1. 函数$y=x^2$具有的性质是()

A.无论$x$取何值，$y$总是正的
B.图象的对称轴是直线$x=0$
C.当$x$的值增加时，$y$的值也增加
D.图象在第一、三象限

1.B

【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题时需先回忆$y=x^2$的图象特征与各项性质，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当$x=0$时，代入函数得$y=0^2=0$，0不是正数，因此A错误；
B选项：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，即直线$x=0$，因此$y=x^2$的对称轴是直线$x=0$，B正确；
C选项：二次函数的增减性需以对称轴为分界：当$x＜0$时，$x$增大$y$的值减小；当$x＞0$时，$x$增大$y$的值增大，未说明取值范围的情况下描述不成立，因此C错误；
D选项：$y=x^2$的函数值$y≥0$，图象位于第一、二象限及原点，不存在第三象限的部分，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=x^2$基本性质的掌握，熟练记忆其图象特征、对称轴、增减性、取值范围等核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 下列函数的图象中，有最高点的函数是()

A.$y=2x+7$
B.$y=-3x+2$
C.$y=-\dfrac{1}{3}x^2$
D.$y=6x^2$

2.C 点拨:一次函数的图象为一条直线，没有最高点，所以A、B项可排除. 函数$y=ax^2(a≠0)$的图象为抛物线，当$a＞0$时，开口向上，有最低点；当$a＜0$时，开口向下，有最高点. 故正确答案应为C.

【分析】
解题时先对各选项的函数类型进行分类，首先明确一次函数和二次函数的图象特征：第一步先判断一次函数，一次函数图象是无限延伸的直线，不存在最高点，可直接排除A、B选项；第二步分析剩余的二次函数$y=ax^2$，其图象抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上有最低点，$a＜0$时开口向下有最高点，据此判断C、D即可得出答案。
【解析】
1. 分析A、B选项：$y=2x+7$和$y=-3x+2$均为一次函数，一次函数的图象是向两端无限延伸的直线，不存在最高点，因此排除A、B；
2. 分析C、D选项：两个函数均为$y=ax^2(a≠0)$型的二次函数，图象为抛物线：
选项C：$y=-\dfrac{1}{3}x^2$中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象的最高点；
选项D：$y=6x^2$中$a=6＞0$，抛物线开口向上，顶点为图象的最低点。
综上，有最高点的函数是C选项的函数。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax²的图象与性质
【点评】
本题主要考查不同类型函数的图象特征，解题核心是熟记一次函数的图象走势，以及二次函数$y=ax^2$的开口方向与二次项系数$a$的对应关系，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

3.下列是二次函数$y=x^2$的图象的是（）

3.A

【分析】
要判断哪个是二次函数$y=x^2$的图象，我们可以按以下思路推导：首先明确二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线，先排除不符合抛物线形状、不符合函数定义的选项；再根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 首先判断图象形状和是否符合函数定义：
二次函数的图象是抛物线，选项B是折线，是绝对值函数$y=|x|$的图象，不符合要求，排除B；
选项C中，对于任意$x＞0$，都有2个$y$值对应，不符合函数“一个自变量对应唯一函数值”的定义，排除C。
2. 再判断开口方向：
二次函数$y=x^2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项D开口向下，不符合要求，排除D。
3. 验证选项A：图象是开口向上、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，完全符合$y=x^2$的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象特征；二次函数开口方向判断；函数的定义
【点评】
本题是二次函数图象的基础识别题，核心考查对$y=ax^2$图象性质的掌握，只要熟记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

4.已知二次函数$y=(a-1)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$a$的取值范围是()

A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$

4.B

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：该类函数的对称轴为y轴，增减性由二次项系数$a$的符号决定。题目给出当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，说明函数开口向上，即二次项系数大于0，据此列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其对称轴为直线$x=0$（y轴）：
1. 若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
2. 若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中二次函数为$y=(a-1)x^2$，已知$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，因此二次项系数满足：
$a-1＞0$
解得$a＞1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础性质，解题关键是明确二次项系数的符号对抛物线开口方向和增减性的影响，属于基础题型，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.若点$(-1,y_1),(-2,y_2)$都在二次函数$y=-x^2$的图象上,则()

A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＜y_1＜0$
C.$y_1＞0＞y_2$
D.$y_1＜0＜y_2$

5.B

【分析】
本题考查二次函数$y=-x^2$的图象与性质，解题思路如下：首先明确二次函数$y=-x^2$的开口方向、对称轴以及增减性，再判断两个点的横坐标所在的区间，结合函数增减性比较$y_1$和$y_2$的大小，同时注意该函数值的正负特征，最终得出结论。也可以直接将两个点的横坐标代入函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的值后直接比较大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y_1=-(-1)^2=-1$；
将$x=-2$代入$y=-x^2$，得$y_2=-(-2)^2=-4$。
因为$-4 ＜ -1 ＜ 0$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$。
方法二：利用函数性质判断
二次函数$y=-x^2$中，$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为$y$轴（$x=0$），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知两个点的横坐标$-2 ＜ -1 ＜ 0$，因此$y_2 ＜ y_1$；
又因为当$x≠0$时，$y=-x^2＜0$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都容易掌握，代入法思路直接，利用函数性质解题速度更快，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

6.【教材P36练习T2变式】二次函数$y=6x^2$的图象是，它的开口向，顶点坐标是，对称轴是，在对称轴的左侧，y随x的增大而。

6.抛物线 上 (0,0) y轴 减小

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：①先回忆二次函数的通用图象形状；②根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；③回忆$y=ax^2$的顶点坐标、对称轴的固定结论；④结合开口方向判断对称轴左侧的增减性，开口向上时对称轴左降右升，开口向下时对称轴左升右降，代入对应结论即可。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，因此第一个空填抛物线；
2. 二次函数$y=6x^2$中二次项系数$a=6＞0$，因此开口向上；
3. 形如$y=ax^2$的二次函数不含一次项和常数项，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
4. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
抛物线 上 (0,0) y轴 减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题，直接考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，熟练记忆相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一坐标系中的图象大致为( )

1.C

【分析】
本题是含共同参数的两类函数图像判断类题目，解题核心是参数a的取值会同时决定二次函数和一次函数的图像特征，我们可以通过分类讨论a＞0和a＜0两种情况，分别对应判断两个函数的图像是否符合特征，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为正，图像开口向上；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＞0$，y轴截距$a＞0$，因此一次函数图像经过第一、二、三象限。
观察选项：A中一次函数经过第二、三、四象限，B中一次函数经过第一、三、四象限，均不符合要求，排除A、B。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为负，图像开口向下；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＜0$，y轴截距$a＜0$，因此一次函数图像经过第二、三、四象限。
观察选项：D中一次函数经过第一、二、三象限，不符合要求，排除D；C中二次函数开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，符合特征。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质；一次函数图像性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图像判断的常规题型，解题关键是抓住两个函数共有的参数a，结合两类函数的图像特征分类判断，熟练掌握一次函数和二次函数的性质就能快速解题，也可以通过代入特殊值验证的方法辅助判断。
【难度系数】
0.7

2.如图26－2－1，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象，则阴影部分的面积是()

A.4
B.6
C.8
D.9

图26－2－1

2.C

【分析】
解题时先观察两个二次函数的图象特征：$y=ax^2$和$y=-ax^2$的图象关于x轴对称，同时题中正方形以原点为中心，也具备关于x轴对称的性质。我们可以利用轴对称的性质，通过割补法把不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积：把x轴上方的阴影部分沿x轴翻折，刚好能填满x轴下方正方形内的空白区域，由此可知阴影部分总面积等于正方形面积的一半，再代入正方形边长计算即可。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象关于x轴对称，
又
∵ 正方形的中心为原点，关于x轴对称，
∴ 利用割补法，将x轴上方的阴影部分翻折到x轴下方，可发现所有阴影部分的面积和等于正方形面积的一半。
已知正方形边长为4，正方形的面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积为$16÷2=8$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性，轴对称的应用，割补法求面积
【点评】
本题巧妙结合二次函数的对称性和图形的割补法求解不规则图形面积，避免了复杂的计算，重点考查数形结合思想的应用，掌握常见函数的对称性是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7