登录
25. 已知一次函数$y_1= a x+6和y_2= -x+b的图象交于点P(1,2)$,与坐标轴的交点分别是$A, B, C, D$.
(1)直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l}a x-y= -6, \\ y+x= b\end{array} \right.$的解:
(2)求$\triangle P C D$的面积:
(3)请根据图象直接写出当$y_1＞y_2时x$的取值范围:
(1)直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l}a x-y= -6, \\ y+x= b\end{array} \right.$的解:
$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
;(2)求$\triangle P C D$的面积:
$\frac{3}{2}$
;(3)请根据图象直接写出当$y_1＞y_2时x$的取值范围:
$x＜1$
.答案
解：(1) $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2. \end{cases} $ (2)将 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $ 代入方程组，得 $ \begin{cases} a - 2 = -6, \\ 2 + 1 = b. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -4, \\ b = 3. \end{cases} $ $ \therefore y_{1} = -4x + 6 $，$ y_{2} = -x + 3 $。$ \therefore C(\frac{3}{2}, 0) $，$ D(3, 0) $。$ \therefore S_{\triangle PCD} = \frac{1}{2} × 2 × (3 - \frac{3}{2}) = \frac{3}{2} $。(3) $ x ＜ 1 $。
26. 如图甲,四边形$A B C D$是正方形,$G是B C$上的任意一点,$D E \perp A G于点E, B F // D E$,且交$A G于点F$.求证:$D E-B F= E F$.
(1)小刚解答这个问题的过程如下:
证明:在正方形$A B C D$中,$A D= A B, \angle B A D= \angle B A F+\angle E A D= 90^{\circ}$.
$\because D E \perp A G$,
$\therefore \angle A E D= 90^{\circ}$.
$\therefore \angle E A D+\angle A D E= 90^{\circ}$.
$\therefore \angle A D E= \angle B A F$.
$\therefore \triangle A E D \cong \triangle B F A(\mathrm{AAS})$.
$\therefore A E= B F, D E= A F$.
$\because A F-A E= E F$,
$\therefore D E-B F= E F$.
张老师指出小刚的证明过程不够严谨,需要在“$\therefore \angle A D E= \angle B A F$”与“$\therefore \triangle A E D \cong \triangle B F A(\mathrm{AAS})$”之间作补充,请你写出需要补充的内容.
(2)若$G是C B$的延长线上一点,其余条件不变,如图乙所示,猜想$D E, B F, E F$之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)若$G是B C$的延长线上一点,其余条件不变,请直接写$D E, B F, E F$之间的数量关系.
(1)小刚解答这个问题的过程如下:
证明:在正方形$A B C D$中,$A D= A B, \angle B A D= \angle B A F+\angle E A D= 90^{\circ}$.
$\because D E \perp A G$,
$\therefore \angle A E D= 90^{\circ}$.
$\therefore \angle E A D+\angle A D E= 90^{\circ}$.
$\therefore \angle A D E= \angle B A F$.
$\because BF // DE $，$ \therefore \angle BFA = \angle AED = 90^{\circ} $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle BFA $ 中，$ \begin{cases} \angle AED = \angle BFA, \\ \angle ADE = \angle BAF, \\ AD = AB, \end{cases} $
$\therefore \triangle A E D \cong \triangle B F A(\mathrm{AAS})$.
$\therefore A E= B F, D E= A F$.
$\because A F-A E= E F$,
$\therefore D E-B F= E F$.
张老师指出小刚的证明过程不够严谨,需要在“$\therefore \angle A D E= \angle B A F$”与“$\therefore \triangle A E D \cong \triangle B F A(\mathrm{AAS})$”之间作补充,请你写出需要补充的内容.
(2)若$G是C B$的延长线上一点,其余条件不变,如图乙所示,猜想$D E, B F, E F$之间的数量关系,并证明你的结论.
猜想：$ DE + BF = EF $。证明：$ \because DE \perp AG $，$ \therefore \angle E = 90^{\circ} $。$ \because BF // DE $，$ \therefore \angle AFB + \angle E = 180^{\circ} $。$ \therefore \angle AFB = 90^{\circ} $。$ \therefore \angle BAF + \angle ABF = 90^{\circ} $。在正方形 $ ABCD $ 中，$ \angle BAD = 90^{\circ} $，$ AD = AB $，$ \therefore \angle BAF + \angle DAE = 90^{\circ} $。$ \therefore \angle ABF = \angle DAE $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle BFA $ 中，$ \begin{cases} \angle E = \angle AFB, \\ \angle DAE = \angle ABF, \\ AD = BA, \end{cases} $ $ \therefore \triangle AED \cong \triangle BFA (AAS) $。$ \therefore DE = AF $，$ AE = BF $。$ \because AF + AE = EF $，$ \therefore DE + BF = EF $。
(3)若$G是B C$的延长线上一点,其余条件不变,请直接写$D E, B F, E F$之间的数量关系.
$ BF - DE = EF $
答案
解：(1)补充内容：$ \because BF // DE $，$ \therefore \angle BFA = \angle AED = \angle DEF = 90^{\circ} $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle BFA $ 中，$ \begin{cases} \angle AED = \angle BFA, \\ \angle ADE = \angle BAF, \\ AD = AB, \end{cases} $ (2)猜想：$ DE + BF = EF $。证明：$ \because DE \perp AG $，$ \therefore \angle E = 90^{\circ} $。$ \because BF // DE $，$ \therefore \angle AFB + \angle E = 180^{\circ} $。$ \therefore \angle AFB = 90^{\circ} $。$ \therefore \angle BAF + \angle ABF = 90^{\circ} $。在正方形 $ ABCD $ 中，$ \angle BAD = 90^{\circ} $，$ AD = AB $，$ \therefore \angle BAF + \angle DAE = 90^{\circ} $。$ \therefore \angle ABF = \angle DAE $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle BFA $ 中，$ \begin{cases} \angle E = \angle AFB, \\ \angle DAE = \angle ABF, \\ AD = BA, \end{cases} $ $ \therefore \triangle AED \cong \triangle BFA (AAS) $。$ \therefore DE = AF $，$ AE = BF $。$ \because AF + AE = EF $，$ \therefore DE + BF = EF $。(3) $ BF - DE = EF $。
