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3.【教材P35探究变式】如图26－2－2所示是四个二次函数的图象，则$a,b,c,d$的大小关系为(
A.$d＜c＜a＜b$
B.$d＜c＜b＜a$
C.$c＜d＜a＜b$
D.$c＜d＜b＜a$
B
)A.$d＜c＜a＜b$
B.$d＜c＜b＜a$
C.$c＜d＜a＜b$
D.$c＜d＜b＜a$
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步推导：首先根据开口方向判断二次项系数的符号，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$，可将四个系数分为正、负两组，正数均大于负数；再根据“$|a|$越大，抛物线开口越窄”的规律比较同组内系数的大小，同正的系数开口越窄值越大，同负的系数开口越窄值越小，最后整合得到整体大小关系。
【解析】
1. 判断系数符号：
抛物线$y=ax^2$、$y=bx^2$开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；
抛物线$y=cx^2$、$y=dx^2$开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$c、d$。
2. 比较正数$a、b$的大小：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大开口越窄，由图可知$y=ax^2$开口比$y=bx^2$更窄，因此$|a|＞|b|$，结合$a＞0,b＞0$，得$a＞b＞0$。
3. 比较负数$c、d$的大小：
由图可知$y=dx^2$开口比$y=cx^2$更窄，因此$|d|＞|c|$，结合$c＜0,d＜0$，负数绝对值越大数值越小，得$d＜c＜0$。
4. 整合大小关系：$d＜c＜b＜a$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与系数的关系、有理数大小比较
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，牢记开口方向、开口大小与$a$的对应规律是解题的核心，属于基础类考题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步推导：首先根据开口方向判断二次项系数的符号，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$，可将四个系数分为正、负两组，正数均大于负数；再根据“$|a|$越大，抛物线开口越窄”的规律比较同组内系数的大小，同正的系数开口越窄值越大，同负的系数开口越窄值越小，最后整合得到整体大小关系。
【解析】
1. 判断系数符号：
抛物线$y=ax^2$、$y=bx^2$开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；
抛物线$y=cx^2$、$y=dx^2$开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$c、d$。
2. 比较正数$a、b$的大小：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大开口越窄，由图可知$y=ax^2$开口比$y=bx^2$更窄，因此$|a|＞|b|$，结合$a＞0,b＞0$，得$a＞b＞0$。
3. 比较负数$c、d$的大小：
由图可知$y=dx^2$开口比$y=cx^2$更窄，因此$|d|＞|c|$，结合$c＜0,d＜0$，负数绝对值越大数值越小，得$d＜c＜0$。
4. 整合大小关系：$d＜c＜b＜a$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与系数的关系、有理数大小比较
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，牢记开口方向、开口大小与$a$的对应规律是解题的核心，属于基础类考题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 经过点$(a,4.5)$和$(-a,y_1)$，则$y_1$的值是
4.5
.答案
4.4.5 点拨:由二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象具有对称性可知，$y_1=4.5$.
解析
【分析】
解题时可以从两个思路入手：思路一，先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，该抛物线的对称轴是y轴，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称，对称点的纵坐标相等，直接可得$y_1$的值；思路二，先将点$(a,4.5)$代入抛物线解析式，求出$a^2$的值，再将$x=-a$代入解析式，利用平方的性质计算$y_1$的值，两种方法都能得到结果，用对称性解题更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
点$(a,4.5)$和$(-a,y_1)$的横坐标互为相反数，说明两点关于y轴对称，
∴ 两点纵坐标相等，即$y_1=4.5$。
方法二（代入计算求解）：
把点$(a,4.5)$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，可得：
$\frac{1}{2}a^2=4.5$，解得$a^2=9$。
再把$x=-a$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，可得：
$y_1=\frac{1}{2}×(-a)^2=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×9=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
二次函数对称性、点坐标与解析式关系、y=ax²的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，熟练掌握对称性可以提升解题效率，即使不使用对称性，通过常规代入计算也能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时可以从两个思路入手：思路一，先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，该抛物线的对称轴是y轴，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称，对称点的纵坐标相等，直接可得$y_1$的值；思路二，先将点$(a,4.5)$代入抛物线解析式，求出$a^2$的值，再将$x=-a$代入解析式，利用平方的性质计算$y_1$的值，两种方法都能得到结果，用对称性解题更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
点$(a,4.5)$和$(-a,y_1)$的横坐标互为相反数，说明两点关于y轴对称，
∴ 两点纵坐标相等，即$y_1=4.5$。
方法二（代入计算求解）：
把点$(a,4.5)$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，可得：
$\frac{1}{2}a^2=4.5$，解得$a^2=9$。
再把$x=-a$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，可得：
$y_1=\frac{1}{2}×(-a)^2=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×9=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
二次函数对称性、点坐标与解析式关系、y=ax²的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，熟练掌握对称性可以提升解题效率，即使不使用对称性，通过常规代入计算也能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
5.已知抛物线$y=(m-1)x^2$的开口向上，且直线$y=4x+3-m$经过第一、二、三象限，则$m$的取值范围是
$1＜m＜3$
。答案
5.$1＜m＜3$ 点拨:$\because$ 抛物线 $y=(m-1)x^2$的开口向上，且直线 $y=4x+3-m$ 经过第一、二、三象限，$\therefore\begin{cases}m-1＞0,\\3-m＞0,\end{cases}$ 解得 $1＜m＜3$.
解析
【分析】
本题需要结合二次函数、一次函数的图象性质列不等式求解，解题思路如下：第一步，根据二次函数$y=ax^2$的开口方向与二次项系数$a$的关系，由抛物线开口向上得到关于$m$的第一个不等式；第二步，根据一次函数$y=kx+b$经过的象限与$k$、$b$的关系，由直线过第一、二、三象限得到关于$m$的第二个不等式；第三步，联立两个不等式组成不等式组，求解集的公共部分就是$m$的取值范围。
【解析】
解：① 对于抛物线$y=(m-1)x^2$，开口向上时二次项系数大于0，即：
$m-1＞0$，解得$m＞1$；
② 对于直线$y=4x+3-m$，其中斜率$k=4＞0$，已经满足过第一、三象限，若要同时经过第二象限，则直线与$y$轴的交点在正半轴，即常数项$b＞0$：
$3-m＞0$，解得$m＜3$；
③ 两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，可得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 一次函数图象性质 3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于函数性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握二次函数、一次函数的图象与系数的对应关系，求解时注意两个限制条件需同时成立，最终要取两个不等式解集的公共部分作为结果。
【难度系数】
0.7
本题需要结合二次函数、一次函数的图象性质列不等式求解，解题思路如下：第一步，根据二次函数$y=ax^2$的开口方向与二次项系数$a$的关系，由抛物线开口向上得到关于$m$的第一个不等式；第二步，根据一次函数$y=kx+b$经过的象限与$k$、$b$的关系，由直线过第一、二、三象限得到关于$m$的第二个不等式；第三步，联立两个不等式组成不等式组，求解集的公共部分就是$m$的取值范围。
【解析】
解：① 对于抛物线$y=(m-1)x^2$，开口向上时二次项系数大于0，即：
$m-1＞0$，解得$m＞1$；
② 对于直线$y=4x+3-m$，其中斜率$k=4＞0$，已经满足过第一、三象限，若要同时经过第二象限，则直线与$y$轴的交点在正半轴，即常数项$b＞0$：
$3-m＞0$，解得$m＜3$；
③ 两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，可得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 一次函数图象性质 3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于函数性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握二次函数、一次函数的图象与系数的对应关系，求解时注意两个限制条件需同时成立，最终要取两个不等式解集的公共部分作为结果。
【难度系数】
0.7
6.已知函数$y=ax^{a^2 + a}$。
(1)a取何值时，此函数为二次函数？并求出解析式。
(2)a取何值时，函数图象是开口向上的抛物线？
(3)a取何值时，函数有最大值？并求出最大值。
(1)a取何值时，此函数为二次函数？并求出解析式。
(2)a取何值时，函数图象是开口向上的抛物线？
(3)a取何值时，函数有最大值？并求出最大值。
答案
6.解:(1)使函数 $y=ax^{a^2 + a}$ 为二次函数，需满足$\begin{cases}a^2 + a=2,\\a≠0.\end{cases}$
解得 $a_1=-2,a_2=1$.
此时函数解析式为 $y=-2x^2$ 或 $y=x^2$.
(2)当 $a=1$ 时，抛物线 $y=x^2$ 的开口向上.
(3)当抛物线开口向下时，有最大值，此时 $a=-2$，当 $x=0$ 时，$y_{最大}=0$.
点拨:通过二次函数的定义求出二次函数的解析式，然后根据 $y=ax^2(a≠0)$ 的图象和性质解答.
解得 $a_1=-2,a_2=1$.
此时函数解析式为 $y=-2x^2$ 或 $y=x^2$.
(2)当 $a=1$ 时，抛物线 $y=x^2$ 的开口向上.
(3)当抛物线开口向下时，有最大值，此时 $a=-2$，当 $x=0$ 时，$y_{最大}=0$.
点拨:通过二次函数的定义求出二次函数的解析式，然后根据 $y=ax^2(a≠0)$ 的图象和性质解答.
解析
【分析】
本题围绕二次函数的定义与基本性质展开，解题思路如下：
(1) 判断函数为二次函数需满足两个核心条件：一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解a的取值，再代入原式即可得到函数解析式；
(2) 二次函数$y=ax^2$的开口方向由a的符号决定，a＞0时开口向上，从第(1)问的结果中筛选出符合a＞0的取值即可；
(3) 二次函数开口向下（即a＜0）时图象有最高点，函数存在最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，最大值即为顶点的纵坐标。
【解析】
(1) 若函数$y=ax^{a^2 + a}$为二次函数，需满足：
$\begin{cases}a^2 + a=2\\a≠0\end{cases}$
解方程$a^2+a-2=0$，因式分解得$(a+2)(a-1)=0$，解得$a_1=-2$，$a_2=1$。
代入得函数解析式为$y=-2x^2$或$y=x^2$。
(2) 二次函数$y=ax^2$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，结合(1)的计算结果，得$a=1$时函数图象是开口向上的抛物线。
(3) 二次函数$y=ax^2$中，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，结合(1)的计算结果，得$a=-2$，此时函数为$y=-2x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y_{最大}=0$。
【答案】
(1) $a=-2$或$a=1$，解析式为$y=-2x^2$或$y=x^2$；
(2) $a=1$；
(3) $a=-2$，最大值为0。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数部分的典型基础题，重点考查二次函数的基础概念和基本性质，解题时需注意二次项系数不为0的隐含限制条件，结合a的符号即可判断开口方向和最值情况，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数的定义与基本性质展开，解题思路如下：
(1) 判断函数为二次函数需满足两个核心条件：一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解a的取值，再代入原式即可得到函数解析式；
(2) 二次函数$y=ax^2$的开口方向由a的符号决定，a＞0时开口向上，从第(1)问的结果中筛选出符合a＞0的取值即可；
(3) 二次函数开口向下（即a＜0）时图象有最高点，函数存在最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，最大值即为顶点的纵坐标。
【解析】
(1) 若函数$y=ax^{a^2 + a}$为二次函数，需满足：
$\begin{cases}a^2 + a=2\\a≠0\end{cases}$
解方程$a^2+a-2=0$，因式分解得$(a+2)(a-1)=0$，解得$a_1=-2$，$a_2=1$。
代入得函数解析式为$y=-2x^2$或$y=x^2$。
(2) 二次函数$y=ax^2$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，结合(1)的计算结果，得$a=1$时函数图象是开口向上的抛物线。
(3) 二次函数$y=ax^2$中，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，结合(1)的计算结果，得$a=-2$，此时函数为$y=-2x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y_{最大}=0$。
【答案】
(1) $a=-2$或$a=1$，解析式为$y=-2x^2$或$y=x^2$；
(2) $a=1$；
(3) $a=-2$，最大值为0。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数部分的典型基础题，重点考查二次函数的基础概念和基本性质，解题时需注意二次项系数不为0的隐含限制条件，结合a的符号即可判断开口方向和最值情况，难度较低。
【难度系数】
0.8
1. 如图26－2－3，直线AB过x轴上的点A(2,0)，且与抛物线$y=ax^2$相交于B、C两点，B点坐标为(1,1)。
(1)求直线AB和抛物线所对应的函数解析式。
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得$S_{△ OAD}=S_{△ OBC}$？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标。
(1)求直线AB和抛物线所对应的函数解析式。
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得$S_{△ OAD}=S_{△ OBC}$？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标。
答案
1.解:(1)设直线 AB 所对应的函数解析式为$y=kx+b$.
$\because A(2,0),B(1,1)$都在直线 $y=kx+b$ 上，
$\therefore\begin{cases}0=2k+b,\\1=k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 AB 所对应的函数解析式为 $y=-x+2$.
$\because$ 点 $B(1,1)$ 在抛物线 $y=ax^2$ 上，
$\therefore a=1$.
$\therefore$ 抛物线所对应的函数解析式为 $y=x^2$.
(2)如答图 26－2－1，存在点 D，使得$S_{△ OAD}=S_{△ OBC}$.
设 $D(x,x^2)$.
则 $S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|OA|·|y_D|=\frac{1}{2}×2· x^2=x^2$.
解$\begin{cases}y=-x+2,\\y=x^2,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=1,\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-2,\\y_2=4.\end{cases}$
$\therefore C(-2,4)$.
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ AOC}-S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×1=3$.
若 $S_{△ BOC}=S_{△ OAD}$，则 $x^2=3$，解得 $x=\pm\sqrt{3}$.
$\therefore$ 点 D 的坐标为 $(-\sqrt{3},3)$ 或 $(\sqrt{3},3)$.
解析
【分析】
(1) 求直线AB的解析式：一次函数的通式为$y=kx+b$，已知直线过A(2,0)、B(1,1)两点，将两点坐标代入通式列二元一次方程组，即可求出参数$k、b$的值；求抛物线解析式：抛物线通式为$y=ax^2$，仅含一个未知参数$a$，将B点坐标代入即可直接求出$a$的值。
(2) 先求直线与抛物线的另一个交点C的坐标：联立直线和抛物线的解析式，解方程组即可得到C点坐标；再计算$△ OBC$的面积，可通过$S_{△ AOC}$减去$S_{△ OAB}$计算，两个三角形均以OA为底，高分别为C、B点的纵坐标，计算简便；设D点坐标为$(x,x^2)$，$△ OAD$以OA为底，高为D点的纵坐标$x^2$，写出$△ OAD$的面积表达式，令其与$△ OBC$的面积相等，解方程求出$x$的值，即可得到D点坐标，注意$x$可取正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 设直线AB所对应的函数解析式为$y=kx+b$。
$\because A(2,0),B(1,1)$都在直线 $y=kx+b$ 上，
$\therefore\begin{cases}0=2k+b\\1=k+b\end{cases}$， 解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 直线AB所对应的函数解析式为 $y=-x+2$。
$\because$ 点 $B(1,1)$ 在抛物线 $y=ax^2$ 上，
$\therefore 1=a×1^2$，解得$a=1$。
$\therefore$ 抛物线所对应的函数解析式为 $y=x^2$。
(2) 存在点D，使得$S_{△ OAD}=S_{△ OBC}$，求解过程如下：
设 $D(x,x^2)$，
则 $S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|OA|·|y_D|=\frac{1}{2}×2· x^2=x^2$。
联立直线与抛物线的解析式$\begin{cases}y=-x+2\\y=x^2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=1\\y_1=1\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=4\end{cases}$，
$\therefore$ C点坐标为$(-2,4)$。
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ AOC}-S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×1=3$。
若 $S_{△ BOC}=S_{△ OAD}$，则 $x^2=3$，解得 $x=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点D的坐标为 $(-\sqrt{3},3)$ 或 $(\sqrt{3},3)$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式为$y=-x+2$，抛物线的解析式为$y=x^2$；
(2) 存在，点D的坐标为$(-\sqrt{3},3)$或$(\sqrt{3},3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了函数解析式求解、交点计算和面积类存在性问题，解题的核心是熟练掌握待定系数法的应用，学会利用坐标表示三角形的面积，解决存在性问题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的解析式：一次函数的通式为$y=kx+b$，已知直线过A(2,0)、B(1,1)两点，将两点坐标代入通式列二元一次方程组，即可求出参数$k、b$的值；求抛物线解析式：抛物线通式为$y=ax^2$，仅含一个未知参数$a$，将B点坐标代入即可直接求出$a$的值。
(2) 先求直线与抛物线的另一个交点C的坐标：联立直线和抛物线的解析式，解方程组即可得到C点坐标；再计算$△ OBC$的面积，可通过$S_{△ AOC}$减去$S_{△ OAB}$计算，两个三角形均以OA为底，高分别为C、B点的纵坐标，计算简便；设D点坐标为$(x,x^2)$，$△ OAD$以OA为底，高为D点的纵坐标$x^2$，写出$△ OAD$的面积表达式，令其与$△ OBC$的面积相等，解方程求出$x$的值，即可得到D点坐标，注意$x$可取正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 设直线AB所对应的函数解析式为$y=kx+b$。
$\because A(2,0),B(1,1)$都在直线 $y=kx+b$ 上，
$\therefore\begin{cases}0=2k+b\\1=k+b\end{cases}$， 解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 直线AB所对应的函数解析式为 $y=-x+2$。
$\because$ 点 $B(1,1)$ 在抛物线 $y=ax^2$ 上，
$\therefore 1=a×1^2$，解得$a=1$。
$\therefore$ 抛物线所对应的函数解析式为 $y=x^2$。
(2) 存在点D，使得$S_{△ OAD}=S_{△ OBC}$，求解过程如下：
设 $D(x,x^2)$，
则 $S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|OA|·|y_D|=\frac{1}{2}×2· x^2=x^2$。
联立直线与抛物线的解析式$\begin{cases}y=-x+2\\y=x^2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=1\\y_1=1\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=4\end{cases}$，
$\therefore$ C点坐标为$(-2,4)$。
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ AOC}-S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×1=3$。
若 $S_{△ BOC}=S_{△ OAD}$，则 $x^2=3$，解得 $x=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点D的坐标为 $(-\sqrt{3},3)$ 或 $(\sqrt{3},3)$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式为$y=-x+2$，抛物线的解析式为$y=x^2$；
(2) 存在，点D的坐标为$(-\sqrt{3},3)$或$(\sqrt{3},3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了函数解析式求解、交点计算和面积类存在性问题，解题的核心是熟练掌握待定系数法的应用，学会利用坐标表示三角形的面积，解决存在性问题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
2. 如图26－2－4，抛物线$y=ax^2$与四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成的正方形ABCD有公共点。
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，求抛物线对应的函数解析式。
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，求抛物线对应的函数解析式。
答案
2.解:(1)因为四条直线 $x=1,x=2,y=1,y=2$ 围成正方形 ABCD，
所以 $A(1,2),C(2,1)$.
把 $A(1,2)$ 的坐标代入 $y=ax^2$,得 $a=2$；
把 $C(2,1)$ 的坐标代入 $y=ax^2$,得 $4a=1$,解得 $a=\frac{1}{4}$.
由题图可得 $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$,
(2)因为 $a$ 为整数且 $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$.
所以 $a=1$ 或 $a=2$,
所以抛物线对应的函数解析式为 $y=x^2$ 或 $y=2x^2$.
所以 $A(1,2),C(2,1)$.
把 $A(1,2)$ 的坐标代入 $y=ax^2$,得 $a=2$；
把 $C(2,1)$ 的坐标代入 $y=ax^2$,得 $4a=1$,解得 $a=\frac{1}{4}$.
由题图可得 $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$,
(2)因为 $a$ 为整数且 $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$.
所以 $a=1$ 或 $a=2$,
所以抛物线对应的函数解析式为 $y=x^2$ 或 $y=2x^2$.
解析
【分析】
要解决本题，首先确定正方形ABCD的顶点坐标，再结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：a＞0时，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大。抛物线与正方形有公共点的临界情况为抛物线刚好经过正方形的两个对角顶点：经过最高点A时a取最大值，经过最低点C时a取最小值，将两个临界点坐标代入解析式即可求出a的取值范围。第二问在第一问的取值范围内找出整数a，代入解析式即可得到对应函数表达式。
【解析】
(1) 由四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成正方形ABCD，可得顶点坐标为$A(1,2)$，$C(2,1)$。
将$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a×1^2$，解得$a=2$；
将$C(2,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×2^2$，即$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
结合图象可得，抛物线与正方形有公共点时，$\frac{1}{4}≤ a≤ 2$。
(2) 已知a为整数，且$\frac{1}{4}≤ a≤ 2$，因此符合条件的整数a为1或2。
代入$y=ax^2$，可得对应的函数解析式为$y=x^2$或$y=2x^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$
(2) $y=x^2$或$y=2x^2$
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求解析式，不等式的整数解
【点评】
本题是二次函数基础应用题，解题核心是抓住抛物线与正方形有交点的临界位置，通过代入特殊点坐标求解参数范围，需要掌握二次函数$y=ax^2$的开口大小与a的关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先确定正方形ABCD的顶点坐标，再结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：a＞0时，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大。抛物线与正方形有公共点的临界情况为抛物线刚好经过正方形的两个对角顶点：经过最高点A时a取最大值，经过最低点C时a取最小值，将两个临界点坐标代入解析式即可求出a的取值范围。第二问在第一问的取值范围内找出整数a，代入解析式即可得到对应函数表达式。
【解析】
(1) 由四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成正方形ABCD，可得顶点坐标为$A(1,2)$，$C(2,1)$。
将$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a×1^2$，解得$a=2$；
将$C(2,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×2^2$，即$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
结合图象可得，抛物线与正方形有公共点时，$\frac{1}{4}≤ a≤ 2$。
(2) 已知a为整数，且$\frac{1}{4}≤ a≤ 2$，因此符合条件的整数a为1或2。
代入$y=ax^2$，可得对应的函数解析式为$y=x^2$或$y=2x^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}≤ a≤ 2$
(2) $y=x^2$或$y=2x^2$
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求解析式，不等式的整数解
【点评】
本题是二次函数基础应用题，解题核心是抓住抛物线与正方形有交点的临界位置，通过代入特殊点坐标求解参数范围，需要掌握二次函数$y=ax^2$的开口大小与a的关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
