单位，向下平移时纵坐标减平移单位，先算出$A、B、C$三点平移后的对应点坐标，再在坐标系中描出三个对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(2) 求平移后点的坐标，直接套用平移坐标变化规律：点$(x,y)$向右平移$a$个单位、向下平移$b$个单位后，对应点坐标为$(x+a,y-b)$，代入三个顶点的原坐标计算即可。
(3) 求$△ ABC$的面积时，因为它是网格中的斜三角形，无法直接用三角形面积公式计算，所以采用割补法：将三角形放入恰好能覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 先计算各顶点平移后的坐标：
点$A(-1,4)$向右平移5个单位、向下平移4个单位后，横坐标为$-1+5=4$，纵坐标为$4-4=0$，得到$A'(4,0)$；
点$B(-4,3)$平移后横坐标为$-4+5=1$，纵坐标为$3-4=-1$，得到$B'(1,-1)$；
点$C(-3,1)$平移后横坐标为$-3+5=2$，纵坐标为$1-4=-3$，得到$C'(2,-3)$；
在坐标系中描出$A'、B'、C'$三点，顺次连接，即可得到$△ A'B'C'$。
(2) 由上述计算可得平移后三点坐标。
(3) 用割补法计算面积：
观察$△ ABC$的位置，可将其放入边长为3的正方形内，正方形面积为$3×3=9$；
正方形内除$△ ABC$外有3个直角三角形，面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此$△ ABC$的面积$=9-1-1.5-3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$
(3)三角形ABC的面积为$3.5$
【知识点】
平移的坐标变换；割补法求面积；平面直角坐标系描点
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形平移的规律应用，以及网格中不规则图形面积的计算方法，属于基础题型，侧重对基础运算和方法应用能力的考查，掌握平移坐标变化规律和割补法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
15. 在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$，$B(-3,b)$，当线段$AB$最短时，$AB$的长为（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
C
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
C
解析
【分析】
点B的横坐标固定为-3，纵坐标为任意实数，因此点B始终在垂直于x轴的直线x=-3上运动。根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于直线x=-3时，AB的长度最短。此时AB平行于x轴，A、B两点纵坐标相等，先确定此时点B的坐标，再计算两点间的距离即可。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(-3,b)，横坐标恒为-3，
∴点B在直线x=-3上运动。
根据垂线段最短的性质，当AB⊥直线x=-3时，线段AB的长度最短。
∵直线x=-3垂直于x轴，和它垂直的直线平行于x轴，
∴此时A、B两点纵坐标相等，即b=2，点B坐标为(-3,2)。
平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，因此：
AB=|1 - (-3)|=|1+3|=4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短、平面直角坐标系坐标特征、两点间距离计算
【点评】
本题将几何性质与平面直角坐标系的坐标运算结合考查，解题关键是先明确动点的运动轨迹，再结合最短距离的性质找到对应点的坐标，属于基础题型，侧重对基础知识点的理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
点B的横坐标固定为-3，纵坐标为任意实数，因此点B始终在垂直于x轴的直线x=-3上运动。根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于直线x=-3时，AB的长度最短。此时AB平行于x轴，A、B两点纵坐标相等，先确定此时点B的坐标，再计算两点间的距离即可。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(-3,b)，横坐标恒为-3，
∴点B在直线x=-3上运动。
根据垂线段最短的性质，当AB⊥直线x=-3时，线段AB的长度最短。
∵直线x=-3垂直于x轴，和它垂直的直线平行于x轴，
∴此时A、B两点纵坐标相等，即b=2，点B坐标为(-3,2)。
平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，因此：
AB=|1 - (-3)|=|1+3|=4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短、平面直角坐标系坐标特征、两点间距离计算
【点评】
本题将几何性质与平面直角坐标系的坐标运算结合考查，解题关键是先明确动点的运动轨迹，再结合最短距离的性质找到对应点的坐标，属于基础题型，侧重对基础知识点的理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
16. 在平面直角坐标系中有若干个点,按如图所示顺序依次排列为
$A_{1}(0,0),A_{2}(0,1),A_{3}(1,1),A_{4}(2,2),A_{5}(2,3),A_{6}(3,3),$
$A_{7}(4,4),···$,按此规律排列下去,则$A_{2\,025}$的坐标为 （
A.$(1\,348,1\,348)$
B.$(1\,348,1\,349)$
C.$(1\,349,1\,349)$
D.$(1\,349,1\,350)$
$A_{1}(0,0),A_{2}(0,1),A_{3}(1,1),A_{4}(2,2),A_{5}(2,3),A_{6}(3,3),$
$A_{7}(4,4),···$,按此规律排列下去,则$A_{2\,025}$的坐标为 （
C
）A.$(1\,348,1\,348)$
B.$(1\,348,1\,349)$
C.$(1\,349,1\,349)$
D.$(1\,349,1\,350)$
答案
C
解析
【分析】
解决这类点坐标规律题，首先要观察已知点的下标和坐标的对应关系，我们可以先将给出的点按每3个为一组进行划分，观察每组内点的坐标变化特点，尤其关注每组最后一个点的坐标和组号的关系，再判断所求点的下标对应的分组位置，代入规律即可求出坐标。
【解析】
观察已知点的排列规律，可按每3个点为一组划分：
第1组：$A_1(0,0),A_2(0,1),A_3(1,1)$，第3个点$A_3$的下标$3=3×1$，坐标为$(1,1)$；
第2组：$A_4(2,2),A_5(2,3),A_6(3,3)$，第3个点$A_6$的下标$6=3×2$，坐标为$(3,3)$；
第3组：$A_7(4,4),A_8(4,5),A_9(5,5)$，第3个点$A_9$的下标$9=3×3$，坐标为$(5,5)$；
……
由此可得规律：当下标$n=3m$（$m$为正整数）时，点$A_n$的坐标为$(2m-1,2m-1)$。
计算$2025÷3=675$，即$m=675$，代入得：
横坐标为$2×675 -1=1349$，纵坐标为$2×675 -1=1349$，因此$A_{2025}$的坐标为$(1349,1349)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是通过观察已知点的下标和坐标的对应关系，归纳出分组规律，重点考察学生的观察能力、归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解决这类点坐标规律题，首先要观察已知点的下标和坐标的对应关系，我们可以先将给出的点按每3个为一组进行划分，观察每组内点的坐标变化特点，尤其关注每组最后一个点的坐标和组号的关系，再判断所求点的下标对应的分组位置，代入规律即可求出坐标。
【解析】
观察已知点的排列规律，可按每3个点为一组划分：
第1组：$A_1(0,0),A_2(0,1),A_3(1,1)$，第3个点$A_3$的下标$3=3×1$，坐标为$(1,1)$；
第2组：$A_4(2,2),A_5(2,3),A_6(3,3)$，第3个点$A_6$的下标$6=3×2$，坐标为$(3,3)$；
第3组：$A_7(4,4),A_8(4,5),A_9(5,5)$，第3个点$A_9$的下标$9=3×3$，坐标为$(5,5)$；
……
由此可得规律：当下标$n=3m$（$m$为正整数）时，点$A_n$的坐标为$(2m-1,2m-1)$。
计算$2025÷3=675$，即$m=675$，代入得：
横坐标为$2×675 -1=1349$，纵坐标为$2×675 -1=1349$，因此$A_{2025}$的坐标为$(1349,1349)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是通过观察已知点的下标和坐标的对应关系，归纳出分组规律，重点考察学生的观察能力、归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
