7. 如图，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$，$BD=CD$，$BE=CF$。
(1)求证：$DE=DF$；
(2)若$AC=14$，$BE=2$，求$AB$的长。

(1)证明：$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$\therefore ∠ E=∠ DFC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△BED$ 和 $\mathrm{Rt}△CFD$ 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△BED≌\mathrm{Rt}△CFD(\mathrm{HL}).$ $\therefore DE=DF.$
(2)解：$\because AC=14$，$BE=2$，$CF=BE$，$\therefore AF=AC-CF=AC-BE=14-2=12.$ 在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，$\begin{cases} DE=DF, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL}).$ $\therefore AE=AF=12.$ $\therefore AB=AE-BE=12-2=10.$

【分析】
(1)要证明$DE=DF$，可通过证明$DE$、$DF$所在的三角形全等推导。已知$DE⊥AB$、$DF⊥AC$，可得$△ BED$和$△ CFD$都是直角三角形，题目给出斜边$BD=CD$、直角边$BE=CF$，符合直角三角形全等的HL判定条件，证明两个三角形全等即可得到对应边$DE=DF$。
(2)求$AB$的长时，首先由(1)的全等可得$CF=BE=2$，结合$AC$的长度可先求出$AF$的长；再观察到$AD$是$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$的公共斜边，且已证$DE=DF$，可再次用HL证明这两个直角三角形全等，得到$AE=AF$，最后用$AE$减去$BE$的长度即可得到$AB$的长。
【解析】
(1)证明：$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$\therefore ∠ E=∠ DFC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△BED$ 和 $\mathrm{Rt}△CFD$ 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△BED≌\mathrm{Rt}△CFD(\mathrm{HL}).$ $\therefore DE=DF.$
(2)解：$\because AC=14$，$BE=2$，$CF=BE$，$\therefore AF=AC-CF=AC-BE=14-2=12.$ 在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，$\begin{cases} DE=DF, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL}).$ $\therefore AE=AF=12.$ $\therefore AB=AE-BE=12-2=10.$
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$AB=10$
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL），全等三角形的性质
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定与性质的综合应用，解题时需根据已知条件准确寻找全等三角形，两次运用HL判定定理证明全等是解题的关键，通过全等转化相等线段即可求出目标线段的长度。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在四边形ABCD中，AB = AC，∠D = 90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF。
(1)求证：AF = AD；
(2)若BF = 7，DE = 3，求CE的长。

(1)证明：$\because BE⊥ AC$，$\therefore ∠ AFE=90°.$ $\therefore ∠ AFE=∠ D.$ $\because EA$ 平分 $∠ DEF$，$\therefore ∠ AEF=∠ AED.$ 在 $△ AFE$ 和 $△ ADE$ 中，$\begin{cases} ∠ AFE=∠ D, \\ ∠ AEF=∠ AED, \\ AE=AE, \end{cases}$$\therefore △ AFE≌△ ADE(\mathrm{AAS}).$ $\therefore AF=AD.$
(2)解：$\because BE⊥ AC$，$\therefore ∠ BFA=90°.$ $\therefore ∠ BFA=∠ D.$ 在 $\mathrm{Rt}△AFB$ 和 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中，$\begin{cases} AF=AD, \\ AB=AC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△AFB≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL}).$ $\therefore CD=BF=7.$ $\therefore CE=CD-DE=4.$

【分析】
(1)要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AF在△AFE中，AD在△ADE中，首先由BE⊥AC和∠D=90°可得两个三角形有一组直角相等，再结合EA平分∠DEF得到一组角相等，加上公共边AE，满足AAS全等判定条件，证明两三角形全等后即可得到对应边AF=AD。
(2)求CE的长度，已知DE的长度，只需要求出CD的长度就可以用CE=CD-DE计算。结合第一问得到的AF=AD，以及已知AB=AC，可证明Rt△AFB和Rt△ADC全等，由全等性质得到CD=BF，代入数值计算即可得到CE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AFE=90°，
∴ ∠AFE=∠D=90°。
∵ EA平分∠DEF，
∴ ∠AEF=∠AED。
在△AFE和△ADE中：
$\begin{cases} ∠AFE=∠D \\ ∠AEF=∠AED \\ AE=AE \end{cases}$
∴ △AFE≌△ADE（AAS），
∴ AF=AD。
(2)解：
∵ BE⊥AC，
∴ ∠BFA=90°，
∴ ∠BFA=∠D=90°。
在Rt△AFB和Rt△ADC中：
$\begin{cases} AF=AD \\ AB=AC \end{cases}$
∴ Rt△AFB≌Rt△ADC（HL），
∴ CD=BF=7，
∴ CE=CD - DE=7 - 3=4。
【答案】
(1)AF=AD得证；(2)CE的长为4
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题侧重考查全等三角形判定定理的应用，解题时需要结合已知条件筛选合适的全等判定方法，逐步推导边的等量关系，是全等判定应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

9. 在$△ ABC$中，$OE⊥ AB$于点$E$，$OF⊥ AC$于点$F$，且$OE=OF$.
(1)如图①，当$O$为$BC$中点时，试说明$∠ B=∠ C$；
(2)如图②，当点$O$在$△ ABC$内部，且$OB=OC$时，试判断$∠ ABC$与$∠ ACB$的关系，并说明理由.

(1)$\because O$ 为 $BC$ 中点，$\therefore OB=OC.$ $\because OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△OBE$ 和 $\mathrm{Rt}△OCF$ 中，$\begin{cases} OB=OC, \\ OE=OF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△OBE≌\mathrm{Rt}△OCF(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ B=∠ C.$
(2)$∠ ABC=∠ ACB.$ 理由如下：过点 $O$ 作 $OD⊥ BC$ 于点 $D$，则 $∠ ODB=∠ ODC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ODB$ 和 $\mathrm{Rt}△ODC$ 中，$\begin{cases} OB=OC, \\ OD=OD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ODB≌\mathrm{Rt}△ODC(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ OBC=∠ OCB.$ $\because OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△OBE$ 和 $\mathrm{Rt}△OCF$ 中，$\begin{cases} OB=OC, \\ OE=OF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△OBE≌\mathrm{Rt}△OCF(\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ ABO=∠ ACO.$ $\therefore ∠ ABO+∠ OBC=∠ ACO+∠ OCB$，即 $∠ ABC=∠ ACB.$

【分析】
(1) 要证∠B=∠C，可通过证明∠B、∠C所在的直角三角形全等推导。已知O是BC中点，可得OB=OC，结合OE⊥AB、OF⊥AC，OE=OF的条件，满足直角三角形全等的HL判定要求，证明两个直角三角形全等后，对应角相等即可得证。
(2) 要判断∠ABC与∠ACB的关系，可分别推导∠OBC=∠OCB、∠ABO=∠ACO，通过角的和差得到两角相等。首先由OB=OC，作辅助线OD⊥BC，用HL证明Rt△OBD和Rt△OCD全等，可得∠OBC=∠OCB；再结合OE⊥AB、OF⊥AC，OE=OF，OB=OC的条件，用HL证明Rt△OBE和Rt△OCF全等，可得∠ABO=∠ACO，最后将对应角相加即可得到结论。
【解析】
(1) $\because$ O为BC中点，$\therefore OB=OC$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△OBE$ 和 $\mathrm{Rt}△OCF$ 中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ OE=OF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△OBE≌\mathrm{Rt}△OCF(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ B=∠ C$。
(2) $∠ ABC=∠ ACB$，理由如下：
过点 $O$ 作 $OD⊥ BC$ 于点 $D$，则 $∠ ODB=∠ ODC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ODB$ 和 $\mathrm{Rt}△ODC$ 中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ OD=OD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ODB≌\mathrm{Rt}△ODC(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△OBE$ 和 $\mathrm{Rt}△OCF$ 中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ OE=OF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△OBE≌\mathrm{Rt}△OCF(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ ABO=∠ ACO$。
$\therefore ∠ ABO+∠ OBC=∠ ACO+∠ OCB$，即 $∠ ABC=∠ ACB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=∠C}$
(2) $\boldsymbol{∠ABC=∠ACB}$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查直角三角形全等的判定及性质的应用，解题关键是结合已知条件找到合适的全等三角形，必要时添加辅助线构造全等关系，再结合角的和差推导待证结论。
【难度系数】
0.7