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19.如图，学校要建一个长方形自行车停车场，一面靠墙，其他三面用护栏围起，其中长方形自行车停车场的长为$(2a+3b)\mathrm{m}$，宽比长少$(a-b)\mathrm{m}$。
(1)用含$a,b$的式子表示长方形自行车停车场的宽。
(2)求护栏的总长度。
(3)若$a=30,b=10$，每米护栏的造价为80元，求建此自行车停车场所需的费用。
(1)用含$a,b$的式子表示长方形自行车停车场的宽。
(2)求护栏的总长度。
(3)若$a=30,b=10$，每米护栏的造价为80元，求建此自行车停车场所需的费用。
答案
解：
(1) 长方形自行车停车场的宽为：
$(2a+3b)-(a-b)$
$=2a+3b-a+b$
$=(a+4b)\ \mathrm{m}$
(2) 由图可知靠墙一侧为长方形的长，因此护栏总长度为1条长与2条宽的和：
$(2a+3b)+2(a+4b)$
$=2a+3b+2a+8b$
$=(4a+11b)\ \mathrm{m}$
(3) 当$a=30$，$b=10$时，
护栏总长度为：$4×30+11×10=230\ \mathrm{m}$
建停车场所需总费用为：$230×80=18400$元
答：(1) 长方形自行车停车场的宽为$(a+4b)\mathrm{m}$；(2) 护栏的总长度为$(4a+11b)\mathrm{m}$；(3) 建此自行车停车场所需的费用为18400元。
(1) 长方形自行车停车场的宽为：
$(2a+3b)-(a-b)$
$=2a+3b-a+b$
$=(a+4b)\ \mathrm{m}$
(2) 由图可知靠墙一侧为长方形的长，因此护栏总长度为1条长与2条宽的和：
$(2a+3b)+2(a+4b)$
$=2a+3b+2a+8b$
$=(4a+11b)\ \mathrm{m}$
(3) 当$a=30$，$b=10$时，
护栏总长度为：$4×30+11×10=230\ \mathrm{m}$
建停车场所需总费用为：$230×80=18400$元
答：(1) 长方形自行车停车场的宽为$(a+4b)\mathrm{m}$；(2) 护栏的总长度为$(4a+11b)\mathrm{m}$；(3) 建此自行车停车场所需的费用为18400元。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明宽比长少$(a-b)\mathrm{m}$，因此用长的代数式减去$(a-b)$即可得到宽的表达式，计算时需遵循去括号法则，括号前是减号，去括号后括号内各项要变号。
(2) 观察图形可知靠墙一侧为长方形的长，因此护栏仅需围1条长和2条宽，将已知的长和第(1)问求出的宽代入求和，再合并同类项化简即可得到护栏总长度。
(3) 先将$a=30$、$b=10$代入第(2)问得到的护栏总长度的代数式，计算出总长度，再用总长度乘每米护栏的造价，即可求出总费用。
【解析】
(1) 长方形的长为$(2a+3b)\mathrm{m}$，宽比长少$(a-b)\mathrm{m}$，因此宽为：
$\begin{aligned}&(2a+3b)-(a-b)\\=&2a+3b-a+b\\=&(a+4b)\ \mathrm{m}\end{aligned}$
(2) 靠墙一侧为长方形的长，因此护栏总长度为1条长与2条宽的和：
$\begin{aligned}&(2a+3b)+2(a+4b)\\=&2a+3b+2a+8b\\=&(4a+11b)\ \mathrm{m}\end{aligned}$
(3) 当$a=30$，$b=10$时，护栏总长度为：
$4×30 + 11×10 = 120 + 110 = 230\ \mathrm{m}$
每米护栏造价为80元，因此总费用为：
$230×80 = 18400$元
【答案】
(1) 长方形自行车停车场的宽为$(a+4b)\mathrm{m}$；(2) 护栏的总长度为$(4a+11b)\mathrm{m}$；(3) 建此自行车停车场所需的费用为18400元。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式运算的应用，解题核心是结合图形明确护栏的组成边长，计算时要注意去括号的符号规则，代入数值计算时需细心，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明宽比长少$(a-b)\mathrm{m}$，因此用长的代数式减去$(a-b)$即可得到宽的表达式，计算时需遵循去括号法则，括号前是减号，去括号后括号内各项要变号。
(2) 观察图形可知靠墙一侧为长方形的长，因此护栏仅需围1条长和2条宽，将已知的长和第(1)问求出的宽代入求和，再合并同类项化简即可得到护栏总长度。
(3) 先将$a=30$、$b=10$代入第(2)问得到的护栏总长度的代数式，计算出总长度，再用总长度乘每米护栏的造价，即可求出总费用。
【解析】
(1) 长方形的长为$(2a+3b)\mathrm{m}$，宽比长少$(a-b)\mathrm{m}$，因此宽为：
$\begin{aligned}&(2a+3b)-(a-b)\\=&2a+3b-a+b\\=&(a+4b)\ \mathrm{m}\end{aligned}$
(2) 靠墙一侧为长方形的长，因此护栏总长度为1条长与2条宽的和：
$\begin{aligned}&(2a+3b)+2(a+4b)\\=&2a+3b+2a+8b\\=&(4a+11b)\ \mathrm{m}\end{aligned}$
(3) 当$a=30$，$b=10$时，护栏总长度为：
$4×30 + 11×10 = 120 + 110 = 230\ \mathrm{m}$
每米护栏造价为80元，因此总费用为：
$230×80 = 18400$元
【答案】
(1) 长方形自行车停车场的宽为$(a+4b)\mathrm{m}$；(2) 护栏的总长度为$(4a+11b)\mathrm{m}$；(3) 建此自行车停车场所需的费用为18400元。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式运算的应用，解题核心是结合图形明确护栏的组成边长，计算时要注意去括号的符号规则，代入数值计算时需细心，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
20. 提升题▶数学王老师为了表扬计算擂台赛满分的同学，决定从某网店给同学们买一些练习本作为奖品。该网店按下表所示的方式销售练习本：
(1)当王老师买多少本时，分两次购买(每次购买数量不超过20本)与一次性购买所花费用相同？
(2)临近节日大促，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照八折出售。当
王老师想买20本练习本时，怎么购买更合算？
(1)当王老师买多少本时，分两次购买(每次购买数量不超过20本)与一次性购买所花费用相同？
(2)临近节日大促，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照八折出售。当
王老师想买20本练习本时，怎么购买更合算？
答案
解：
(1) 设王老师购买x本练习本时，两种购买方式所花费用相同。
由题意可知，分两次购买且每次购买数量不超过20本，因此总数量满足20 ＜ x ≤ 40。
分两次购买的总费用为：
$4x + 5×2 = 4x + 10$
一次性购买的总费用为：
$20×4 + 4×0.8×(x-20) + 14 = 80 + 3.2x - 64 + 14 = 3.2x + 30$
令$4x + 10 = 3.2x + 30$，
解得$x=25$，符合题意。
(2) 分别计算两种方案的花费：
方案1：直接购买20本，总费用为：
$20×4 + 5 = 85$（元）
方案2：一次性购买21本，享受大促优惠，总费用为：
$21×4×0.8 + 14 = 67.2 + 14 = 81.2$（元）
因为$81.2 ＜ 85$，所以一次性购买21本更合算。
答：(1) 当王老师买25本时，分两次购买与一次性购买所花费用相同；(2) 一次性购买21本更合算。
(1) 设王老师购买x本练习本时，两种购买方式所花费用相同。
由题意可知，分两次购买且每次购买数量不超过20本，因此总数量满足20 ＜ x ≤ 40。
分两次购买的总费用为：
$4x + 5×2 = 4x + 10$
一次性购买的总费用为：
$20×4 + 4×0.8×(x-20) + 14 = 80 + 3.2x - 64 + 14 = 3.2x + 30$
令$4x + 10 = 3.2x + 30$，
解得$x=25$，符合题意。
(2) 分别计算两种方案的花费：
方案1：直接购买20本，总费用为：
$20×4 + 5 = 85$（元）
方案2：一次性购买21本，享受大促优惠，总费用为：
$21×4×0.8 + 14 = 67.2 + 14 = 81.2$（元）
因为$81.2 ＜ 85$，所以一次性购买21本更合算。
答：(1) 当王老师买25本时，分两次购买与一次性购买所花费用相同；(2) 一次性购买21本更合算。
解析
【分析】
(1) 要找到两种购买方式费用相同的购买数量，首先确定购买数量范围：分两次购买且每次不超过20本，说明总数量x满足20＜x≤40。接下来分别计算两种购买方式的总费用：分两次购买时每次都按20本及以下的规则计费，总费用为书本费加两次邮费；一次性购买时按20本以上的规则计费，总费用为分段计算的书本费加对应邮费，最后令两个费用相等列方程求解即可。
(2) 要判断购买20本的最优方案，只需分别计算两种购买方式的总费用：一种是直接按20本及以下的规则购买20本，另一种是多买1本凑够21本，享受20本以上的全单八折优惠，对比两个费用的大小，费用更低的方案更合算。
【解析】
(1) 设王老师购买x本练习本时，两种购买方式所花费用相同。
由题意可知x的取值范围为20 ＜ x ≤ 40。
分两次购买的总费用：$4x + 5×2 = 4x + 10$（元）
一次性购买的总费用：
$20×4 + 4×0.8×(x-20) + 14$
$= 80 + 3.2x - 64 + 14$
$= 3.2x + 30$（元）
令两种费用相等：$4x + 10 = 3.2x + 30$
解得$x=25$，符合取值范围。
(2) 分别计算两种方案的花费：
方案1：直接购买20本，总费用为：$20×4 + 5 = 85$（元）
方案2：一次性购买21本，享受全单八折优惠，总费用为：$21×4×0.8 + 14 = 67.2 + 14 = 81.2$（元）
因为$81.2 ＜ 85$，所以选择方案2更合算。
【答案】
(1) 当王老师买25本时，分两次购买与一次性购买所花费用相同；
(2) 一次性购买21本更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分段计费计算
3. 方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景，考查对分段计费规则的理解和应用能力，解题时需先明确不同购买方式对应的计费标准，再通过列方程或计算对比得出结论，能有效提升结合实际场景解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要找到两种购买方式费用相同的购买数量，首先确定购买数量范围：分两次购买且每次不超过20本，说明总数量x满足20＜x≤40。接下来分别计算两种购买方式的总费用：分两次购买时每次都按20本及以下的规则计费，总费用为书本费加两次邮费；一次性购买时按20本以上的规则计费，总费用为分段计算的书本费加对应邮费，最后令两个费用相等列方程求解即可。
(2) 要判断购买20本的最优方案，只需分别计算两种购买方式的总费用：一种是直接按20本及以下的规则购买20本，另一种是多买1本凑够21本，享受20本以上的全单八折优惠，对比两个费用的大小，费用更低的方案更合算。
【解析】
(1) 设王老师购买x本练习本时，两种购买方式所花费用相同。
由题意可知x的取值范围为20 ＜ x ≤ 40。
分两次购买的总费用：$4x + 5×2 = 4x + 10$（元）
一次性购买的总费用：
$20×4 + 4×0.8×(x-20) + 14$
$= 80 + 3.2x - 64 + 14$
$= 3.2x + 30$（元）
令两种费用相等：$4x + 10 = 3.2x + 30$
解得$x=25$，符合取值范围。
(2) 分别计算两种方案的花费：
方案1：直接购买20本，总费用为：$20×4 + 5 = 85$（元）
方案2：一次性购买21本，享受全单八折优惠，总费用为：$21×4×0.8 + 14 = 67.2 + 14 = 81.2$（元）
因为$81.2 ＜ 85$，所以选择方案2更合算。
【答案】
(1) 当王老师买25本时，分两次购买与一次性购买所花费用相同；
(2) 一次性购买21本更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分段计费计算
3. 方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景，考查对分段计费规则的理解和应用能力，解题时需先明确不同购买方式对应的计费标准，再通过列方程或计算对比得出结论，能有效提升结合实际场景解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
