斜边和一直角边分别的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

相等

【分析】
本题考查直角三角形全等的HL判定定理的概念识记。拿到题目首先看到题干中提到了“斜边、直角边”“HL”，可以定位到是考察HL定理的内容，我们已经知道直角三角形是特殊的三角形，本身隐含了两个直角相等的条件，因此HL判定定理仅需要两个边的条件即可判定全等，对应定理描述的空缺内容就是相等。
【解析】
根据直角三角形全等的HL判定定理的内容：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”），可知此处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
1. HL定理
2. 全等三角形判定
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对HL判定定理内容的记忆，熟练掌握教材中的基础定理定义就能快速答对。
【难度系数】
0.9

例1 如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取点M，N，使OM=ON，分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP。通过证明△OMP≌△ONP可以说明OP是∠AOB的平分线，则证明△OMP≌△ONP的依据是()。

A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL

D

【分析】
解题时首先判断△OMP和△ONP的形状，由作图可知PM垂直OA、PN垂直OB，因此两个三角形都是直角三角形；接着找全等的条件：已知OM=ON，两个三角形有公共斜边OP，结合直角三角形全等的特殊判定定理即可得出判定依据。
【解析】
由作图方法可得：$OM=ON$，$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，
$\therefore∠ OMP=∠ ONP=90°$，即$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中：
$\begin{cases}OP=OP \quad (\mathrm{公共边})\\OM=ON \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ OMP≌\mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$，
因此判定两个三角形全等的依据是HL。
【答案】
D
【知识点】
HL定理、全等三角形判定、角平分线判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题关键是明确HL定理仅适用于直角三角形，满足一组斜边和一组直角边对应相等即可判定两个直角三角形全等。
【难度系数】
0.8

例2 如图，点E，F在线段BC上，$BE=CF$，$AF=DE$，$∠ B=∠ C=90°$. 求证：$△ ABF ≌ △ DCE$.

证明：$\because BE=CF$，$\therefore BE+EF=CF+EF$，即 $BF = CE$. 在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中，$\begin{cases} AF=DE, \\ BF=CE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明△ABF≌△DCE，首先观察到∠B=∠C=90°，可知两个三角形都是直角三角形，可利用HL定理证明全等，HL定理需要满足斜边和一条直角边对应相等。已知斜边AF=DE，只需再证明直角边BF=CE即可。已知BE=CF，在等式两边同时加上公共线段EF，即可推出BF=CE，满足HL的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because BE=CF$，$\therefore BE+EF=CF+EF$，即 $BF = CE$。
在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中，
$\begin{cases} AF=DE, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
【答案】
证明：$\because BE=CF$，$\therefore BE+EF=CF+EF$，即 $BF = CE$。
在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中，
$\begin{cases} AF=DE, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
【知识点】
1. HL判定定理
2. 线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过已知的线段相等关系推导得出全等判定需要的等边，熟练掌握直角三角形全等的判定方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

1. 如图，已知$AB ⊥ CD$，垂足为$B$，$BC=BE$，若直接应用“HL”判定$△ ABC ≌ △ DBE$，则需要添加的一个条件是。

AC=DE

【分析】
要解决这道题，首先回忆“HL”判定直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。第一步先确认两个三角形是否为直角三角形：已知AB⊥CD，可得△ABC和△DBE都是直角三角形。第二步梳理已有的相等边：题目给出BC=BE，这是两个直角三角形的一组直角边对应相等。第三步对照HL的要求，已经有一组直角边相等，还缺斜边对应相等的条件，找到两个三角形的斜边分别是AC和DE，因此添加AC=DE即可用HL判定全等。
【解析】
∵ AB⊥CD，垂足为B
∴ ∠ABC=∠DBE=90°，即△ABC和△DBE均为直角三角形
已知一组直角边BC=BE，根据“HL”判定定理，只需添加斜边相等的条件，即AC=DE，就可直接判定△ABC≌△DBE。
【答案】
AC=DE
【知识点】
直角三角形全等的HL判定、垂直的性质
【点评】
本题考查对HL判定定理的应用，解题的关键是明确HL仅适用于直角三角形，需同时满足一组直角边相等和斜边相等两个条件，结合已知条件补充缺失的对应边相等条件即可。
【难度系数】
0.9

2. 如图，直线AB，CD相交于点O，ME⊥AB于点E，MF⊥CD于点F，若ME=MF，且∠AOC=52°，则∠OME的度数为。

26°

【分析】
解题时首先观察已知条件：ME垂直AB、MF垂直CD可得两个直角三角形，且已知ME=MF，OM为公共斜边，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到OM平分∠AOD；再利用邻补角的性质求出∠AOD的度数，进而得到∠EOM的度数；最后在Rt△MEO中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠OME的度数。
【解析】
解：
1.
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=52°
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-52°=128°（邻补角之和为180°）
2.
∵ME⊥AB，MF⊥CD
∴∠MEO=∠MFO=90°，△MEO和△MFO均为直角三角形
3. 在Rt△MEO和Rt△MFO中：
$\{\begin{array}{l}OM=OM\quad(\mathrm{公共边})\\ME=MF\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△MEO≌Rt△MFO（HL）
4.
∴∠EOM=∠FOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×128°=64°
5. 在Rt△MEO中，∠MEO=90°
∴∠OME=90°-∠EOM=90°-64°=26°
【答案】
26°
【知识点】
HL判定直角三角形全等；邻补角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础综合题，将全等三角形判定与角度计算结合考查，解题关键是通过全等得到角平分线的结论，再结合直角三角形的性质计算角度，熟练掌握HL定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7

3.（教材改编）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD$是边$BC$上的高. 求证：$∠ B = ∠ C$.

证明：$\because AD$ 是边 $BC$ 上的高，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ B=∠ C.$

【分析】
要证明∠B=∠C，通常可通过证明两角所在的三角形全等推导。观察图形可知∠B位于Rt△ABD中，∠C位于Rt△ACD中：首先由AD是BC边上的高，可得两个三角形均为直角三角形；已知AB=AC，即两个直角三角形的斜边相等，且AD是两个三角形共有的直角边，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可推出∠B=∠C。
【解析】
证明：$\because AD$ 是边 $BC$ 上的高，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
【答案】
证明：$\because AD$ 是边 $BC$ 上的高，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ B=∠ C.$
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、三角形高的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查直角三角形全等的判定及性质，解题时需先根据高的定义得到直角，再结合已知等边和公共边选用HL判定三角形全等，进而得到对应角相等，是全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8