22. 如图,在$\triangle A B C$中,$C D \perp A B于点D, A C= 20, B C= 15, B D= 9$.
(1)求$C D$,$A D$的长度;
(2)判断$\triangle A B C$的形状,并说明理由.
$\triangle ABC$为。理由如下：$\because AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$，$\therefore AB^{2} = 25^{2} = 625$。$\because AC^{2} + BC^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 625$。$\therefore AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。$\therefore \triangle ABC$为直角三角形。

解：(1) $ \because CD \perp AB $，$ \therefore \angle CDB = \angle CDA = 90^{\circ} $。$ \therefore $ 在 $ Rt\triangle BCD $ 中，$ CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = 12 $。$ \therefore $ 在 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = 16 $。(2) $ \triangle ABC $ 为直角三角形。理由如下：$ \because AB = AD + BD = 16 + 9 = 25 $，$ \therefore AB^{2} = 25^{2} = 625 $。$ \because AC^{2} + BC^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 625 $。$ \therefore AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} $。$ \therefore \triangle ABC $ 为直角三角形。

23. 如图,$A E // B F, A C平分\angle B A E$,交$B F于点C, B D平分\angle A B F交A E于点D$,连接$C D$.求证:四边形$A B C D$是菱形.

证明：$ \because AE // BF $，$ \therefore \angle ADB = \angle CBD $。$ \because BD $ 平分 $ \angle ABF $，$ \therefore \angle ABD = \angle CBD $。$ \therefore \angle ABD = \angle ADB $。$ \therefore AB = AD $。同理可证 $ AB = BC $。$ \therefore AD = BC $。$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形。又 $ \because AB = AD $，$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形。

24. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”,初、高中部根据初赛成绩各选出 5 名选手组成初中和高中两个代表队参加学校决赛,两个代表队各选出的 5 名选手的决赛成绩如条形统计图所示.根据 5 名选手的决赛成绩的条形统计图绘制的关于平均数、中位数、众数及方差的统计表如下所示.

| |平均数|中位数|众数|方差|
|初中|$a$|85|$b$|$s^2$|
|高中|85|$c$|100|160|
(1)根据条形统计图计算出$a, b, c$的值:$a= $,$b= $,$c= $.
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析,哪个代表队选手的成绩较好?
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差$s^2$,并判断哪个代表队选手的成绩较稳定.

解：(1)85 85 80 (2)从平均数来看，初中和高中代表队选手的成绩相同；从中位数来看，初中代表队选手的成绩要好于高中代表队选手的成绩。$ \therefore $ 初中代表队选手的成绩较好。(3) $ s^{2} = \frac{1}{5} × [(75 - 85)^{2} + (80 - 85)^{2} + (85 - 85)^{2} + (85 - 85)^{2} + (100 - 85)^{2}] = 70 $。$ \because 70 ＜ 160 $，$ \therefore $ 初中代表队选手的成绩较稳定。