登录
7. 如图，已知$AB// DE$.
(1)尺规作图：以点D为顶点，在DE的下方作$∠ EDF$交AB于点F，使$∠ EDF=∠ B$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：$DF// BC$.
(1)尺规作图：以点D为顶点，在DE的下方作$∠ EDF$交AB于点F，使$∠ EDF=∠ B$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：$DF// BC$.
答案
7. (1)略
(2)证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠B=∠DEC$. 又$∠EDF=∠B$，$\therefore ∠EDF=∠DEC$. $\therefore DF// BC$.
(2)证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠B=∠DEC$. 又$∠EDF=∠B$，$\therefore ∠EDF=∠DEC$. $\therefore DF// BC$.
解析
【分析】
(1) 本问考查尺规作一个角等于已知角的操作：将∠B作为已知角，以点D为顶点、DE为角的一边，按照作等角的尺规方法，在DE下方作出与∠B相等的∠EDF，使角的另一边与AB交于点F即可，注意保留作图痕迹。
(2) 要证明DF//BC，可通过角的关系推导：首先结合已知AB//DE，利用平行线的性质得到与∠B相等的角，再结合题目的∠EDF=∠B做等量代换，得到能判定DF//BC的内错角相等的条件，即可完成证明。
【解析】
(1) 按照“作一个角等于已知角”的尺规作图方法操作，保留作图痕迹即可，图略。
(2) 证明：
∵ $AB// DE$（已知），
∴ $∠B=∠DEC$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠EDF=∠B$（作图所得），
∴ $∠EDF=∠DEC$（等量代换）。
∴ $DF// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 略；
(2) 证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠B=∠DEC$. 又$∠EDF=∠B$，$\therefore ∠EDF=∠DEC$. $\therefore DF// BC$.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图和平行线相关性质、判定的应用，核心是熟练掌握作等角的操作方法，理清平行线性质和判定的使用逻辑：由线的平行推导角相等用性质，由角的相等推导线平行用判定，解题时注意合理运用等量代换。
【难度系数】
0.8
(1) 本问考查尺规作一个角等于已知角的操作：将∠B作为已知角，以点D为顶点、DE为角的一边，按照作等角的尺规方法，在DE下方作出与∠B相等的∠EDF，使角的另一边与AB交于点F即可，注意保留作图痕迹。
(2) 要证明DF//BC，可通过角的关系推导：首先结合已知AB//DE，利用平行线的性质得到与∠B相等的角，再结合题目的∠EDF=∠B做等量代换，得到能判定DF//BC的内错角相等的条件，即可完成证明。
【解析】
(1) 按照“作一个角等于已知角”的尺规作图方法操作，保留作图痕迹即可，图略。
(2) 证明：
∵ $AB// DE$（已知），
∴ $∠B=∠DEC$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠EDF=∠B$（作图所得），
∴ $∠EDF=∠DEC$（等量代换）。
∴ $DF// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 略；
(2) 证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠B=∠DEC$. 又$∠EDF=∠B$，$\therefore ∠EDF=∠DEC$. $\therefore DF// BC$.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图和平行线相关性质、判定的应用，核心是熟练掌握作等角的操作方法，理清平行线性质和判定的使用逻辑：由线的平行推导角相等用性质，由角的相等推导线平行用判定，解题时注意合理运用等量代换。
【难度系数】
0.8
8.（教材改编）如图，已知$∠ 1$，$∠ 2$和线段$m$，利用直尺和圆规作$△ ABC$，使$∠ A = ∠ 1$，$∠ B = ∠ 2$，$AB = 2m$.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
8. 解：如图，$△ ABC$即为所求。
解析
【分析】
要作出符合要求的△ABC，可按照“先定边，再定角”的思路思考：首先确定三角形的已知边AB，根据AB=2m的要求，用尺规作等长线段的方法画出长度为2m的AB；再分别以A、B为顶点，在AB的同侧作出与∠1、∠2相等的角，两个角的另一边的交点就是第三个顶点C，即可得到所求三角形，作图时要注意两个角需在AB的同侧，否则无法得到符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下（保留作图痕迹即可）：
1. 画射线，在射线上顺次截取两段长度为m的线段，得到AB=2m；
2. 以点A为顶点、AB为一边，在AB的同侧作∠CAB=∠1；
3. 以点B为顶点、BA为一边，在BA的同侧作∠CBA=∠2，两角的另一边交于点C，此时△ABC即为所求三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求。
【知识点】
作线段等于已知线段；作角等于已知角；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心是对作等长线段、作相等角这两个基本尺规作图操作的综合运用，作图时需注意两个角要作在已知边的同侧，避免作出的三角形不符合要求。
【难度系数】
0.7
要作出符合要求的△ABC，可按照“先定边，再定角”的思路思考：首先确定三角形的已知边AB，根据AB=2m的要求，用尺规作等长线段的方法画出长度为2m的AB；再分别以A、B为顶点，在AB的同侧作出与∠1、∠2相等的角，两个角的另一边的交点就是第三个顶点C，即可得到所求三角形，作图时要注意两个角需在AB的同侧，否则无法得到符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下（保留作图痕迹即可）：
1. 画射线，在射线上顺次截取两段长度为m的线段，得到AB=2m；
2. 以点A为顶点、AB为一边，在AB的同侧作∠CAB=∠1；
3. 以点B为顶点、BA为一边，在BA的同侧作∠CBA=∠2，两角的另一边交于点C，此时△ABC即为所求三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求。
【知识点】
作线段等于已知线段；作角等于已知角；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心是对作等长线段、作相等角这两个基本尺规作图操作的综合运用，作图时需注意两个角要作在已知边的同侧，避免作出的三角形不符合要求。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知线段a和∠α. 利用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
9. 解：如图，$△ ABC$即为所求。
解析
【分析】
要作出符合要求的△ABC，可按以下思路逐步操作：首先确定顶点A，先利用尺规作一个角等于已知角∠α，得到∠A；接下来在∠A的两条边上，分别用尺规截取长度等于已知线段a的线段AB、AC，保证AB=AC=a；最后连接B、C两点，即可得到符合要求的△ABC，整个过程核心是运用作等角、作等线段两个基本尺规作图方法。
【解析】
作图思路如下（仅需保留作图痕迹即可，无需写作法）：
1. 先确定点A，作∠MAB=∠α；
2. 在∠MAB的其中一条边上截取AC=a，另一条边上截取AB=a；
3. 连接BC，所得△ABC即为所求三角形。
【答案】
9. 解：如图，$△ ABC$即为所求。
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，主要考查对基本尺规作图操作的掌握，解题关键是熟练掌握作等角、作等线段的方法，作图时需按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作出符合要求的△ABC，可按以下思路逐步操作：首先确定顶点A，先利用尺规作一个角等于已知角∠α，得到∠A；接下来在∠A的两条边上，分别用尺规截取长度等于已知线段a的线段AB、AC，保证AB=AC=a；最后连接B、C两点，即可得到符合要求的△ABC，整个过程核心是运用作等角、作等线段两个基本尺规作图方法。
【解析】
作图思路如下（仅需保留作图痕迹即可，无需写作法）：
1. 先确定点A，作∠MAB=∠α；
2. 在∠MAB的其中一条边上截取AC=a，另一条边上截取AB=a；
3. 连接BC，所得△ABC即为所求三角形。
【答案】
9. 解：如图，$△ ABC$即为所求。
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，主要考查对基本尺规作图操作的掌握，解题关键是熟练掌握作等角、作等线段的方法，作图时需按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$.
(1)尺规作图：在$AC$上求作一点$E$，使$∠ ADE=∠ ADB$，交$AC$于点$E$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)已知$AB=9$，$△ CDE$的周长为15，求$△ ABC$的周长.
(1)尺规作图：在$AC$上求作一点$E$，使$∠ ADE=∠ ADB$，交$AC$于点$E$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)已知$AB=9$，$△ CDE$的周长为15，求$△ ABC$的周长.
答案
10. (1)略
(2)解：$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠DAB=∠DAE$.
在$△ ABD$和$△ AED$中，$\begin{cases}∠DAB=∠DAE,\\AD=AD,\\∠ADB=∠ADE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED(\mathrm{ASA})$. $\therefore BD=ED$，$AE=AB=9$.
$\because △ CDE$的周长为15，$\therefore CD+ED+CE=15$.
$\therefore CD+BD+CE=BC+CE=15$. $\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+CE+AE=9+15+9=33$.
(2)解：$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠DAB=∠DAE$.
在$△ ABD$和$△ AED$中，$\begin{cases}∠DAB=∠DAE,\\AD=AD,\\∠ADB=∠ADE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED(\mathrm{ASA})$. $\therefore BD=ED$，$AE=AB=9$.
$\because △ CDE$的周长为15，$\therefore CD+ED+CE=15$.
$\therefore CD+BD+CE=BC+CE=15$. $\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+CE+AE=9+15+9=33$.
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，要求作$∠ ADE=∠ ADB$，可利用“作一个角等于已知角”的基本作图方法：以点$D$为顶点，$AD$为公共边，在$AC$所在侧作与$∠ ADB$相等的角，角的另一边与$AC$的交点即为所求点$E$。
(2) 第二问求$△ ABC$的周长，首先根据$AD$是角平分线可得一组等角，结合公共边$AD$、已知的$∠ ADE=∠ ADB$，可通过ASA判定$△ ABD$和$△ AED$全等，得到对应边$AB=AE$、$BD=DE$；再将$△ CDE$周长中的$DE$替换为$BD$，可推出$BC+CE=15$；最后拆分$△ ABC$的周长，将$AC$拆分为$AE+CE$，代入已知数值即可计算结果。
【解析】
(1) 按照“作一个角等于已知角”的方法作图，保留作图痕迹即可，图略。
(2) 解：$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ DAB=∠ DAE$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠ DAB=∠ DAE,\\AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BD=ED$，$AE=AB=9$。
$\because △ CDE$的周长为15，
$\therefore CD+ED+CE=15$，
将$ED$替换为$BD$可得：$CD+BD+CE=BC+CE=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=AB+BC+CE+AE=9+15+9=33$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) $\boxed{33}$
【知识点】
1. 尺规作图作等角
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题综合考查尺规作图能力和全等三角形的应用，解题核心是通过全等三角形实现边的等量代换，将未知周长和已知条件建立关联，既考查基础操作能力，也锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为尺规作图题，要求作$∠ ADE=∠ ADB$，可利用“作一个角等于已知角”的基本作图方法：以点$D$为顶点，$AD$为公共边，在$AC$所在侧作与$∠ ADB$相等的角，角的另一边与$AC$的交点即为所求点$E$。
(2) 第二问求$△ ABC$的周长，首先根据$AD$是角平分线可得一组等角，结合公共边$AD$、已知的$∠ ADE=∠ ADB$，可通过ASA判定$△ ABD$和$△ AED$全等，得到对应边$AB=AE$、$BD=DE$；再将$△ CDE$周长中的$DE$替换为$BD$，可推出$BC+CE=15$；最后拆分$△ ABC$的周长，将$AC$拆分为$AE+CE$，代入已知数值即可计算结果。
【解析】
(1) 按照“作一个角等于已知角”的方法作图，保留作图痕迹即可，图略。
(2) 解：$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ DAB=∠ DAE$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠ DAB=∠ DAE,\\AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BD=ED$，$AE=AB=9$。
$\because △ CDE$的周长为15，
$\therefore CD+ED+CE=15$，
将$ED$替换为$BD$可得：$CD+BD+CE=BC+CE=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=AB+BC+CE+AE=9+15+9=33$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) $\boxed{33}$
【知识点】
1. 尺规作图作等角
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题综合考查尺规作图能力和全等三角形的应用，解题核心是通过全等三角形实现边的等量代换，将未知周长和已知条件建立关联，既考查基础操作能力，也锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
