五、解答题
21. 提升题 阅读与理解：
已知 $ ax^2 + bx + c $ 是关于 $ x $ 的多项式，记为 $ P(x) $。我们规定：$ P(x) $ 的导出多项式为 $ 2ax + b $，记为 $ Q(x) $。例如：若 $ P(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，则 $ P(x) $ 的导出多项式 $ Q(x) = 2 × 3x - 2 = 6x - 2 $。
根据以上信息，解答下列问题。
(1) 若 $ P(x) = x^2 - 2x $，则它的导出多项式 $ Q(x) = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 设 $ Q(x) $ 是 $ P(x) $ 的导出多项式。
① 若 $ P(x) = 2x^2 + 4(2x - 1) $，求关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = 0 $ 的解；
② 已知 $ P(x) = x^2 - (7 - a)x + 2 $ 是关于 $ x $ 的二次多项式，且关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = -x $ 的解为正整数，求正整数 $ a $ 的值。

$\boldsymbol{2x-2}$
(2) ① 先化简$P(x)$：
$P(x)=2x^2 + 4(2x-1)=2x^2 + 8x -4$
可得$a=2$，$b=8$，因此导出多项式：
$Q(x)=2×2x + 8=4x+8$
令$Q(x)=0$，即：
$4x+8=0$
解得$x=-2$
② 由题意，$P(x)$的二次项系数为$1$，一次项系数为$-(7-a)$，因此导出多项式：
$Q(x)=2×1· x + [-(7-a)]=2x -7 +a$
将$Q(x)$代入方程$Q(x)=-x$，得：
$2x -7 +a = -x$
移项合并同类项：
$3x=7-a$
解得$x=\dfrac{7-a}{3}$
因为方程的解为正整数，$a$是正整数，所以$7-a$是3的正整数倍：
当$7-a=3$时，$a=4$；
当$7-a=6$时，$a=1$。
均满足$a$为正整数的要求。
综上，正整数$a$的值为$1$或$4$。

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“导出多项式”的定义：若多项式$P(x)=ax^2+bx+c$，则它的导出多项式$Q(x)=2ax+b$。解题思路如下：
(1) 直接对照$P(x)=x^2-2x$的二次项系数、一次项系数，代入导出多项式公式即可求解；
(2) ① 先将给出的$P(x)$化简为$ax^2+bx+c$的标准形式，找到对应$a$、$b$的值，写出$Q(x)$后解一元一次方程$Q(x)=0$即可；
② 先根据$P(x)$的表达式写出对应的$Q(x)$，代入$Q(x)=-x$得到关于$x$的一元一次方程，用含$a$的代数式表示$x$，再结合$x$是正整数、$a$是正整数的限制条件，筛选出符合要求的$a$的值。
【解析】
(1) 已知$P(x)=x^2-2x，对应二次项系数a=1，一次项系数b=-2$，根据导出多项式的定义：
$Q(x)=2×1·x + (-2)=2x-2$
(2) ① 先化简$P(x)$：
$P(x)=2x^2 + 4(2x-1)=2x^2 + 8x -4$
对比标准形式得$a=2，b=8$，因此导出多项式：
$Q(x)=2×2x + 8=4x+8$
令$Q(x)=0$，列方程：
$4x+8=0$
移项得$4x=-8$，解得$x=-2$
② 已知$P(x)=x^2 - (7 - a)x + 2$，对应二次项系数为1，一次项系数为$-(7-a)$，因此导出多项式：
$Q(x)=2×1·x + [-(7-a)]=2x -7 +a$
将$Q(x)$代入方程$Q(x)=-x$，得：
$2x -7 +a = -x$
移项合并同类项：$3x=7-a$，解得$x=\dfrac{7-a}{3}$
∵方程的解为正整数，且$a$是正整数
∴$7-a$是3的正整数倍，且$7-a＞0$
当$7-a=3$时，$a=4$；当$7-a=6$时，$a=1$，均符合要求
综上，正整数$a$的值为1或4
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x-2}$
(2) ① $\boldsymbol{x=-2}$；② $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{4}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法，整数解的应用
【点评】
本题属于新定义类创新题，解题的关键是读懂题意，将新定义的规则转化为已学的整式运算、解方程知识即可求解，求解整数解问题时要注意结合限制条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.7