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1. 小明从上高一就开始骑自行车去上学(小明当时已满 16 岁),他家离学校 4 km,他以10 km/h 的速度骑车上学,出发 9 min 后小明爸爸发现小明的语文教科书忘记带上,立即以20 km/h 的速度沿小明上学的方向骑车去追小明;求:
(1)小明爸爸经多少分钟能追上小明?
(2)如果小明爸爸发现小明忘记带教科书的同时,小明也发现自己的教科书忘记带上并立即掉头返回,速度不变,问小明与爸爸在途中相遇时离学校多少千米?
(1)小明爸爸经多少分钟能追上小明?
(2)如果小明爸爸发现小明忘记带教科书的同时,小明也发现自己的教科书忘记带上并立即掉头返回,速度不变,问小明与爸爸在途中相遇时离学校多少千米?
答案
(1)9 min (2)3 km
【解析】(1)若经过时间t爸爸能追上小明,则此过程小明通过的路程s₁=v₁(t₀+t),小明爸爸通过的路程与小明的相等,即s₂=v₂t = s₁,则v₁(t₀ + t) = v₂t,即 10 km/h×(9×1/60 h + t )=20 km/h×t,解得t=0.15 h=9 min。
(2)出发9 min,小明通过的路程s = v₁t₀ = 10 km/h×9×1/60 h = 1.5 km,小明与爸爸相向而行的相对速度v = v₁ + v₂ = 10 km/h+20 km/h = 30 km/h,则他们相遇的时间t' = s/v = 1.5 km / 30 km/h = 1/20 h,因此小明爸爸通过的路程为s'₂ = v₂t' = 20 km/h×1/20 h = 1 km,则他们相遇时,与学校的距离s'' = s总 - s'₂ = 4 km - 1 km = 3 km。
【解析】(1)若经过时间t爸爸能追上小明,则此过程小明通过的路程s₁=v₁(t₀+t),小明爸爸通过的路程与小明的相等,即s₂=v₂t = s₁,则v₁(t₀ + t) = v₂t,即 10 km/h×(9×1/60 h + t )=20 km/h×t,解得t=0.15 h=9 min。
(2)出发9 min,小明通过的路程s = v₁t₀ = 10 km/h×9×1/60 h = 1.5 km,小明与爸爸相向而行的相对速度v = v₁ + v₂ = 10 km/h+20 km/h = 30 km/h,则他们相遇的时间t' = s/v = 1.5 km / 30 km/h = 1/20 h,因此小明爸爸通过的路程为s'₂ = v₂t' = 20 km/h×1/20 h = 1 km,则他们相遇时,与学校的距离s'' = s总 - s'₂ = 4 km - 1 km = 3 km。
解析
【分析】
本题分为追及和相遇两类运动学问题：
(1) 追及问题中，爸爸追上小明时两人运动路程相等。小明先出发9分钟，总运动时间为（9分钟+爸爸运动时间t），爸爸运动时间为t，根据路程=速度×时间列等式，求解后将时间单位转换为分钟即可。
(2) 相遇问题中，小明发现书后掉头返回，两人相向而行，相对速度为两者速度之和。先算出出发9分钟小明已走的路程，再用该路程除以相对速度得到相遇时间，进而算出爸爸运动的路程，用家到学校的总距离减去爸爸走的路程，就是相遇时离学校的距离。
【解析】
(1) 设爸爸追上小明的时间为$ t $（单位：h），9分钟=$\frac{9}{60}$h=0.15h。
爸爸追上小明时，两人路程相等：
小明的路程：$ s_1 = v_1(t_0 + t) = 10\ \mathrm{km/h} × (0.15\ \mathrm{h} + t) $
爸爸的路程：$ s_2 = v_2t = 20\ \mathrm{km/h} × t $
由$ s_1 = s_2 $得：$ 10 × (0.15 + t) = 20t $
解得：$ t = 0.15\ \mathrm{h} = 0.15 × 60\ \mathrm{min} = 9\ \mathrm{min} $。
(2) 先计算出发9分钟小明走的路程：
$ s = v_1t_0 = 10\ \mathrm{km/h} × 0.15\ \mathrm{h} = 1.5\ \mathrm{km} $
小明掉头后，两人相向而行，相对速度：$ v = v_1 + v_2 = 10\ \mathrm{km/h} + 20\ \mathrm{km/h} = 30\ \mathrm{km/h} $
相遇时间：$ t' = \frac{s}{v} = \frac{1.5\ \mathrm{km}}{30\ \mathrm{km/h}} = 0.05\ \mathrm{h} $
相遇时爸爸走的路程：$ s'_2 = v_2t' = 20\ \mathrm{km/h} × 0.05\ \mathrm{h} = 1\ \mathrm{km} $
相遇时离学校的距离：$ s'' = 4\ \mathrm{km} - s'_2 = 4\ \mathrm{km} - 1\ \mathrm{km} = 3\ \mathrm{km} $。
【答案】
(1)9 min (2)3 km
【知识点】
速度公式应用、追及与相遇问题
【点评】
本题是运动学基础应用题，分别考查追及、相遇两种典型运动场景，解题核心是理清两者的路程关系，注意单位统一，难度适中，适合巩固运动学公式的应用。
【难度系数】
0.7
本题分为追及和相遇两类运动学问题：
(1) 追及问题中，爸爸追上小明时两人运动路程相等。小明先出发9分钟，总运动时间为（9分钟+爸爸运动时间t），爸爸运动时间为t，根据路程=速度×时间列等式，求解后将时间单位转换为分钟即可。
(2) 相遇问题中，小明发现书后掉头返回，两人相向而行，相对速度为两者速度之和。先算出出发9分钟小明已走的路程，再用该路程除以相对速度得到相遇时间，进而算出爸爸运动的路程，用家到学校的总距离减去爸爸走的路程，就是相遇时离学校的距离。
【解析】
(1) 设爸爸追上小明的时间为$ t $（单位：h），9分钟=$\frac{9}{60}$h=0.15h。
爸爸追上小明时，两人路程相等：
小明的路程：$ s_1 = v_1(t_0 + t) = 10\ \mathrm{km/h} × (0.15\ \mathrm{h} + t) $
爸爸的路程：$ s_2 = v_2t = 20\ \mathrm{km/h} × t $
由$ s_1 = s_2 $得：$ 10 × (0.15 + t) = 20t $
解得：$ t = 0.15\ \mathrm{h} = 0.15 × 60\ \mathrm{min} = 9\ \mathrm{min} $。
(2) 先计算出发9分钟小明走的路程：
$ s = v_1t_0 = 10\ \mathrm{km/h} × 0.15\ \mathrm{h} = 1.5\ \mathrm{km} $
小明掉头后，两人相向而行，相对速度：$ v = v_1 + v_2 = 10\ \mathrm{km/h} + 20\ \mathrm{km/h} = 30\ \mathrm{km/h} $
相遇时间：$ t' = \frac{s}{v} = \frac{1.5\ \mathrm{km}}{30\ \mathrm{km/h}} = 0.05\ \mathrm{h} $
相遇时爸爸走的路程：$ s'_2 = v_2t' = 20\ \mathrm{km/h} × 0.05\ \mathrm{h} = 1\ \mathrm{km} $
相遇时离学校的距离：$ s'' = 4\ \mathrm{km} - s'_2 = 4\ \mathrm{km} - 1\ \mathrm{km} = 3\ \mathrm{km} $。
【答案】
(1)9 min (2)3 km
【知识点】
速度公式应用、追及与相遇问题
【点评】
本题是运动学基础应用题，分别考查追及、相遇两种典型运动场景，解题核心是理清两者的路程关系，注意单位统一，难度适中，适合巩固运动学公式的应用。
【难度系数】
0.7
2. |新模型 如图是反映新龟兔百米赛跑的$s-t$图像，请根据图像判断，下列说法中正确的是 (
A.比赛结果是乌龟获胜
B.比赛开始时，兔子先出发
C.比赛途中，兔子和乌龟共计相遇三次
D.$t_2 ∼ t_3$时间段，以乌龟为参照物，兔子是向前运动的
C
)A.比赛结果是乌龟获胜
B.比赛开始时，兔子先出发
C.比赛途中，兔子和乌龟共计相遇三次
D.$t_2 ∼ t_3$时间段，以乌龟为参照物，兔子是向前运动的
答案
C
【解析】A.由图可知,兔子运动100 m所用的时间较少,所以兔子获胜,故A错误;B.由图可知,比赛开始时,乌龟先出发,兔子在t₁时刻才出发,故B错误;C.由图可知,比赛途中,乌龟和兔子的s-t图线有三处交点,说明兔子和乌龟共计相遇三次,故C正确;D.t₂时刻,兔子已经到达终点,乌龟仍在继续朝终点运动,所以t₂~t₃时间段,以乌龟为参照物,兔子是向后运动的,故D错误。故选C。
【解析】A.由图可知,兔子运动100 m所用的时间较少,所以兔子获胜,故A错误;B.由图可知,比赛开始时,乌龟先出发,兔子在t₁时刻才出发,故B错误;C.由图可知,比赛途中,乌龟和兔子的s-t图线有三处交点,说明兔子和乌龟共计相遇三次,故C正确;D.t₂时刻,兔子已经到达终点,乌龟仍在继续朝终点运动,所以t₂~t₃时间段,以乌龟为参照物,兔子是向后运动的,故D错误。故选C。
解析
【分析】本题是结合龟兔赛跑的s-t图像分析运动情况的题目，需明确s-t图像的物理意义：横坐标表示运动时间，纵坐标表示运动路程；图像的交点代表两者路程相同，即相遇；图像的斜率表示速度，斜率越大速度越快；路程达到100m时对应的时间越早，说明先到达终点。接下来逐一分析各选项：
1. 选项A：判断谁获胜，看两者到达100m路程的时间，兔子到达100m的时间是t₂，乌龟是t₃，t₂＜t₃，所以兔子获胜，A错误；
2. 选项B：判断出发时间，乌龟从t=0时刻开始运动，兔子在t=t₁时刻才开始运动，所以乌龟先出发，B错误；
3. 选项C：相遇即两者路程相同，对应s-t图像的交点，观察图像可知，途中共有3个交点，说明相遇三次，C正确；
4. 选项D：t₂~t₃时间段，兔子的路程保持100m不变（已到达终点），乌龟的路程在增加（向终点运动），以乌龟为参照物，兔子的位置相对于乌龟向后变化，所以兔子是向后运动的，D错误。
【解析】A. 由s-t图像可知，兔子到达100m路程所用时间为t₂，乌龟到达100m路程所用时间为t₃，t₂＜t₃，因此兔子获胜，故A错误；
B. 比赛开始时，乌龟在t=0时刻出发，兔子在t=t₁时刻才出发，所以乌龟先出发，故B错误；
C. s-t图像中，两图线的交点表示两者路程相同，即相遇，观察图像可知，比赛途中两图线共有3个交点，说明兔子和乌龟共计相遇三次，故C正确；
D. t₂~t₃时间段，兔子的路程不再变化（已到达终点），乌龟的路程持续增加，以乌龟为参照物，兔子的位置相对于乌龟向后运动，故D错误。综上，选C。
【答案】C
【知识点】s-t图像、运动的相对性、速度
【点评】本题以经典的龟兔赛跑为背景，考查s-t图像的理解与应用，需要掌握图像中交点、斜率的物理意义，以及参照物的判断方法，是运动学的基础题型，能很好地考查学生对图像的分析能力。
【难度系数】0.6
1. 选项A：判断谁获胜，看两者到达100m路程的时间，兔子到达100m的时间是t₂，乌龟是t₃，t₂＜t₃，所以兔子获胜，A错误；
2. 选项B：判断出发时间，乌龟从t=0时刻开始运动，兔子在t=t₁时刻才开始运动，所以乌龟先出发，B错误；
3. 选项C：相遇即两者路程相同，对应s-t图像的交点，观察图像可知，途中共有3个交点，说明相遇三次，C正确；
4. 选项D：t₂~t₃时间段，兔子的路程保持100m不变（已到达终点），乌龟的路程在增加（向终点运动），以乌龟为参照物，兔子的位置相对于乌龟向后变化，所以兔子是向后运动的，D错误。
【解析】A. 由s-t图像可知，兔子到达100m路程所用时间为t₂，乌龟到达100m路程所用时间为t₃，t₂＜t₃，因此兔子获胜，故A错误；
B. 比赛开始时，乌龟在t=0时刻出发，兔子在t=t₁时刻才出发，所以乌龟先出发，故B错误；
C. s-t图像中，两图线的交点表示两者路程相同，即相遇，观察图像可知，比赛途中两图线共有3个交点，说明兔子和乌龟共计相遇三次，故C正确；
D. t₂~t₃时间段，兔子的路程不再变化（已到达终点），乌龟的路程持续增加，以乌龟为参照物，兔子的位置相对于乌龟向后运动，故D错误。综上，选C。
【答案】C
【知识点】s-t图像、运动的相对性、速度
【点评】本题以经典的龟兔赛跑为背景，考查s-t图像的理解与应用，需要掌握图像中交点、斜率的物理意义，以及参照物的判断方法，是运动学的基础题型，能很好地考查学生对图像的分析能力。
【难度系数】0.6
