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1.下列函数关系中,是二次函数的是(
A.在弹性限度内,弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系
B.当距离一定时,火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
C.等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系
D.圆面积 S 与半径 r 之间的关系
D
)A.在弹性限度内,弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系
B.当距离一定时,火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
C.等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系
D.圆面积 S 与半径 r 之间的关系
答案
1.D 点拨:选项 A 中$y=kx+b(k≠0)$,是一次函数;选项 B 中$t=\frac{s}{v}$(s 为距离),不是二次函数;选项 C 中$C=3a$,是正比例函数;选项 D 中$S=π r^2$,是二次函数.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量最高次数为2，且是二次项系数不为0的整式函数。接下来我们只需逐个推导每个选项对应的函数表达式，再对照各类函数的定义判断类型，即可选出正确答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项的函数关系：
1. 选项A：在弹性限度内，弹簧长度$y=kx+b$（$k$为劲度系数，$b$为弹簧原长，$k≠0$），自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
2. 选项B：当距离$s$一定时，行驶时间$t=\frac{s}{v}$，属于反比例函数，不是整式函数，不符合二次函数要求。
3. 选项C：等边三角形周长$C=3a$，自变量$a$的最高次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不是二次函数。
4. 选项D：圆的面积公式为$S=π r^2$，$π$是不为0的常数，自变量$r$的最高次数为2，符合二次函数的定义。
综上，只有选项D是二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念；一次函数的概念；反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，结合实际生活中的数量关系，要求同学们能准确识别不同类型的函数，熟记各类函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量最高次数为2，且是二次项系数不为0的整式函数。接下来我们只需逐个推导每个选项对应的函数表达式，再对照各类函数的定义判断类型，即可选出正确答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项的函数关系：
1. 选项A：在弹性限度内，弹簧长度$y=kx+b$（$k$为劲度系数，$b$为弹簧原长，$k≠0$），自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
2. 选项B：当距离$s$一定时，行驶时间$t=\frac{s}{v}$，属于反比例函数，不是整式函数，不符合二次函数要求。
3. 选项C：等边三角形周长$C=3a$，自变量$a$的最高次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不是二次函数。
4. 选项D：圆的面积公式为$S=π r^2$，$π$是不为0的常数，自变量$r$的最高次数为2，符合二次函数的定义。
综上，只有选项D是二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念；一次函数的概念；反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，结合实际生活中的数量关系，要求同学们能准确识别不同类型的函数，熟记各类函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2.函数$y=(m-5)x^2 + x$是二次函数的条件为(
A.$m$为常数，且$m≠0$
B.$m$为常数，且$m≠5$
C.$m$为常数，且$m=0$
D.$m$可以为任何数
B
)A.$m$为常数，且$m≠0$
B.$m$为常数，且$m≠5$
C.$m$为常数，且$m=0$
D.$m$可以为任何数
答案
2.B 点拨:函数$y=(m-5)x^2 + x$是二次函数的条件是 m 为常数,且$m≠5$.故选 B.
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，需结合二次函数的定义思考：二次函数首先是整式函数，其次自变量的最高次数为2，最重要的是二次项的系数不能为0。本题中函数已经是整式形式，最高次项为$(m-5)x^2$，因此只需保证二次项系数不为0且m为常数，即可推导得出m的取值要求，进而选出正确选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对于函数$y=(m-5)x^2 + x$，其二次项系数为$m-5$，要使该函数为二次函数，需满足两个条件：
1. $m$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-5≠0$，解得$m≠5$。
因此该函数是二次函数的条件为$m$为常数，且$m≠5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的基础判定，解题核心是牢记二次函数中二次项系数不为0的隐含要求，避免忽略系数限制导致失分。
【难度系数】
0.9
要判断给定函数是否为二次函数，需结合二次函数的定义思考：二次函数首先是整式函数，其次自变量的最高次数为2，最重要的是二次项的系数不能为0。本题中函数已经是整式形式，最高次项为$(m-5)x^2$，因此只需保证二次项系数不为0且m为常数，即可推导得出m的取值要求，进而选出正确选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对于函数$y=(m-5)x^2 + x$，其二次项系数为$m-5$，要使该函数为二次函数，需满足两个条件：
1. $m$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-5≠0$，解得$m≠5$。
因此该函数是二次函数的条件为$m$为常数，且$m≠5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的基础判定，解题核心是牢记二次函数中二次项系数不为0的隐含要求，避免忽略系数限制导致失分。
【难度系数】
0.9
3.【概念辨析】如图26－1－1，正方形ABCD和圆O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm².当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(
A.一次函数关系，一次函数关系
B.一次函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，二次函数关系
D.二次函数关系，一次函数关系
图26－1－1 图26－1－2
B
)A.一次函数关系，一次函数关系
B.一次函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，二次函数关系
D.二次函数关系，一次函数关系
图26－1－1 图26－1－2
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路可分两步走：第一步，先根据正方形与圆的周长之和为20cm的等量关系，列出关于x、y的等式，整理得到y与x的函数表达式，判断其函数类型；第二步，明确阴影部分面积为圆的面积与正方形面积之和，将第一步得到的y关于x的表达式代入面积公式，整理得到S与x的函数表达式，判断其函数类型后匹配选项即可。
【解析】
解：由题意得，圆的周长为$2π x\ \mathrm{cm}$，正方形的周长为$4y\ \mathrm{cm}$。
∵二者周长之和为20cm，
∴$2π x + 4y = 20$，
整理得：$y = 5 - \frac{π}{2}x$，符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，故$y$与$x$是一次函数关系。
又
∵阴影部分面积$S$为圆的面积与正方形面积之和，
∴$S = π x^2 + y^2$，
将$y = 5 - \frac{π}{2}x$代入上式得：
$S = π x^2 + (5 - \frac{π}{2}x)^2$
$= π x^2 + 25 - 5π x + \frac{π^2}{4}x^2$
$= (π + \frac{π^2}{4})x^2 - 5π x + 25$，
符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，故$S$与$x$是二次函数关系。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的判定
2. 二次函数的判定
3. 几何图形周长面积计算
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的核心是结合几何公式正确列出函数关系式，再整理为标准形式判断函数次数，计算时注意完全平方展开不要出错即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分两步走：第一步，先根据正方形与圆的周长之和为20cm的等量关系，列出关于x、y的等式，整理得到y与x的函数表达式，判断其函数类型；第二步，明确阴影部分面积为圆的面积与正方形面积之和，将第一步得到的y关于x的表达式代入面积公式，整理得到S与x的函数表达式，判断其函数类型后匹配选项即可。
【解析】
解：由题意得，圆的周长为$2π x\ \mathrm{cm}$，正方形的周长为$4y\ \mathrm{cm}$。
∵二者周长之和为20cm，
∴$2π x + 4y = 20$，
整理得：$y = 5 - \frac{π}{2}x$，符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，故$y$与$x$是一次函数关系。
又
∵阴影部分面积$S$为圆的面积与正方形面积之和，
∴$S = π x^2 + y^2$，
将$y = 5 - \frac{π}{2}x$代入上式得：
$S = π x^2 + (5 - \frac{π}{2}x)^2$
$= π x^2 + 25 - 5π x + \frac{π^2}{4}x^2$
$= (π + \frac{π^2}{4})x^2 - 5π x + 25$，
符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，故$S$与$x$是二次函数关系。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的判定
2. 二次函数的判定
3. 几何图形周长面积计算
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的核心是结合几何公式正确列出函数关系式，再整理为标准形式判断函数次数，计算时注意完全平方展开不要出错即可。
【难度系数】
0.7
4.如图26－1－2，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上。已知BC＝30 cm，设DG的长为x cm，矩形DEFG的面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为
$y=-\frac{1}{2}x^2+15x$
。答案
4.$y=-\frac{1}{2}x^2+15x$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，先利用等腰直角三角形的性质，求出斜边BC上的高；第二步，根据矩形对边平行的性质可得DG//BC，进而推出△ADG与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出△ADG的高，再用大三角形的高减去该高度即可得到矩形的另一条边长；第三步，根据矩形面积=长×宽，代入对应边长化简，就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点M。
1. 求△ABC斜边上的高：
∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边且长度为30cm，AH是斜边BC上的高
∴根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半，即$ AH = \frac{1}{2}BC = 15\mathrm{cm} $
2. 利用相似三角形求矩形的宽：
∵四边形DEFG是矩形
∴$ DG// BC $，且$ AM⊥ DG $，可得$ △ ADG ∽ △ ABC $
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，即$ \frac{AM}{AH} = \frac{DG}{BC} $
代入$ DG=x $，$ BC=30 $，$ AH=15 $，得$ \frac{AM}{15} = \frac{x}{30} $，解得$ AM = \frac{x}{2}\mathrm{cm} $
因此矩形的宽$ DE = MH = AH - AM = 15 - \frac{x}{2}\mathrm{cm} $
3. 推导面积的函数解析式：
矩形面积$ y = DG × DE $，代入对应边长得：
$ y = x(15 - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}x^2 + 15x $（其中$ 0＜x＜30 $）
【答案】
$ y=-\frac{1}{2}x^2+15x $
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 相似三角形的性质
3. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题型，核心是借助几何图形的性质找到矩形两条邻边的数量关系，再代入面积公式化简即可，需要掌握将几何性质和函数关系结合分析的方法。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，先利用等腰直角三角形的性质，求出斜边BC上的高；第二步，根据矩形对边平行的性质可得DG//BC，进而推出△ADG与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出△ADG的高，再用大三角形的高减去该高度即可得到矩形的另一条边长；第三步，根据矩形面积=长×宽，代入对应边长化简，就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点M。
1. 求△ABC斜边上的高：
∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边且长度为30cm，AH是斜边BC上的高
∴根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半，即$ AH = \frac{1}{2}BC = 15\mathrm{cm} $
2. 利用相似三角形求矩形的宽：
∵四边形DEFG是矩形
∴$ DG// BC $，且$ AM⊥ DG $，可得$ △ ADG ∽ △ ABC $
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，即$ \frac{AM}{AH} = \frac{DG}{BC} $
代入$ DG=x $，$ BC=30 $，$ AH=15 $，得$ \frac{AM}{15} = \frac{x}{30} $，解得$ AM = \frac{x}{2}\mathrm{cm} $
因此矩形的宽$ DE = MH = AH - AM = 15 - \frac{x}{2}\mathrm{cm} $
3. 推导面积的函数解析式：
矩形面积$ y = DG × DE $，代入对应边长得：
$ y = x(15 - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}x^2 + 15x $（其中$ 0＜x＜30 $）
【答案】
$ y=-\frac{1}{2}x^2+15x $
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 相似三角形的性质
3. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题型，核心是借助几何图形的性质找到矩形两条邻边的数量关系，再代入面积公式化简即可，需要掌握将几何性质和函数关系结合分析的方法。
【难度系数】
0.7
