登录
8.同学们在物理课上做“小孔成像”实验。如图,蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半。当蜡烛火焰的高度AB为1.5 cm时,所成的像$A'B'$的高度为(
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
C
)。A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
8.C
解析
【分析】
解决本题首先要结合小孔成像的特点，判断出蜡烛、像分别与小孔构成的两个三角形相似，再结合已知的物距和像距的关系，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解像的高度。第一步：根据光沿直线传播的原理，可知蜡烛AB与像A'B'平行，可证得两个三角形相似；第二步：明确物距是蜡烛到小孔的距离，像距是小孔到光屏的距离，由题意得物距与像距的比为1:2，即相似比为1:2；第三步：根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知的蜡烛高度计算像的高度。
【解析】
设小孔的位置为点O，蜡烛到小孔的距离为$u$，小孔到光屏的距离为$v$。
由小孔成像原理（光沿直线传播）可得$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，
$\therefore △ ABO ∽ △ A'B'O$。
根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{u}{v}$。
由题意知$u=\frac{1}{2}v$，即$\frac{u}{v}=\frac{1}{2}$，且$AB=1.5\mathrm{cm}$，
代入得$\frac{1.5}{A'B'}=\frac{1}{2}$，
解得$A'B'=1.5×2=3\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的小孔成像现象，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是找到相似三角形，明确相似比与物距、像距的对应关系，再利用相似性质列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合小孔成像的特点，判断出蜡烛、像分别与小孔构成的两个三角形相似，再结合已知的物距和像距的关系，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解像的高度。第一步：根据光沿直线传播的原理，可知蜡烛AB与像A'B'平行，可证得两个三角形相似；第二步：明确物距是蜡烛到小孔的距离，像距是小孔到光屏的距离，由题意得物距与像距的比为1:2，即相似比为1:2；第三步：根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知的蜡烛高度计算像的高度。
【解析】
设小孔的位置为点O，蜡烛到小孔的距离为$u$，小孔到光屏的距离为$v$。
由小孔成像原理（光沿直线传播）可得$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，
$\therefore △ ABO ∽ △ A'B'O$。
根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{u}{v}$。
由题意知$u=\frac{1}{2}v$，即$\frac{u}{v}=\frac{1}{2}$，且$AB=1.5\mathrm{cm}$，
代入得$\frac{1.5}{A'B'}=\frac{1}{2}$，
解得$A'B'=1.5×2=3\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的小孔成像现象，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是找到相似三角形，明确相似比与物距、像距的对应关系，再利用相似性质列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
9.汽车盲区是指司机正常驾驶时,其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域。某型号小汽车的车头盲区(见图①)可以近似看作矩形。如图②,驾驶该型号汽车时司机视线高度$AB=1.5\ \mathrm{m}$,车前盖最高处与地面距离$CD=1\ \mathrm{m}$,驾驶员与车头水平距离$BE=2\ \mathrm{m}$,车前盖最高处与车头水平距离$DE=0.5\ \mathrm{m}$,点$M$在$EF$上,$ME=0.8\ \mathrm{m}$。
(1)求车头盲区$EF$的长度。
(2)在$M$处有一个高度为$0.4\ \mathrm{m}$的物体,驾驶员能观察到该物体吗?请作出判断,并说明理由。
(1)求车头盲区$EF$的长度。
(2)在$M$处有一个高度为$0.4\ \mathrm{m}$的物体,驾驶员能观察到该物体吗?请作出判断,并说明理由。
答案
9.解:(1)根据题意可知,$AB ⊥ BF,CD ⊥ BF,BE=2\ \mathrm{m},DE=0.5\ \mathrm{m}$,
所以$BD=BE-DE=2-0.5=1.5(\mathrm{m}),CD // AB$。
所以$△ FCD ∽ △ FAB$。
所以$\dfrac{FD}{FB}=\dfrac{CD}{AB}$。
又因为$FB=FD+BD=(FD+1.5)\ \mathrm{m}$,
所以$\dfrac{FD}{FD+1.5}=\dfrac{1}{1.5}$。
解得$FD=3$。
检验,当$FD=3$时,$FD+1.5 ≠ 0$,
所以$FD-DE=3-0.5=2.5(\mathrm{m})$。
(2)驾驶员不能观察到该物体。
理由:如图所示,过点$M$作$MN ⊥ FB$交$AF$于点$N$,
所以$FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(\mathrm{m}),MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3(\mathrm{m})$。
因为$△ FMN ∽ △ FDC$。
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{FM}{FD}$。
所以$MN=\dfrac{FM · CD}{FD}=\dfrac{1.7 × 1}{3} \approx 0.57(\mathrm{m})$。
因为$0.57＞0.4$,
所以驾驶员不能观察到该物体。
解析
【分析】
(1) 求EF长度时，先根据AB和CD都垂直于BF，得到CD平行于AB，进而推出△FCD和△FAB相似，借助相似三角形对应边成比例的性质先求出FD的长度，再结合DE的长度即可算出EF。
(2) 判断能否看到M处的物体时，过M作MN垂直FB交AF于点N，证明△FMN和△FDC相似，求出M处刚好不被遮挡的最小高度MN，将MN和物体高度对比：若MN大于物体高度，说明物体在视线盲区，无法观察到，反之则可以观察到。
【解析】
(1) 根据题意可知，$AB ⊥ BF,CD ⊥ BF,BE=2\ \mathrm{m},DE=0.5\ \mathrm{m}$，
所以$BD=BE-DE=2-0.5=1.5(\mathrm{m}),CD // AB$。
所以$△ FCD ∽ △ FAB$。
所以$\dfrac{FD}{FB}=\dfrac{CD}{AB}$。
又因为$FB=FD+BD=(FD+1.5)\ \mathrm{m}$，
所以$\dfrac{FD}{FD+1.5}=\dfrac{1}{1.5}$。
解得$FD=3$。
检验，当$FD=3$时，$FD+1.5 ≠ 0$，
所以$EF=FD-DE=3-0.5=2.5(\mathrm{m})$。
(2) 驾驶员不能观察到该物体。
理由: 过点$M$作$MN ⊥ FB$交$AF$于点$N$，
所以$FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(\mathrm{m})$。
因为$MN⊥FB$，$CD⊥FB$，所以$MN// CD$，可得$△ FMN ∽ △ FDC$。
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{FM}{FD}$。
所以$MN=\dfrac{FM · CD}{FD}=\dfrac{1.7 × 1}{3} \approx 0.57(\mathrm{m})$。
因为$0.57＞0.4$，说明物体高度低于视线不被遮挡的最低高度，物体处于盲区中，
所以驾驶员不能观察到该物体。
【答案】
(1) 车头盲区$EF$的长度为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 驾驶员不能观察到该物体。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合汽车盲区的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用对应边成比例计算相关量，能够锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求EF长度时，先根据AB和CD都垂直于BF，得到CD平行于AB，进而推出△FCD和△FAB相似，借助相似三角形对应边成比例的性质先求出FD的长度，再结合DE的长度即可算出EF。
(2) 判断能否看到M处的物体时，过M作MN垂直FB交AF于点N，证明△FMN和△FDC相似，求出M处刚好不被遮挡的最小高度MN，将MN和物体高度对比：若MN大于物体高度，说明物体在视线盲区，无法观察到，反之则可以观察到。
【解析】
(1) 根据题意可知，$AB ⊥ BF,CD ⊥ BF,BE=2\ \mathrm{m},DE=0.5\ \mathrm{m}$，
所以$BD=BE-DE=2-0.5=1.5(\mathrm{m}),CD // AB$。
所以$△ FCD ∽ △ FAB$。
所以$\dfrac{FD}{FB}=\dfrac{CD}{AB}$。
又因为$FB=FD+BD=(FD+1.5)\ \mathrm{m}$，
所以$\dfrac{FD}{FD+1.5}=\dfrac{1}{1.5}$。
解得$FD=3$。
检验，当$FD=3$时，$FD+1.5 ≠ 0$，
所以$EF=FD-DE=3-0.5=2.5(\mathrm{m})$。
(2) 驾驶员不能观察到该物体。
理由: 过点$M$作$MN ⊥ FB$交$AF$于点$N$，
所以$FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(\mathrm{m})$。
因为$MN⊥FB$，$CD⊥FB$，所以$MN// CD$，可得$△ FMN ∽ △ FDC$。
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{FM}{FD}$。
所以$MN=\dfrac{FM · CD}{FD}=\dfrac{1.7 × 1}{3} \approx 0.57(\mathrm{m})$。
因为$0.57＞0.4$，说明物体高度低于视线不被遮挡的最低高度，物体处于盲区中，
所以驾驶员不能观察到该物体。
【答案】
(1) 车头盲区$EF$的长度为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 驾驶员不能观察到该物体。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合汽车盲区的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用对应边成比例计算相关量，能够锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.综合实践:照明节能改造方案调研与设计
一、项目背景
为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议,数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研。目前,校园内部分路灯因设计年代较早,存在光照不均匀、能耗较高等问题,小组成员需要先测量现有路灯的各项参数,再结合相似三角形、比例关系等数学知识进行测算。
二、实践任务
任务一:基础测量——两种方法测灯高
情境:校园主干道上的路灯由主杆AB和悬臂AC构成,悬臂与地面平行。为了获取准确数据,小组分别设计了两种测量方案。
方案1(影子比例法)
如图①,在路灯CD旁竖直立一根长为2 m的标杆MN,测得标杆影长NP=3 m,标杆底部到路灯底部的水平距离DN=4.5 m。
问题1:请计算路灯CD的高度。
方案2(共线投影法)
如图②,将一根长为2 m的标杆MN竖直立于地面,调整位置使得:主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线;路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线.已知EP=1 m,路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离BD=1.5 m,且B,D,N,E,P在同一水平线上。
问题2:求主杆AB的高度。
任务二:节能分析——改造前后对比
原路灯使用0.25千瓦高压钠灯,改造后拟使用0.16千瓦的LED灯,LED灯的照明效率更高。
问题3:若校园内共有此类路灯20盏,每晚点亮3小时,电费0.6元/千瓦时,估算改造后每学期(按100天计算)节约的电费。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
一、项目背景
为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议,数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研。目前,校园内部分路灯因设计年代较早,存在光照不均匀、能耗较高等问题,小组成员需要先测量现有路灯的各项参数,再结合相似三角形、比例关系等数学知识进行测算。
二、实践任务
任务一:基础测量——两种方法测灯高
情境:校园主干道上的路灯由主杆AB和悬臂AC构成,悬臂与地面平行。为了获取准确数据,小组分别设计了两种测量方案。
方案1(影子比例法)
如图①,在路灯CD旁竖直立一根长为2 m的标杆MN,测得标杆影长NP=3 m,标杆底部到路灯底部的水平距离DN=4.5 m。
问题1:请计算路灯CD的高度。
方案2(共线投影法)
如图②,将一根长为2 m的标杆MN竖直立于地面,调整位置使得:主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线;路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线.已知EP=1 m,路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离BD=1.5 m,且B,D,N,E,P在同一水平线上。
问题2:求主杆AB的高度。
任务二:节能分析——改造前后对比
原路灯使用0.25千瓦高压钠灯,改造后拟使用0.16千瓦的LED灯,LED灯的照明效率更高。
问题3:若校园内共有此类路灯20盏,每晚点亮3小时,电费0.6元/千瓦时,估算改造后每学期(按100天计算)节约的电费。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:问题1:由题意知$MN // CD$,
所以$△ PMN ∽ △ PCD$。
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{PN}{PD}$。
又因为$DN=4.5\ \mathrm{m},MN=2\ \mathrm{m},NP=3\ \mathrm{m}$,
所以$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{3}{3+4.5}$。
所以$CD=5\ \mathrm{m}$。
问题2:由题意知$AC // EP,MN // CD,AC=BD=1.5\ \mathrm{m}$,
所以$△ EMN ∽ △ ECD,△ MAC ∽ △ MPE$。
因为$△ MAC ∽ △ MPE$,
所以$\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{AC}{EP}=\dfrac{1.5}{1}=\dfrac{3}{2}$。
因为$△ EMN ∽ △ ECD$,
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{2}{5}$。
又因为$MN=2\ \mathrm{m}$,
所以$CD=5\ \mathrm{m}$,即$AB=5\ \mathrm{m}$。
问题3:$(0.25-0.16) × 0.6 × 3 × 20 × 100=324(\mathrm{元})$。
所以改造后,每学期可节约324元的电费。
所以$△ PMN ∽ △ PCD$。
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{PN}{PD}$。
又因为$DN=4.5\ \mathrm{m},MN=2\ \mathrm{m},NP=3\ \mathrm{m}$,
所以$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{3}{3+4.5}$。
所以$CD=5\ \mathrm{m}$。
问题2:由题意知$AC // EP,MN // CD,AC=BD=1.5\ \mathrm{m}$,
所以$△ EMN ∽ △ ECD,△ MAC ∽ △ MPE$。
因为$△ MAC ∽ △ MPE$,
所以$\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{AC}{EP}=\dfrac{1.5}{1}=\dfrac{3}{2}$。
因为$△ EMN ∽ △ ECD$,
所以$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{2}{5}$。
又因为$MN=2\ \mathrm{m}$,
所以$CD=5\ \mathrm{m}$,即$AB=5\ \mathrm{m}$。
问题3:$(0.25-0.16) × 0.6 × 3 × 20 × 100=324(\mathrm{元})$。
所以改造后,每学期可节约324元的电费。
解析
【分析】
问题1：首先由MN和CD均垂直于地面可得MN//CD，可证得△PMN∽△PCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算出PD的长度为DN与NP之和，再代入已知数值即可求出CD的高度。
问题2：由AC平行于地面EP、MN平行于CD，可得到两组相似三角形：△MAC∽△MPE、△EMN∽△ECD。先通过△MAC∽△MPE求出CM与ME的比值，进而得到EM与EC的比值，再代入△EMN∽△ECD的比例式求出CD的长度；结合AB、CD均垂直于地面，AC平行于地面，可知四边形ABDC为矩形，故AB=CD，即可求出主杆高度。
问题3：先计算单盏路灯每小时节约的电量，再依次乘每晚点亮时长、路灯总数、每学期天数、电费单价，即可求出每学期总共节约的电费。
【解析】
问题1
由题意得$MN⊥ BP$，$CD⊥ BP$，故$MN// CD$，
$\therefore △ PMN ∽ △ PCD$，可得$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{PN}{PD}$。
已知$DN=4.5\ \mathrm{m}$，$MN=2\ \mathrm{m}$，$NP=3\ \mathrm{m}$，则$PD=PN+DN=3+4.5=7.5\ \mathrm{m}$，
代入比例式得$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{3}{7.5}$，解得$CD=5\ \mathrm{m}$。
问题2
由题意得$AC// BP$，$MN// CD$，$AC=BD=1.5\ \mathrm{m}$，
$\because AC// EP$，$\therefore ∠ MAC=∠ MPE$，$∠ MCA=∠ MEP$，
$\therefore △ MAC ∽ △ MPE$，可得$\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{AC}{EP}=\dfrac{1.5}{1}=\dfrac{3}{2}$，则$\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{EM}{EM+CM}=\dfrac{2}{5}$。
$\because MN// CD$，$\therefore ∠ EMN=∠ ECD$，$∠ ENM=∠ EDC$，
$\therefore △ EMN ∽ △ ECD$，可得$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{2}{5}$，
又$MN=2\ \mathrm{m}$，代入得$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{2}{5}$，解得$CD=5\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BP$，$CD⊥ BP$，$AC// BD$，$\therefore$四边形$ABDC$是矩形，
$\therefore AB=CD=5\ \mathrm{m}$。
问题3
单盏路灯每小时节约电量：$0.25-0.16=0.09$（千瓦）
每学期总节约电费：$0.09× 0.6× 3× 20× 100=324$（元）
【答案】
问题1：路灯CD的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
问题2：主杆AB的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
问题3：改造后每学期可节约电费$\boldsymbol{324}$元。
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，有理数运算的实际应用
【点评】
本题结合校园照明改造的真实场景，将几何知识与生活运算问题结合，既考查了相似三角形判定、性质的运用能力，也考查了基础运算能力，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
问题1：首先由MN和CD均垂直于地面可得MN//CD，可证得△PMN∽△PCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算出PD的长度为DN与NP之和，再代入已知数值即可求出CD的高度。
问题2：由AC平行于地面EP、MN平行于CD，可得到两组相似三角形：△MAC∽△MPE、△EMN∽△ECD。先通过△MAC∽△MPE求出CM与ME的比值，进而得到EM与EC的比值，再代入△EMN∽△ECD的比例式求出CD的长度；结合AB、CD均垂直于地面，AC平行于地面，可知四边形ABDC为矩形，故AB=CD，即可求出主杆高度。
问题3：先计算单盏路灯每小时节约的电量，再依次乘每晚点亮时长、路灯总数、每学期天数、电费单价，即可求出每学期总共节约的电费。
【解析】
问题1
由题意得$MN⊥ BP$，$CD⊥ BP$，故$MN// CD$，
$\therefore △ PMN ∽ △ PCD$，可得$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{PN}{PD}$。
已知$DN=4.5\ \mathrm{m}$，$MN=2\ \mathrm{m}$，$NP=3\ \mathrm{m}$，则$PD=PN+DN=3+4.5=7.5\ \mathrm{m}$，
代入比例式得$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{3}{7.5}$，解得$CD=5\ \mathrm{m}$。
问题2
由题意得$AC// BP$，$MN// CD$，$AC=BD=1.5\ \mathrm{m}$，
$\because AC// EP$，$\therefore ∠ MAC=∠ MPE$，$∠ MCA=∠ MEP$，
$\therefore △ MAC ∽ △ MPE$，可得$\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{AC}{EP}=\dfrac{1.5}{1}=\dfrac{3}{2}$，则$\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{EM}{EM+CM}=\dfrac{2}{5}$。
$\because MN// CD$，$\therefore ∠ EMN=∠ ECD$，$∠ ENM=∠ EDC$，
$\therefore △ EMN ∽ △ ECD$，可得$\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{2}{5}$，
又$MN=2\ \mathrm{m}$，代入得$\dfrac{2}{CD}=\dfrac{2}{5}$，解得$CD=5\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BP$，$CD⊥ BP$，$AC// BD$，$\therefore$四边形$ABDC$是矩形，
$\therefore AB=CD=5\ \mathrm{m}$。
问题3
单盏路灯每小时节约电量：$0.25-0.16=0.09$（千瓦）
每学期总节约电费：$0.09× 0.6× 3× 20× 100=324$（元）
【答案】
问题1：路灯CD的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
问题2：主杆AB的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
问题3：改造后每学期可节约电费$\boldsymbol{324}$元。
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，有理数运算的实际应用
【点评】
本题结合校园照明改造的真实场景，将几何知识与生活运算问题结合，既考查了相似三角形判定、性质的运用能力，也考查了基础运算能力，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
