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14.用方程解答:x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差,求x.
将下列解答过程补充完整:
列方程为,
解方程,移项,得
(依据).
解得(依据
).
将下列解答过程补充完整:
列方程为,
解方程,移项,得
(依据).
解得(依据
).
答案
解：
列方程为 $\boldsymbol{5x + 2 = 3x - 4}$，
解方程，移项，得 $\boldsymbol{5x - 3x = -4 - 2}$
（依据 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等）。
合并同类项得 $2x=-6$，解得 $\boldsymbol{x = -3}$（依据 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等）。
列方程为 $\boldsymbol{5x + 2 = 3x - 4}$，
解方程，移项，得 $\boldsymbol{5x - 3x = -4 - 2}$
（依据 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等）。
合并同类项得 $2x=-6$，解得 $\boldsymbol{x = -3}$（依据 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等）。
解析
【分析】
解题时先从题目描述中提取等量关系：首先，“x的5倍与2的和”可转化为代数式5x+2，“x的3倍与4的差”可转化为代数式3x-4，二者相等即可列出方程；解方程时移项是将含未知数的项统一移到等式一侧，常数项移到另一侧，移项的依据是等式的性质1，注意移项要变号；合并同类项后，将未知数的系数化为1即可得到x的值，系数化为1的依据是等式的性质2。
【解析】
1. 列方程：根据题意，x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，因此列方程为 $\boldsymbol{5x + 2 = 3x - 4}$。
2. 移项：将等式右侧的3x移到左侧变为-3x，等式左侧的2移到右侧变为-2，可得 $\boldsymbol{5x - 3x = -4 - 2}$，该步骤的依据为等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
3. 求解：合并同类项得$2x=-6$，等式两边同时除以2，解得$\boldsymbol{x=-3}$，该步骤的依据为等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【答案】
$5x + 2 = 3x - 4$；$5x - 3x = -4 - 2$；等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；$x=-3$；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题考查一元一次方程的列式与基础解法，核心是准确翻译文字描述得到等量关系，牢记等式的两个性质，注意移项时符号要发生改变，是一元一次方程板块的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先从题目描述中提取等量关系：首先，“x的5倍与2的和”可转化为代数式5x+2，“x的3倍与4的差”可转化为代数式3x-4，二者相等即可列出方程；解方程时移项是将含未知数的项统一移到等式一侧，常数项移到另一侧，移项的依据是等式的性质1，注意移项要变号；合并同类项后，将未知数的系数化为1即可得到x的值，系数化为1的依据是等式的性质2。
【解析】
1. 列方程：根据题意，x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，因此列方程为 $\boldsymbol{5x + 2 = 3x - 4}$。
2. 移项：将等式右侧的3x移到左侧变为-3x，等式左侧的2移到右侧变为-2，可得 $\boldsymbol{5x - 3x = -4 - 2}$，该步骤的依据为等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
3. 求解：合并同类项得$2x=-6$，等式两边同时除以2，解得$\boldsymbol{x=-3}$，该步骤的依据为等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【答案】
$5x + 2 = 3x - 4$；$5x - 3x = -4 - 2$；等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；$x=-3$；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题考查一元一次方程的列式与基础解法，核心是准确翻译文字描述得到等量关系，牢记等式的两个性质，注意移项时符号要发生改变，是一元一次方程板块的基础题型。
【难度系数】
0.9
15.尺规作图(保留作图痕迹,不写作法).如图,已知点A、点B、直线l及l上一点M.
(1)请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点O到点B的距离之和最短.
(2)连接MA,在直线l上作点N,使得点N在点M的左边,且满足MN=MA.
(1)请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点O到点B的距离之和最短.
(2)连接MA,在直线l上作点N,使得点N在点M的左边,且满足MN=MA.
答案
解：
(1) 连接线段AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，此时点O到点A、点B的距离之和最短。
(2) 连接MA，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，与直线l上点M左侧的交点即为所求的点N，满足MN=MA。
（作图痕迹：保留连接AB的线段痕迹，保留以M为圆心画弧的圆弧痕迹，标注出点O、点N即可）
(1) 连接线段AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，此时点O到点A、点B的距离之和最短。
(2) 连接MA，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，与直线l上点M左侧的交点即为所求的点N，满足MN=MA。
（作图痕迹：保留连接AB的线段痕迹，保留以M为圆心画弧的圆弧痕迹，标注出点O、点N即可）
解析
【分析】
(1) 要找直线l上的点O使OA+OB的和最短，依据“两点之间线段最短”的原理，观察可知点A、B分别在直线l的两侧，直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求O点，此时OA+OB=AB，是最短的距离和，若取l上其他点，该点与A、B会构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，距离和都会大于AB。
(2) 要在直线l上点M的左侧作点N满足MN=MA，利用圆的半径处处相等的性质，以M为圆心、MA的长度为半径画弧，弧与直线l在M左侧的交点即为N，此时MN和MA都是圆的半径，长度相等。
【解析】
(1) 用直尺连接点A和点B，线段AB与直线l的交点就是所求的点O；
(2) 先用直尺连接MA，再将圆规针尖固定在点M处，调整圆规两脚间距等于MA的长度，以M为圆心画弧，弧与直线l上点M左侧的交点就是所求的点N。作图时需保留线段AB、画弧的痕迹，标注清楚点O和点N。
【答案】
(1) 连接线段AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，此时点O到点A、点B的距离之和最短。
(2) 连接MA，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，与直线l上点M左侧的交点即为所求的点N，满足MN=MA。
（作图痕迹：保留连接AB的线段痕迹，保留以M为圆心画弧的圆弧痕迹，标注出点O、点N即可）
【知识点】
两点之间线段最短；尺规作等长线段；最短路径作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了最短路径原理和等线段构造的知识，重点考查作图操作的规范性，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短的性质和圆上点到圆心距离相等的特点。
【难度系数】
0.8
(1) 要找直线l上的点O使OA+OB的和最短，依据“两点之间线段最短”的原理，观察可知点A、B分别在直线l的两侧，直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求O点，此时OA+OB=AB，是最短的距离和，若取l上其他点，该点与A、B会构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，距离和都会大于AB。
(2) 要在直线l上点M的左侧作点N满足MN=MA，利用圆的半径处处相等的性质，以M为圆心、MA的长度为半径画弧，弧与直线l在M左侧的交点即为N，此时MN和MA都是圆的半径，长度相等。
【解析】
(1) 用直尺连接点A和点B，线段AB与直线l的交点就是所求的点O；
(2) 先用直尺连接MA，再将圆规针尖固定在点M处，调整圆规两脚间距等于MA的长度，以M为圆心画弧，弧与直线l上点M左侧的交点就是所求的点N。作图时需保留线段AB、画弧的痕迹，标注清楚点O和点N。
【答案】
(1) 连接线段AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，此时点O到点A、点B的距离之和最短。
(2) 连接MA，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，与直线l上点M左侧的交点即为所求的点N，满足MN=MA。
（作图痕迹：保留连接AB的线段痕迹，保留以M为圆心画弧的圆弧痕迹，标注出点O、点N即可）
【知识点】
两点之间线段最短；尺规作等长线段；最短路径作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了最短路径原理和等线段构造的知识，重点考查作图操作的规范性，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短的性质和圆上点到圆心距离相等的特点。
【难度系数】
0.8
16. 先化简,再求值:$6y^3 + 4(x^3 - 2xy) - 2(3y^3 - xy)$,其中$x=-2,y=3$.
答案
解：
原式$=6y^3 + 4x^3 - 8xy - 6y^3 + 2xy$
$=4x^3 - 6xy$
当$x=-2$，$y=3$时，
原式$=4×(-2)^3 - 6×(-2)×3$
$=4×(-8) + 36$
$=-32 + 36$
$=4$
原式$=6y^3 + 4x^3 - 8xy - 6y^3 + 2xy$
$=4x^3 - 6xy$
当$x=-2$，$y=3$时，
原式$=4×(-2)^3 - 6×(-2)×3$
$=4×(-8) + 36$
$=-32 + 36$
$=4$
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题核心思路是先化简再代入求值，可大幅降低计算量、减少出错概率。第一步先根据去括号法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且括号外的系数要乘遍括号内的每一项；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简整式，按照有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：原式$=6y^3 + 4x^3 - 8xy - 6y^3 + 2xy$
$=4x^3 - 6xy$
当$x=-2$，$y=3$时，
原式$=4×(-2)^3 - 6×(-2)×3$
$=4×(-8) + 36$
$=-32 + 36$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
整式的化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查去括号、合并同类项的运算能力，计算时需格外注意符号变化，避免因漏乘系数、符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题核心思路是先化简再代入求值，可大幅降低计算量、减少出错概率。第一步先根据去括号法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且括号外的系数要乘遍括号内的每一项；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简整式，按照有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：原式$=6y^3 + 4x^3 - 8xy - 6y^3 + 2xy$
$=4x^3 - 6xy$
当$x=-2$，$y=3$时，
原式$=4×(-2)^3 - 6×(-2)×3$
$=4×(-8) + 36$
$=-32 + 36$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
整式的化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查去括号、合并同类项的运算能力，计算时需格外注意符号变化，避免因漏乘系数、符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
17.如图，已知C为线段AB的中点，点D在线段BC上，且$AD=7$，$BD=5$，求线段CD的长。
答案
解：
∵ AD=7，BD=5，
∴ AB = AD + BD = 7 + 5 = 12。
∵ C为线段AB的中点，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
∴ CD = AD - AC = 7 - 6 = 1。
答：线段CD的长为1。
∵ AD=7，BD=5，
∴ AB = AD + BD = 7 + 5 = 12。
∵ C为线段AB的中点，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
∴ CD = AD - AC = 7 - 6 = 1。
答：线段CD的长为1。
解析
【分析】
要计算线段CD的长度，我们可以按以下思路推导：首先已知AD和BD的长度，二者相加即可得到整条线段AB的总长度；再根据C是AB中点的条件，可求出AB一半的长度即AC的长；最后用AD的长度减去AC的长度，就能得到CD的长度。
【解析】
∵ AD=7，BD=5，
∴ AB = AD + BD = 7 + 5 = 12。
∵ C为线段AB的中点，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
∴ CD = AD - AC = 7 - 6 = 1。
【答案】
线段CD的长为1
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段长度计算的基础题，解题核心是利用线段的和差关系以及中点的性质逐步推导待求线段长度，掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要计算线段CD的长度，我们可以按以下思路推导：首先已知AD和BD的长度，二者相加即可得到整条线段AB的总长度；再根据C是AB中点的条件，可求出AB一半的长度即AC的长；最后用AD的长度减去AC的长度，就能得到CD的长度。
【解析】
∵ AD=7，BD=5，
∴ AB = AD + BD = 7 + 5 = 12。
∵ C为线段AB的中点，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
∴ CD = AD - AC = 7 - 6 = 1。
【答案】
线段CD的长为1
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段长度计算的基础题，解题核心是利用线段的和差关系以及中点的性质逐步推导待求线段长度，掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
四、解答题
18.计算：
(1)$(-\dfrac{6}{5})×(-\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{17}{3};$
(2)$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-2)^2×(-6).$
18.计算：
(1)$(-\dfrac{6}{5})×(-\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{17}{3};$
(2)$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-2)^2×(-6).$
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{6}{5})×[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{17}{3}]\\&=(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{15}{3}\\&=(-\dfrac{6}{5})×5\\&=-6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×4×(-6)\\&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-24)\\&=\dfrac{1}{2}×(-24)-\dfrac{1}{3}×(-24)\\&=-12+8\\&=-4\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{6}{5})×[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{17}{3}]\\&=(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{15}{3}\\&=(-\dfrac{6}{5})×5\\&=-6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×4×(-6)\\&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-24)\\&=\dfrac{1}{2}×(-24)-\dfrac{1}{3}×(-24)\\&=-12+8\\&=-4\end{aligned}$
解析
【分析】
(1)观察第一小题的算式，两项乘法运算中都有相同的因数$-\frac{6}{5}$，可以逆用乘法分配律，先提取公因数，再计算括号内的加法，最后算乘法，简化计算过程，减少计算量。
(2)第二小题按照有理数混合运算的优先级，先计算乘方$(-2)^2$，再计算$4×(-6)$得到-24，此时可以正向运用乘法分配律，将括号内的两个分数分别与-24相乘，再计算加减，比先通分计算括号内的结果更简便，也能降低出错概率。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{6}{5})×[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{17}{3}]\\&=(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{15}{3}\\&=(-\dfrac{6}{5})×5\\&=-6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×4×(-6)\\&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-24)\\&=\dfrac{1}{2}×(-24)-\dfrac{1}{3}×(-24)\\&=-12+8\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6$；(2)$-4$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，合理选择运算律可以大幅简化计算步骤，提升计算的准确率。
【难度系数】
0.8
(1)观察第一小题的算式，两项乘法运算中都有相同的因数$-\frac{6}{5}$，可以逆用乘法分配律，先提取公因数，再计算括号内的加法，最后算乘法，简化计算过程，减少计算量。
(2)第二小题按照有理数混合运算的优先级，先计算乘方$(-2)^2$，再计算$4×(-6)$得到-24，此时可以正向运用乘法分配律，将括号内的两个分数分别与-24相乘，再计算加减，比先通分计算括号内的结果更简便，也能降低出错概率。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{6}{5})×[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{17}{3}]\\&=(-\dfrac{6}{5})×\dfrac{15}{3}\\&=(-\dfrac{6}{5})×5\\&=-6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×4×(-6)\\&=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})×(-24)\\&=\dfrac{1}{2}×(-24)-\dfrac{1}{3}×(-24)\\&=-12+8\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6$；(2)$-4$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，合理选择运算律可以大幅简化计算步骤，提升计算的准确率。
【难度系数】
0.8
