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5.如图26－1－3,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD(中间的篱笆垂直于墙),设花圃的边AB的长为x米,面积为S平方米.
(1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围;(假设墙足够长)
(2)若墙的最大可用长度为9米,求此时自变量x的取值范围.
(1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围;(假设墙足够长)
(2)若墙的最大可用长度为9米,求此时自变量x的取值范围.
答案
5.解:(1)$S=(24-3x)x=-3x^2+24x$,
由题意,得$\begin{cases}24-3x＞0,\\x＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜8$.
(2)$\because 24-3x≤9$,
$\therefore x≥5$.结合(1),得$5≤ x＜8$.
由题意,得$\begin{cases}24-3x＞0,\\x＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜8$.
(2)$\because 24-3x≤9$,
$\therefore x≥5$.结合(1),得$5≤ x＜8$.
解析
【分析】
(1) 首先梳理篱笆的长度分配：垂直于墙的边共有3段（AB、中间隔断、DC），每段长均为x米，因此平行于墙的BC边长为总篱笆长24米减去3段垂直边的总长度，即(24-3x)米；再根据矩形面积公式即可写出S关于x的函数解析式。自变量x的取值需满足所有边长为正数，据此列不等式组求解即可。
(2) 墙的最大可用长度为9米，即平行于墙的BC边长不能超过9米，据此列不等式求出x的最小值，再结合(1)中x的取值上限，即可得到限定墙长后的x取值范围。
【解析】
(1) 已知AB的长为x米，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为$(24-3x)$米。
根据矩形面积公式，$S=AB× BC=x(24-3x)$，整理得$S=-3x^2+24x$。
由边长为正，列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 24-3x＞0 \end{cases}$
解得$0＜x＜8$。
(2) 由于墙的最大可用长度为9米，因此BC边长满足$24-3x≤9$，
解不等式得：$-3x≤-15$，即$x≥5$，
结合(1)中$0＜x＜8$，可得$5≤ x＜8$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$；
(2) 自变量$x$的取值范围是$5≤ x＜8$。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围，不等式求解
【点评】
本题结合实际图形考查二次函数的列式与自变量范围的确定，解题核心是找准边的数量关系，同时注意实际问题中边长、墙长等限制条件，避免忽略实际意义导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理篱笆的长度分配：垂直于墙的边共有3段（AB、中间隔断、DC），每段长均为x米，因此平行于墙的BC边长为总篱笆长24米减去3段垂直边的总长度，即(24-3x)米；再根据矩形面积公式即可写出S关于x的函数解析式。自变量x的取值需满足所有边长为正数，据此列不等式组求解即可。
(2) 墙的最大可用长度为9米，即平行于墙的BC边长不能超过9米，据此列不等式求出x的最小值，再结合(1)中x的取值上限，即可得到限定墙长后的x取值范围。
【解析】
(1) 已知AB的长为x米，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为$(24-3x)$米。
根据矩形面积公式，$S=AB× BC=x(24-3x)$，整理得$S=-3x^2+24x$。
由边长为正，列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 24-3x＞0 \end{cases}$
解得$0＜x＜8$。
(2) 由于墙的最大可用长度为9米，因此BC边长满足$24-3x≤9$，
解不等式得：$-3x≤-15$，即$x≥5$，
结合(1)中$0＜x＜8$，可得$5≤ x＜8$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$；
(2) 自变量$x$的取值范围是$5≤ x＜8$。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围，不等式求解
【点评】
本题结合实际图形考查二次函数的列式与自变量范围的确定，解题核心是找准边的数量关系，同时注意实际问题中边长、墙长等限制条件，避免忽略实际意义导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
1.某超市经销一种销售成本为每件20元的商品.据市场调查分析,如果按每件25元销售,一周能售出1000件;若销售单价每涨1元,每周销售量就减少20件.设销售单价为x元$(x≥25)$,一周的销售量为y件.
(1)写出y关于x的函数解析式;(标明x的取值范围)
(2)设一周的销售利润为S元,写出S关于x的函数解析式;
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下,使得一周的销售利润达到9000元,销售单价应定为多少?
(1)写出y关于x的函数解析式;(标明x的取值范围)
(2)设一周的销售利润为S元,写出S关于x的函数解析式;
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下,使得一周的销售利润达到9000元,销售单价应定为多少?
答案
1.解:(1)$y=1000-20(x-25)=1500-20x(25≤ x≤75)$.
(2)$S=(x-20)(1500-20x)=-20x^2+1900x-30000$.
(3)由题意知$-20x^2+1900x-30000=9000$,
整理得$20x^2-1900x+39000=0$,
即$x^2-95x+1950=0$,
$\therefore (x-30)(x-65)=0$,
解得$x_1=30,x_2=65$.
当$x=30$时,成本为$20×(1500-20×30)=18000$(元),
18000元＞10000元,不符合要求,舍去;
当$x=65$时,成本为$20×(1500-20×65)=4000$(元),
4000元＜10000元,符合要求.
即销售价应定为65元,才能使一周的销售利润达到9000元的同时,投入不超过10000元.
(2)$S=(x-20)(1500-20x)=-20x^2+1900x-30000$.
(3)由题意知$-20x^2+1900x-30000=9000$,
整理得$20x^2-1900x+39000=0$,
即$x^2-95x+1950=0$,
$\therefore (x-30)(x-65)=0$,
解得$x_1=30,x_2=65$.
当$x=30$时,成本为$20×(1500-20×30)=18000$(元),
18000元＞10000元,不符合要求,舍去;
当$x=65$时,成本为$20×(1500-20×65)=4000$(元),
4000元＜10000元,符合要求.
即销售价应定为65元,才能使一周的销售利润达到9000元的同时,投入不超过10000元.
解析
【分析】
（1）首先梳理销售量的变化规律：单价为25元时周销量为1000件，单价每上涨1元销量减少20件。当单价为x元时，相比25元上涨了$(x-25)$元，对应减少的销量为$20(x-25)$件，用原销量减去减少的销量即可得到y与x的关系式；再结合销售量不能为负数求出x的上限，结合题干给出的$x≥25$，即可确定x的取值范围。
（2）销售利润=单件利润×周销售量，单件利润为$(x-20)$元，周销售量为第一问求出的y，代入后展开整理即可得到S关于x的函数解析式。
（3）先令$S=9000$，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个候选单价；再根据“投入成本不超过10000元”的限制条件，分别计算两个单价对应的总成本，舍去成本超标的解，剩下的就是符合要求的销售单价。
【解析】
(1) 由题意得，单价为x元时，相比25元上涨了$(x-25)$元，每周减少的销量为$20(x-25)$件，因此：
$y=1000-20(x-25)=1500-20x$
又因为销售量不能为负，即$1500-20x≥0$，解得$x≤75$，结合题干$x≥25$，因此x的取值范围为$25≤x≤75$。
(2) 单件商品利润为$(x-20)$元，因此周销售利润：
$S=(x-20)y=(x-20)(1500-20x)=-20x^2+1900x-30000$
(3) 令$S=9000$，代入解析式得：
$-20x^2+1900x-30000=9000$
整理得$x^2-95x+1950=0$
因式分解得$(x-30)(x-65)=0$
解得$x_1=30$，$x_2=65$
验证成本限制：
当$x=30$时，周销量$y=1500-20×30=900$件，总成本为$20×900=18000$元$＞10000$元，不符合要求，舍去；
当$x=65$时，周销量$y=1500-20×65=200$件，总成本为$20×200=4000$元$＜10000$元，符合要求。
【答案】
(1) $y=1500-20x\quad(25≤ x≤75)$
(2) $S=-20x^2+1900x-30000$
(3) 销售单价应定为65元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数实际应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是理清单价、销量、利润、成本之间的数量关系，需特别注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，求出方程的根后要根据题干的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）首先梳理销售量的变化规律：单价为25元时周销量为1000件，单价每上涨1元销量减少20件。当单价为x元时，相比25元上涨了$(x-25)$元，对应减少的销量为$20(x-25)$件，用原销量减去减少的销量即可得到y与x的关系式；再结合销售量不能为负数求出x的上限，结合题干给出的$x≥25$，即可确定x的取值范围。
（2）销售利润=单件利润×周销售量，单件利润为$(x-20)$元，周销售量为第一问求出的y，代入后展开整理即可得到S关于x的函数解析式。
（3）先令$S=9000$，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个候选单价；再根据“投入成本不超过10000元”的限制条件，分别计算两个单价对应的总成本，舍去成本超标的解，剩下的就是符合要求的销售单价。
【解析】
(1) 由题意得，单价为x元时，相比25元上涨了$(x-25)$元，每周减少的销量为$20(x-25)$件，因此：
$y=1000-20(x-25)=1500-20x$
又因为销售量不能为负，即$1500-20x≥0$，解得$x≤75$，结合题干$x≥25$，因此x的取值范围为$25≤x≤75$。
(2) 单件商品利润为$(x-20)$元，因此周销售利润：
$S=(x-20)y=(x-20)(1500-20x)=-20x^2+1900x-30000$
(3) 令$S=9000$，代入解析式得：
$-20x^2+1900x-30000=9000$
整理得$x^2-95x+1950=0$
因式分解得$(x-30)(x-65)=0$
解得$x_1=30$，$x_2=65$
验证成本限制：
当$x=30$时，周销量$y=1500-20×30=900$件，总成本为$20×900=18000$元$＞10000$元，不符合要求，舍去；
当$x=65$时，周销量$y=1500-20×65=200$件，总成本为$20×200=4000$元$＜10000$元，符合要求。
【答案】
(1) $y=1500-20x\quad(25≤ x≤75)$
(2) $S=-20x^2+1900x-30000$
(3) 销售单价应定为65元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数实际应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是理清单价、销量、利润、成本之间的数量关系，需特别注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，求出方程的根后要根据题干的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
2.丹丹在母亲节那天送给妈妈一个装在礼品盒里的礼物.已知礼品盒是一个长方体,长比宽多2 cm,高比宽多1 cm,现要给礼品盒包一层包装纸进行装饰(重叠的部分不计).
(1)若礼品盒的宽为x cm,则需要的包装纸的面积S(cm²)关于x的函数解析式为
(2)若需要的包装纸的面积为1012 cm²,礼品盒的宽为多少厘米?
(3)丹丹量得礼品盒的宽为10 cm,如果包装纸每平方米10元,且包装手工费为1元,而她只剩2元钱,那么她的钱够用吗?
(1)若礼品盒的宽为x cm,则需要的包装纸的面积S(cm²)关于x的函数解析式为
$S=6x^2+12x+4$
;(2)若需要的包装纸的面积为1012 cm²,礼品盒的宽为多少厘米?
(3)丹丹量得礼品盒的宽为10 cm,如果包装纸每平方米10元,且包装手工费为1元,而她只剩2元钱,那么她的钱够用吗?
答案
2.解:(1)$S=6x^2+12x+4$
(2)由题意得$6x^2+12x+4=1012$,解得$x_1=12,x_2=-14$(不合题意,舍去).
答:礼品盒的宽为12 cm.
(3)当$x=10$时,$S=6×10^2+12×10+4=724$.
因为包装纸每平方米10元,且包装手工费为1元,
所以对礼品盒进行包装所需的费用是$10×\frac{724}{10000}+1\approx1.72$(元).
因为$1.72＜2$,所以丹丹的钱够用.
(2)由题意得$6x^2+12x+4=1012$,解得$x_1=12,x_2=-14$(不合题意,舍去).
答:礼品盒的宽为12 cm.
(3)当$x=10$时,$S=6×10^2+12×10+4=724$.
因为包装纸每平方米10元,且包装手工费为1元,
所以对礼品盒进行包装所需的费用是$10×\frac{724}{10000}+1\approx1.72$(元).
因为$1.72＜2$,所以丹丹的钱够用.
解析
【分析】
解题思路如下：(1)包装纸面积对应长方体表面积，先根据宽为x cm，表示出长为(x+2)cm，高为(x+1)cm，再代入长方体表面积公式展开化简，即可得到S关于x的函数解析式；(2)将S=1012代入(1)的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，即可得到礼品盒的宽；(3)先将x=10代入解析式求出包装纸面积，注意换算单位为平方米，再计算总费用，与2元比较即可判断钱是否够用。
【解析】
(1) 由题意得，礼品盒的长为(x+2)cm，高为(x+1)cm，根据长方体表面积公式$S=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入得：
$S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$
展开括号内的项求和得：$x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)=3x²+6x+2$
因此$S=2(3x²+6x+2)=6x²+12x+4$。
(2) 当$S=1012$时，代入解析式得：
$6x²+12x+4=1012$
整理得$x²+2x-168=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-14$
因为礼品盒的宽不能为负数，所以舍去$x=-14$。
(3) 当$x=10$时，代入解析式得：
$S=6×10²+12×10+4=724(cm²)$
单位换算得$724 cm²=0.0724 m²$，总费用为$10×0.0724 + 1≈1.72(元)$
因为$1.72＜2$，所以丹丹的钱够用。
【答案】
(1)$S=6x^2+12x+4$
(2)礼品盒的宽为12 cm
(3)丹丹的钱够用
【知识点】
长方体表面积计算；二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了基础公式的运用，又锻炼了将实际问题转化为数学问题求解的能力，解题时需注意实际问题中变量的取值范围，以及不同单位之间的换算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)包装纸面积对应长方体表面积，先根据宽为x cm，表示出长为(x+2)cm，高为(x+1)cm，再代入长方体表面积公式展开化简，即可得到S关于x的函数解析式；(2)将S=1012代入(1)的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，即可得到礼品盒的宽；(3)先将x=10代入解析式求出包装纸面积，注意换算单位为平方米，再计算总费用，与2元比较即可判断钱是否够用。
【解析】
(1) 由题意得，礼品盒的长为(x+2)cm，高为(x+1)cm，根据长方体表面积公式$S=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入得：
$S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$
展开括号内的项求和得：$x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)=3x²+6x+2$
因此$S=2(3x²+6x+2)=6x²+12x+4$。
(2) 当$S=1012$时，代入解析式得：
$6x²+12x+4=1012$
整理得$x²+2x-168=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-14$
因为礼品盒的宽不能为负数，所以舍去$x=-14$。
(3) 当$x=10$时，代入解析式得：
$S=6×10²+12×10+4=724(cm²)$
单位换算得$724 cm²=0.0724 m²$，总费用为$10×0.0724 + 1≈1.72(元)$
因为$1.72＜2$，所以丹丹的钱够用。
【答案】
(1)$S=6x^2+12x+4$
(2)礼品盒的宽为12 cm
(3)丹丹的钱够用
【知识点】
长方体表面积计算；二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了基础公式的运用，又锻炼了将实际问题转化为数学问题求解的能力，解题时需注意实际问题中变量的取值范围，以及不同单位之间的换算。
【难度系数】
0.7
