1. 如图，在$△ ABC$中，点F在边BC上，$FD ⊥ AC$于点D，$DE ⊥ AB$于点E，$AD=CF$，$AE=CD$。若$∠ CFD=40°$，则$∠ A=(\ )$。

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

C

【分析】
首先观察到DE⊥AB、FD⊥AC，可得到△AED和△CDF均为直角三角形；题目给出斜边AD=CF、一组直角边AE=CD，符合直角三角形全等的HL判定条件，先证明两个三角形全等得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ DE⊥AB，FD⊥AC，
∴ ∠AED=∠CDF=90°，即△AED和△CDF都是直角三角形。
在Rt△AED和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AD=CF\\ AE=CD\end{array} $
∴ Rt△AED≌Rt△CDF（HL），
∴ ∠ADE=∠CFD=40°。
在Rt△AED中，∠A+∠ADE=90°，
∴ ∠A=90°-40°=50°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理，结合全等三角形对应角相等、直角三角形两锐角互余的性质求解角度，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = AE$，$DE ⊥ AB$于点$E$，交$BC$于点$D$。若$∠ CDA = 60°$，则$∠ BDE =$ $°$。

60

【分析】
解题时首先观察图形特征：已知两个直角三角形Rt△ACD和Rt△AED，有公共斜边AD，且一组直角边AC=AE，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此优先考虑证明两个三角形全等，得到对应角∠CDA=∠EDA，再利用平角的性质计算∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，即△ACD和△AED均为直角三角形。
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\AC=AE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CDA=∠EDA=60°，
∴∠CDE=∠CDA+∠EDA=60°+60°=120°，
∵点C、D、B在同一直线上，∠CDE与∠BDE为邻补角，
∴∠BDE=180°-∠CDE=180°-120°=60°。
【答案】
60
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质；平角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形全等的判定及性质的应用，解题的关键是准确识别可通过HL证明全等的直角三角形，再结合角度和差关系计算所求角，熟练掌握全等判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

3. 如图，已知$∠ C=∠ D=90°$，若添加一个条件可使用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ABD$，则添加的条件可以是。

AC=AD(或BC=BD)

【分析】
首先回忆直角三角形全等的“HL”判定规则：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。观察图形可知，$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$的斜边均为公共边$AB$，已经满足斜边相等的条件，因此只需再添加一组对应直角边相等，即可通过“HL”判定两个三角形全等。
【解析】
$\because ∠ C=∠ D=90°$
$\therefore △ ABC$和$△ ABD$都是直角三角形，且二者斜边$AB$为公共边，即$AB=AB$。
若添加条件$AC=AD$，则在$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$中：
$\begin{cases}AB=AB\\AC=AD\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌Rt△ ABD(\mathrm{HL})$；
若添加条件$BC=BD$，则在$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$中：
$\begin{cases}AB=AB\\BC=BD\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌Rt△ ABD(\mathrm{HL})$。
【答案】
$AC=AD$(或$BC=BD$)
【知识点】
HL全等判定，公共边性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题时首先确认两个三角形为直角三角形，再明确已有的相等斜边，补充一组直角边相等即可，注意HL判定仅适用于直角三角形的全等证明。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，连接DE，EC，DE=EC. 求证：DE⊥CE.

证明：在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ DEA=∠ ECB.$ $\because ∠ B=90°$，$\therefore ∠ ECB+∠ CEB=90°.$ $\therefore ∠ DEA+∠ CEB=90°.$ $\therefore ∠ DEC=90°.$ $\therefore DE⊥ CE.$

【分析】
要证明DE⊥CE，本质是要证明∠DEC=90°。观察图形可知∠AEB是平角为180°，因此只需推导出∠DEA+∠CEB=90°即可。已知∠A、∠B均为直角，且题目给出DE=EC、AE=BC两组边相等，可先利用HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质做角的等量代换，即可推导出∠DEC=90°，完成证明。
【解析】
证明：在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ DEA=∠ ECB.$
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ECB+∠ CEB=90°.$
$\therefore ∠ DEA+∠ CEB=90°.$
$\therefore ∠DEC=180°-(∠DEA+∠CEB)=90°.$
$\therefore DE⊥ CE.$
【答案】
DE⊥CE，证明过程如上。
【知识点】
HL证直角三角形全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础典型题，解题核心是先通过HL证明三角形全等，再通过角的等量代换推导垂直关系，侧重考查基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

5. 两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直的墙上，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的跨度DF相等.
(1)试判断这两个梯子的倾斜角∠ABC与∠DFE的数量关系，并说明理由；
(2)若DF=3 m，DE=6 m，AD=0.3 m，求点B到点F的距离.

解：(1)$∠ ABC + ∠ DFE = 90°$. 理由如下：易知，$∠ CAB=∠ FDE=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEF$ 中，$\begin{cases} BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ ABC=∠ DEF.$ 又 $\because ∠ DEF+∠ DFE=90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=90°.$
(2)$\because \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF$，$\therefore AB=DE=6\ \mathrm{m}.$ $\therefore BF=AB+AD+DF=6+0.3+3=9.3(\mathrm{m}).$

【分析】
(1) 首先观察图形可知△ABC和△DEF都是直角三角形，已知斜边BC=EF，直角边AC=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角∠ABC=∠DEF，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可推出∠ABC和∠DFE的数量关系。
(2) 由第一问的全等结论可得对应边AB=DE，点B到F的距离BF是线段AB、AD、DF的长度和，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ABC + ∠DFE = 90°}$，理由如下：
由题意得$∠CAB=∠FDE=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases} BC=EF \\ AC=DF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ABC=∠DEF$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠DEF+∠DFE=90°$
$\therefore ∠ABC+∠DFE=90°$
(2) $\because \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$
$\therefore AB=DE=6\ \mathrm{m}$
由图可知$BF=AB+AD+DF$，代入$AB=6\ \mathrm{m}$，$AD=0.3\ \mathrm{m}$，$DF=3\ \mathrm{m}$得：
$BF=6+0.3+3=9.3(\mathrm{m})$
【答案】
(1) $∠ ABC+∠ DFE=90°$；(2) $9.3\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是先根据已知条件判定两个直角三角形全等，再借助全等的性质转化边角关系求解，解题时注意结合图形分析线段的和差关系即可。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BD⊥ AC$于点$D$，$CE$，$BD$相交于点$O$，则图中全等三角形有().

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

C

【分析】
解题时可按照“从大到小”的顺序逐一排查全等三角形：首先观察最大的两个直角三角形$△ AEC$和$△ ADB$，结合等腰三角形$AB=AC$的条件和公共角$∠ A$，可先判定这一组全等；再利用第一组全等得到的边相等的结论，推导剩余的边相等，依次验证$△ BCE$和$△ CBD$、$△ EOB$和$△ DOC$是否全等，注意不要漏数也不要多数。
【解析】
我们逐一验证全等三角形：
1. 证明$\boxed{△ AEC ≌ △ ADB}$：
已知$CE ⊥ AB$，$BD ⊥ AC$，因此$∠ AEC = ∠ ADB = 90°$。
在$△ AEC$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠ AEC = ∠ ADB \\∠ A = ∠ A \\AC = AB\end{cases}$
故$△ AEC ≌ △ ADB$（AAS）。
2. 证明$\boxed{△ BCE ≌ △ CBD}$：
由$△ AEC ≌ △ ADB$可得$AE=AD$，又因为$AB=AC$，因此$AB-AE=AC-AD$，即$BE=CD$。
在$Rt△ BCE$和$Rt△ CBD$中：
$\begin{cases}BE = CD \\BC = CB\end{cases}$
故$Rt△ BCE ≌ Rt△ CBD$（HL）。
3. 证明$\boxed{△ EOB ≌ △ DOC}$：
在$△ EOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ BEO = ∠ CDO = 90° \\∠ EOB = ∠ DOC \\BE = CD\end{cases}$
故$△ EOB ≌ △ DOC$（AAS）。
综上，共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；直角三角形全等的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时需要按顺序逐一排查，避免漏数或多数，要注意结合等腰三角形的性质推导全等需要的边、角相等条件，熟练掌握全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7