3.一个三角形框架模型的三边长分别为20 cm,30 cm,40 cm,木工要以一根长为60 cm的木条为一边,做一个与模型三角形相似的三角形,那么另两条边的木条长度不符合条件的是()。

A.30 cm,45 cm
B.40 cm,80 cm
C.80 cm,120 cm
D.90 cm,120 cm

3.C

【分析】
本题考查相似三角形性质的实际应用，解题时需明确：相似三角形的对应边成比例。由于题目未说明长为60cm的木条对应原三角形模型的哪一条边，因此需要分三种情况讨论，分别计算不同对应关系下另外两条边的长度，再对照选项判断即可。
【解析】
原三角形框架的三边长为20cm、30cm、40cm，设新的相似三角形另外两条边长分别为x cm、y cm，分三种情况讨论：
1. 当60cm的木条对应原三角形20cm的边时，相似比为$\frac{60}{20}=3$，因此另外两边长为：
$30×3=90\mathrm{cm}$，$40×3=120\mathrm{cm}$，对应选项D，符合条件；
2. 当60cm的木条对应原三角形30cm的边时，相似比为$\frac{60}{30}=2$，因此另外两边长为：
$20×2=40\mathrm{cm}$，$40×2=80\mathrm{cm}$，对应选项B，符合条件；
3. 当60cm的木条对应原三角形40cm的边时，相似比为$\frac{60}{40}=1.5$，因此另外两边长为：
$20×1.5=30\mathrm{cm}$，$30×1.5=45\mathrm{cm}$，对应选项A，符合条件。
综上，只有选项C的长度不符合条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
3. 相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，易错点在于容易忽略60cm木条对应原三角形三边的多种情况，只计算一种对应关系导致错选。解题时注意结合分类讨论思想，全面考虑所有可能的对应关系即可正确求解。
【难度系数】
0.6

4.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1 m，AC＝1.6 m，AE＝0.4 m，则水面以上深度CD为。

4.3 m

【分析】
要解决这道实际测量问题，首先观察图形特征：木杆AB和井深CD都垂直于井口的直径AC，因此AB与CD平行，可得到一对相似三角形。接下来先计算CE的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，CD⊥AC
∴∠A=∠C=90°，AB//CD
∴∠B=∠D
又
∵∠AEB=∠CED（对顶角相等）
∴△ABE∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$
由题意得，$CE=AC-AE=1.6\mathrm{m}-0.4\mathrm{m}=1.2\mathrm{m}$，$AB=1\mathrm{m}$，$AE=0.4\mathrm{m}$
代入得：$\frac{1}{CD}=\frac{0.4}{1.2}$
解得：$CD=\frac{1×1.2}{0.4}=3$（m）
【答案】
3 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是通过垂直关系找到平行条件，进而判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例建立等式求解，解题过程逻辑清晰，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7

5.一个油桶高0.8 m，桶内有油，一根长1 m的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8 m，则油桶内的油的高度是。

5.0.64 m

【分析】
解题时首先将实际场景抽象为几何模型：油桶为直立圆柱，木棒斜插桶内时，木棒、油桶总高、桶口到桶底对应点的水平距离构成一个大直角三角形；木棒浸油部分、油的高度、对应水平距离构成一个小直角三角形。由于油面水平、桶壁竖直，两个直角三角形对应角相等，属于相似三角形。接下来根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出油的高度。
【解析】
设油桶内油的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
由题意得：浸油部分构成的小直角三角形与木棒、桶高构成的大直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{\mathrm{油桶总高}} = \frac{\mathrm{浸油部分长度}}{\mathrm{木棒总长度}}$
将油桶总高$ 0.8\,\mathrm{m} $、木棒总长$ 1\,\mathrm{m} $、浸油部分长$ 0.8\,\mathrm{m} $代入上式：
$\frac{h}{0.8} = \frac{0.8}{1}$
解得：$ h = 0.8 × 0.8 = 0.64\,\mathrm{m} $。
【答案】
0.64 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际问题的基础题型，解题核心是从实际场景中抽象出相似三角形的几何模型，再利用相似的性质列比例式计算，侧重考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

6.延时课上，老师布置实践任务如下：让小亮站在B点处去观测8 m外的位于D点处的一棵大树(CD)，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具(B，P，D在一条直线上)。已知小亮目高(AB)
1.6 m，大树高4.8 m，将平面镜P放置在离B多远处才能观测到大树的顶端？

6.将平面镜P放置在离B2 m处才能观测到大树的顶端。

【分析】
首先根据平面镜反射原理，入射角等于反射角，可得∠APB=∠CPD；再结合AB、CD均垂直于地面，可得∠ABP=∠CDP=90°，据此可判定△ABP与△CDP相似。接着设BP的长度为未知数，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解即可得到平面镜P到B点的距离。
【解析】
解：设平面镜P距离B点的距离为$ x $ m，由题意知$ BD=8\ \mathrm{m} $，因此$ PD=(8-x)\ \mathrm{m} $。
根据平面镜反射规律，得$ ∠ APB=∠ CPD $。
$ \because AB⊥ BD $，$ CD⊥ BD $，$ \therefore ∠ ABP=∠ CDP=90° $。
$ \therefore △ ABP ∽ △ CDP $（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD} $
将$ AB=1.6\ \mathrm{m} $，$ CD=4.8\ \mathrm{m} $代入，得：
$ \frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{8-x} $
化简得$ \frac{1}{3}=\frac{x}{8-x} $，交叉相乘得$ 3x=8-x $，
解得$ x=2 $。
【答案】
将平面镜P放置在离B2 m处才能观测到大树的顶端。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合平面镜反射场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是从实际问题中抽象出相似三角形模型，再利用相似的性质列方程求解，能锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

7.如图,马路两侧有高度相同的灯杆AB、CD,当小亮站在两灯杆之间的点N处时,在灯C的照射下小亮的影长为NF,在灯A的照射下小亮的影长为NE。测得两路灯间距离$BD=21\ \mathrm{m}$,小亮身高$MN=1.6\ \mathrm{m}$,$NF=4\ \mathrm{m}$,$NE=3\ \mathrm{m}$,求灯杆的高度。

7.灯杆高度为6.4米。

【分析】
这是相似三角形在中心投影实际问题中的应用，解题思路如下：首先灯杆和小亮身高均垂直于地面，因此互相平行，可得到两组相似三角形：左边灯A照射小亮形成影子NE，对应光线共线可得△EMN∽△EAB；右边灯C照射小亮形成影子NF，对应光线共线可得△FMN∽△FCD。设灯杆高度为h、BN长为x，根据相似三角形对应边成比例列出两个比例式，联立即可求出灯杆高度。
【解析】
解：设灯杆高度$AB=CD=h\ \mathrm{m}$，$BN=x\ \mathrm{m}$，则$ND=BD-BN=(21-x)\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BD$，$MN⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore AB// MN// CD$。
1. 灯A照射形成影子$NE$，光线$A、M、E$共线：
$∠ E$为公共角，$∠ ENM=∠ EBA=90°$，
$\therefore△ EMN∽△ EAB$，
$\therefore\frac{MN}{AB}=\frac{EN}{EB}$，其中$EN=3\ \mathrm{m}$，$EB=BN+NE=(x+3)\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.6}{h}=\frac{3}{x+3}$①
2. 灯C照射形成影子$NF$，光线$C、M、F$共线：
$∠ F$为公共角，$∠ FNM=∠ FDC=90°$，
$\therefore△ FMN∽△ FCD$，
$\therefore\frac{MN}{CD}=\frac{FN}{FD}$，其中$FN=4\ \mathrm{m}$，$FD=FN+ND=(25-x)\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.6}{h}=\frac{4}{25-x}$②
联立①②得$\frac{3}{x+3}=\frac{4}{25-x}$，
交叉相乘得：$3(25-x)=4(x+3)$，
解得$x=9$。
将$x=9$代入①式：$\frac{1.6}{h}=\frac{3}{9+3}=\frac{1}{4}$，
解得$h=6.4$。
【答案】
灯杆的高度为6.4米。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题属于相似三角形的实际应用类问题，解题核心是准确找到中心投影对应的相似三角形，厘清各线段的对应关系，结合方程思想求解即可，需要注意不要混淆相似三角形的对应边比例。
【难度系数】
0.6