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8. 如图，在$4×2$的正方形网格中，在$A,B,C,D$四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
B
解析
【分析】
这道题是概率计算与等腰三角形判定的结合题，解题分三步开展：首先计算从4个点中任选3个点的所有等可能情况总数；其次设小正方形边长为1，用勾股定理计算任意两点之间的距离，逐一判断每种选点组合是否能构成等腰三角形，统计符合条件的情况数；最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
从A、B、C、D四个点中任选三个点，共有4种等可能的选法，分别是：①ABC、②ABD、③ACD、④BCD。
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点间距离：
$AB=1$，$AC=2$，$AD=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(3-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{(3-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$。
逐一判断：
①选ABC：三边长为1、2、$\sqrt{5}$，无相等边，不是等腰三角形；
②选ABD：三边长为1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，无相等边，不是等腰三角形；
③选ACD：三边长为2、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$，有两边相等，是等腰三角形；
④选BCD：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$，有两边相等，是等腰三角形。
符合条件的情况共2种，因此概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；概率公式；勾股定理
【点评】
本题将网格几何判定与概率计算结合，解题关键是完整枚举所有选点情况，利用勾股定理准确计算边长，避免漏算或错判等腰三角形。
【难度系数】
0.6
这道题是概率计算与等腰三角形判定的结合题，解题分三步开展：首先计算从4个点中任选3个点的所有等可能情况总数；其次设小正方形边长为1，用勾股定理计算任意两点之间的距离，逐一判断每种选点组合是否能构成等腰三角形，统计符合条件的情况数；最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
从A、B、C、D四个点中任选三个点，共有4种等可能的选法，分别是：①ABC、②ABD、③ACD、④BCD。
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点间距离：
$AB=1$，$AC=2$，$AD=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(3-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{(3-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$。
逐一判断：
①选ABC：三边长为1、2、$\sqrt{5}$，无相等边，不是等腰三角形；
②选ABD：三边长为1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，无相等边，不是等腰三角形；
③选ACD：三边长为2、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$，有两边相等，是等腰三角形；
④选BCD：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$，有两边相等，是等腰三角形。
符合条件的情况共2种，因此概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；概率公式；勾股定理
【点评】
本题将网格几何判定与概率计算结合，解题关键是完整枚举所有选点情况，利用勾股定理准确计算边长，避免漏算或错判等腰三角形。
【难度系数】
0.6
9. 从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为$a,c$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 4x + c = 0$有实数解的概率为（）
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先明确一元二次方程有实数解的判定条件，利用根的判别式列出a和c满足的不等式；第二步，用列举法算出从4个数中选取两个不同的数分别作为a、c的所有等可能情况总数；第三步，找出满足不等式的(a,c)组合数，再根据“概率=满足条件的情况数÷总情况数”计算最终概率。
【解析】
1. 确定方程有实根的条件：
对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，有实根需满足判别式$\Delta ≥ 0$且$a≠ 0$（本题a取自1~4，自然满足a≠0）。
代入判别式公式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac ≥ 0$，
化简得：$ac ≤ 4$。
2. 计算所有等可能的情况总数：
从1,2,3,4中随机选两个不同的数分别作为a、c，所有可能的组合为：
$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)$，共12种等可能结果。
3. 找出满足$ac ≤ 4$的情况：
逐一验证得符合条件的组合为：$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)$，共6种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{方程有实数解}) = \frac{\mathrm{满足条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；简单事件概率计算
【点评】
本题是方程与概率的基础综合题，既考查了对一元二次方程根的判定规则的掌握，也考查了枚举法求概率的应用，解题时需注意有序选取a、c时不要漏算或重复计算情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先明确一元二次方程有实数解的判定条件，利用根的判别式列出a和c满足的不等式；第二步，用列举法算出从4个数中选取两个不同的数分别作为a、c的所有等可能情况总数；第三步，找出满足不等式的(a,c)组合数，再根据“概率=满足条件的情况数÷总情况数”计算最终概率。
【解析】
1. 确定方程有实根的条件：
对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，有实根需满足判别式$\Delta ≥ 0$且$a≠ 0$（本题a取自1~4，自然满足a≠0）。
代入判别式公式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac ≥ 0$，
化简得：$ac ≤ 4$。
2. 计算所有等可能的情况总数：
从1,2,3,4中随机选两个不同的数分别作为a、c，所有可能的组合为：
$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)$，共12种等可能结果。
3. 找出满足$ac ≤ 4$的情况：
逐一验证得符合条件的组合为：$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)$，共6种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{方程有实数解}) = \frac{\mathrm{满足条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；简单事件概率计算
【点评】
本题是方程与概率的基础综合题，既考查了对一元二次方程根的判定规则的掌握，也考查了枚举法求概率的应用，解题时需注意有序选取a、c时不要漏算或重复计算情况。
【难度系数】
0.7
10. 某AI基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究:双眼皮由显性基因R控制,单眼皮由隐性基因r控制.基因型RR,Rr表现为双眼皮,rr表现为单眼皮.父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女.若父母基因型均为Rr,则子女为双眼皮的概率为 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道结合生物基因遗传背景的概率计算题，解题思路如下：首先用列举法列出父母将基因遗传给子女的所有等可能的基因型结果，再根据题干中“基因型RR、Rr表现为双眼皮”的规则，筛选出符合双眼皮条件的结果数，最后依据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
已知父母基因型均为Rr，二人各自随机将一对基因中的一个遗传给子女，所有等可能的基因组合如下：
1. 父亲遗传R、母亲遗传R：子女基因型为RR，表现为双眼皮
2. 父亲遗传R、母亲遗传r：子女基因型为Rr，表现为双眼皮
3. 父亲遗传r、母亲遗传R：子女基因型为Rr，表现为双眼皮
4. 父亲遗传r、母亲遗传r：子女基因型为rr，表现为单眼皮
总共有4种等可能的结果，其中子女为双眼皮的结果共3种，因此子女为双眼皮的概率为$\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合单双眼皮遗传的生活背景考查概率计算，解题的核心是不重不漏地列出所有等可能的基因组合，再结合显隐性表现规则筛选结果即可，体现了数学在跨学科场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
这是一道结合生物基因遗传背景的概率计算题，解题思路如下：首先用列举法列出父母将基因遗传给子女的所有等可能的基因型结果，再根据题干中“基因型RR、Rr表现为双眼皮”的规则，筛选出符合双眼皮条件的结果数，最后依据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
已知父母基因型均为Rr，二人各自随机将一对基因中的一个遗传给子女，所有等可能的基因组合如下：
1. 父亲遗传R、母亲遗传R：子女基因型为RR，表现为双眼皮
2. 父亲遗传R、母亲遗传r：子女基因型为Rr，表现为双眼皮
3. 父亲遗传r、母亲遗传R：子女基因型为Rr，表现为双眼皮
4. 父亲遗传r、母亲遗传r：子女基因型为rr，表现为单眼皮
总共有4种等可能的结果，其中子女为双眼皮的结果共3种，因此子女为双眼皮的概率为$\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合单双眼皮遗传的生活背景考查概率计算，解题的核心是不重不漏地列出所有等可能的基因组合，再结合显隐性表现规则筛选结果即可，体现了数学在跨学科场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
11. 小聪和小明两位同学玩“石头剪刀布”的游戏，他们随机出手一次是平局的概率是.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
要计算随机出手一次是平局的概率，属于古典概型的概率计算问题，解题步骤如下：第一步先确定两人随机出手的所有等可能结果总数；第二步找出两人出手平局对应的结果数；第三步代入古典概型概率公式“事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法列出所有等可能的结果（小聪的出手在前，小明的出手在后）：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布），
共9种等可能的结果。
其中平局的情况为两人出手相同，共有（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）3种结果。
根据概率计算公式可得，平局的概率 $P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
古典概型，概率计算公式，列举法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对简单随机事件概率的求解能力，解题的关键是要不重不漏地枚举出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算随机出手一次是平局的概率，属于古典概型的概率计算问题，解题步骤如下：第一步先确定两人随机出手的所有等可能结果总数；第二步找出两人出手平局对应的结果数；第三步代入古典概型概率公式“事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法列出所有等可能的结果（小聪的出手在前，小明的出手在后）：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布），
共9种等可能的结果。
其中平局的情况为两人出手相同，共有（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）3种结果。
根据概率计算公式可得，平局的概率 $P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
古典概型，概率计算公式，列举法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对简单随机事件概率的求解能力，解题的关键是要不重不漏地枚举出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图，一飞镖游戏板由大小相同的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是。
答案
解：设每个小正方形的边长为1，则每个小正方形的面积为1。
观察图形可得，游戏板的总面积为$5 × 2 = 10$。
黑色区域为三角形，底边长为3，高为2，其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
因此，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是$\frac{3}{10}$。
$\boxed{\dfrac{3}{10}}$
观察图形可得，游戏板的总面积为$5 × 2 = 10$。
黑色区域为三角形，底边长为3，高为2，其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
因此，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是$\frac{3}{10}$。
$\boxed{\dfrac{3}{10}}$
解析
【分析】
这是几何概率类题目，解题核心逻辑是：击中黑色区域的概率=黑色区域面积÷游戏板总面积。我们可以先设每个小正方形边长为1简化面积计算，第一步先求游戏板的总面积，第二步利用三角形面积公式求出黑色区域的面积，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，则每个小正方形的面积为1。
观察图形可知，游戏板由2行5列的小正方形组成，总面积为$5 × 2 = 10$。
黑色区域为三角形，底边长为3，高为2，根据三角形面积公式可得其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
因此随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率为黑色区域面积与游戏板总面积的比值，即$\frac{3}{10}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{3}{10}}$
【知识点】
几何概率、三角形面积计算、概率公式
【点评】
本题考查几何概率的基础应用，解题关键是准确计算总区域和目标黑色区域的面积，属于常规基础题，掌握面积计算公式和概率求解规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
这是几何概率类题目，解题核心逻辑是：击中黑色区域的概率=黑色区域面积÷游戏板总面积。我们可以先设每个小正方形边长为1简化面积计算，第一步先求游戏板的总面积，第二步利用三角形面积公式求出黑色区域的面积，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，则每个小正方形的面积为1。
观察图形可知，游戏板由2行5列的小正方形组成，总面积为$5 × 2 = 10$。
黑色区域为三角形，底边长为3，高为2，根据三角形面积公式可得其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
因此随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率为黑色区域面积与游戏板总面积的比值，即$\frac{3}{10}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{3}{10}}$
【知识点】
几何概率、三角形面积计算、概率公式
【点评】
本题考查几何概率的基础应用，解题关键是准确计算总区域和目标黑色区域的面积，属于常规基础题，掌握面积计算公式和概率求解规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
13. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是$\frac{1}{4}$，则n=. 
第12小题图
第12小题图答案
解：根据题意，布袋中球的总数量为$4+n$，
由摸到白球的概率为$\frac{1}{4}$，可得：
$\frac{4}{4+n}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：
$4+n=16$
解得：
$n=12$
经检验，$n=12$是原方程的解，且符合实际意义。
故答案为$\boldsymbol{12}$。
由摸到白球的概率为$\frac{1}{4}$，可得：
$\frac{4}{4+n}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：
$4+n=16$
解得：
$n=12$
经检验，$n=12$是原方程的解，且符合实际意义。
故答案为$\boldsymbol{12}$。
解析
【分析】
这道题考查概率公式的应用与分式方程的求解，解题思路如下：首先明确简单事件概率的计算方法：某事件发生的概率等于该事件对应的数量除以总数量。本题中摸到白球的概率=白球的个数÷袋中球的总个数，已知白球个数是4，黄球个数是n，总球数就是4+n，结合题目给出的白球概率为$\frac{1}{4}$，即可列出分式方程，再求解方程并检验解是否符合实际意义就能得到n的值。
【解析】
首先，布袋中球的总数量为白球数量加黄球数量，即$(4+n)$个；
根据概率公式，摸到白球的概率=白球个数÷总球数，结合题意可得：
$\frac{4}{4+n}=\frac{1}{4}$
交叉相乘去分母得：
$4×4=4+n$
即$16=4+n$
移项解得：$n=12$
检验：将$n=12$代入原方程分母$4+n=16≠0$，因此$n=12$是原分式方程的解，且黄球数量为正整数，符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
概率的计算；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握概率的计算方法，找准等量关系列方程求解，求解分式方程后要注意检验解的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
这道题考查概率公式的应用与分式方程的求解，解题思路如下：首先明确简单事件概率的计算方法：某事件发生的概率等于该事件对应的数量除以总数量。本题中摸到白球的概率=白球的个数÷袋中球的总个数，已知白球个数是4，黄球个数是n，总球数就是4+n，结合题目给出的白球概率为$\frac{1}{4}$，即可列出分式方程，再求解方程并检验解是否符合实际意义就能得到n的值。
【解析】
首先，布袋中球的总数量为白球数量加黄球数量，即$(4+n)$个；
根据概率公式，摸到白球的概率=白球个数÷总球数，结合题意可得：
$\frac{4}{4+n}=\frac{1}{4}$
交叉相乘去分母得：
$4×4=4+n$
即$16=4+n$
移项解得：$n=12$
检验：将$n=12$代入原方程分母$4+n=16≠0$，因此$n=12$是原分式方程的解，且黄球数量为正整数，符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
概率的计算；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握概率的计算方法，找准等量关系列方程求解，求解分式方程后要注意检验解的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
14. 不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数－4，－2，3，5. 从盒子中随机抽取一个小球，数记为a，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为b，则点$(a,a+b)$在第一象限的概率为.
答案
解：
第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，因此点$(a,a+b)$在第一象限需满足$a＞0$且$a+b＞0$。
所有等可能出现的$(a,b)$结果共12种，分别为：
$(-4,-2),(-4,3),(-4,5),(-2,-4),(-2,3),(-2,5),(3,-4),(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
其中满足$a＞0$且$a+b＞0$的结果共5种，分别为$(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
因此所求概率$P=\frac{5}{12}$。
第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，因此点$(a,a+b)$在第一象限需满足$a＞0$且$a+b＞0$。
所有等可能出现的$(a,b)$结果共12种，分别为：
$(-4,-2),(-4,3),(-4,5),(-2,-4),(-2,3),(-2,5),(3,-4),(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
其中满足$a＞0$且$a+b＞0$的结果共5种，分别为$(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
因此所求概率$P=\frac{5}{12}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先回忆第一象限内点的坐标特征，推导点$(a,a+b)$在第一象限需要满足的条件；第二步，明确这是不放回的两次抽取，列举出所有等可能的$(a,b)$结果，算出总情况数；第三步，从所有结果中筛选出满足第一象限条件的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算出概率即可。
【解析】
首先，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，因此点$(a,a+b)$在第一象限需满足$a＞0$且$a+b＞0$。
从4个小球中不放回随机抽取2个，所有等可能出现的$(a,b)$结果共$4×3=12$种，分别为：
$(-4,-2),(-4,3),(-4,5),(-2,-4),(-2,3),(-2,5),(3,-4),(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
从中筛选满足$a＞0$且$a+b＞0$的结果：
当$a=3$时，符合条件的$b$为$-2、5$，对应结果为$(3,-2),(3,5)$；
当$a=5$时，符合条件的$b$为$-4、-2、3$，对应结果为$(5,-4),(5,-2),(5,3)$；
合计满足条件的结果共5种。
因此所求概率$P=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
1. 第一象限点的坐标特征
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题结合了平面直角坐标系和概率的知识点，解题关键是先确定点在第一象限的限制条件，再准确列举所有不放回抽取的等可能结果，要注意区分放回抽样和不放回抽样的差异，避免漏算、多算结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先回忆第一象限内点的坐标特征，推导点$(a,a+b)$在第一象限需要满足的条件；第二步，明确这是不放回的两次抽取，列举出所有等可能的$(a,b)$结果，算出总情况数；第三步，从所有结果中筛选出满足第一象限条件的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算出概率即可。
【解析】
首先，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，因此点$(a,a+b)$在第一象限需满足$a＞0$且$a+b＞0$。
从4个小球中不放回随机抽取2个，所有等可能出现的$(a,b)$结果共$4×3=12$种，分别为：
$(-4,-2),(-4,3),(-4,5),(-2,-4),(-2,3),(-2,5),(3,-4),(3,-2),(3,5),(5,-4),(5,-2),(5,3)$。
从中筛选满足$a＞0$且$a+b＞0$的结果：
当$a=3$时，符合条件的$b$为$-2、5$，对应结果为$(3,-2),(3,5)$；
当$a=5$时，符合条件的$b$为$-4、-2、3$，对应结果为$(5,-4),(5,-2),(5,3)$；
合计满足条件的结果共5种。
因此所求概率$P=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
1. 第一象限点的坐标特征
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题结合了平面直角坐标系和概率的知识点，解题关键是先确定点在第一象限的限制条件，再准确列举所有不放回抽取的等可能结果，要注意区分放回抽样和不放回抽样的差异，避免漏算、多算结果。
【难度系数】
0.6
15. 有6张正面分别标有数字$-2,0,2,4,6,8$的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同. 先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为$a$，则关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞3x-4, \\ 3x-a＞5\end{cases}$有实数解的概率为 ______ .
答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步先求解给定的一元一次不等式组，第二步根据“不等式组有实数解”的条件求出参数a的取值范围，第三步从给出的6个数字中找出符合取值范围的a的个数，最后利用概率公式计算概率。
【解析】
1. 解不等式组中的第一个不等式：
$x ＞ 3x - 4$
移项得：$x - 3x ＞ -4$
合并同类项得：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
2. 解不等式组中的第二个不等式：
$3x - a ＞ 5$
移项得：$3x ＞ a + 5$
系数化为1得：$x ＞ \frac{a+5}{3}$
3. 因为不等式组有实数解，所以两个解集有公共部分，即：
$\frac{a+5}{3} ＜ 2$
解这个关于a的不等式：
两边同乘3得：$a + 5 ＜ 6$
解得：$a ＜ 1$
4. 在给出的6个数字$-2,0,2,4,6,8$中，满足$a ＜ 1$的数有$-2,0$，共2个。
5. 根据概率公式，随机事件发生的概率 = 符合条件的情况数÷总情况数，因此所求概率为$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 概率公式
【点评】
本题是不等式组与概率的综合基础题，解题核心是熟练掌握不等式组的求解规则和有解的判定条件，再结合古典概型的计算方法即可得出结果，解题时需注意解不等式时不等号方向的变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步先求解给定的一元一次不等式组，第二步根据“不等式组有实数解”的条件求出参数a的取值范围，第三步从给出的6个数字中找出符合取值范围的a的个数，最后利用概率公式计算概率。
【解析】
1. 解不等式组中的第一个不等式：
$x ＞ 3x - 4$
移项得：$x - 3x ＞ -4$
合并同类项得：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
2. 解不等式组中的第二个不等式：
$3x - a ＞ 5$
移项得：$3x ＞ a + 5$
系数化为1得：$x ＞ \frac{a+5}{3}$
3. 因为不等式组有实数解，所以两个解集有公共部分，即：
$\frac{a+5}{3} ＜ 2$
解这个关于a的不等式：
两边同乘3得：$a + 5 ＜ 6$
解得：$a ＜ 1$
4. 在给出的6个数字$-2,0,2,4,6,8$中，满足$a ＜ 1$的数有$-2,0$，共2个。
5. 根据概率公式，随机事件发生的概率 = 符合条件的情况数÷总情况数，因此所求概率为$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 概率公式
【点评】
本题是不等式组与概率的综合基础题，解题核心是熟练掌握不等式组的求解规则和有解的判定条件，再结合古典概型的计算方法即可得出结果，解题时需注意解不等式时不等号方向的变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)把一副普通的扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,求下列事件发生的概率:
(1)抽得点数6;(2)抽得点数小于5;(3)抽得黑桃.
16.(6分)把一副普通的扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,求下列事件发生的概率:
(1)抽得点数6;(2)抽得点数小于5;(3)抽得黑桃.
答案
解：
从中随机抽取1张，共有13种等可能的结果。
(1) 抽得点数6的结果只有1种，
$P(\mathrm{抽得点数}6)=\frac{1}{13}$。
(2) 点数小于5的牌共4张，对应4种等可能的结果，
$P(\mathrm{抽得点数小于}5)=\frac{4}{13}$。
(3) 这13张牌全部都是黑桃，抽得黑桃的结果共13种，
$P(\mathrm{抽得黑桃})=\frac{13}{13}=1$。
从中随机抽取1张，共有13种等可能的结果。
(1) 抽得点数6的结果只有1种，
$P(\mathrm{抽得点数}6)=\frac{1}{13}$。
(2) 点数小于5的牌共4张，对应4种等可能的结果，
$P(\mathrm{抽得点数小于}5)=\frac{4}{13}$。
(3) 这13张牌全部都是黑桃，抽得黑桃的结果共13种，
$P(\mathrm{抽得黑桃})=\frac{13}{13}=1$。
解析
【分析】
这是等可能事件的概率计算问题，核心运用古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$求解，其中$n$为所有等可能的结果总数，$m$为事件$A$包含的符合条件的结果数。首先确定总样本：13张黑桃牌随机抽1张，共有13种等可能的结果。再分别分析三个事件：(1)统计点数为6的牌的数量；(2)统计点数小于5的牌的数量（含A、2、3、4共4种）；(3)判断所有牌的花色均为黑桃，对应结果数等于总结果数，最后分别代入公式计算即可。
【解析】
解：把13张黑桃牌洗匀后随机抽取1张，共有13种等可能的结果。
(1) 抽得点数6的结果只有1种，
$P(\mathrm{抽得点数}6)=\frac{1}{13}$。
(2) 点数小于5的牌共4张，对应4种等可能的结果，
$P(\mathrm{抽得点数小于}5)=\frac{4}{13}$。
(3) 这13张牌全部都是黑桃，抽得黑桃的结果共13种，
$P(\mathrm{抽得黑桃})=\frac{13}{13}=1$。
【答案】
(1)$\frac{1}{13}$；(2)$\frac{4}{13}$；(3)$1$
【知识点】
古典概型概率计算；等可能事件；必然事件
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查等可能事件概率的求解方法，解题关键是准确统计总结果数和各事件对应的符合条件的结果数，易得分。
【难度系数】
0.9
这是等可能事件的概率计算问题，核心运用古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$求解，其中$n$为所有等可能的结果总数，$m$为事件$A$包含的符合条件的结果数。首先确定总样本：13张黑桃牌随机抽1张，共有13种等可能的结果。再分别分析三个事件：(1)统计点数为6的牌的数量；(2)统计点数小于5的牌的数量（含A、2、3、4共4种）；(3)判断所有牌的花色均为黑桃，对应结果数等于总结果数，最后分别代入公式计算即可。
【解析】
解：把13张黑桃牌洗匀后随机抽取1张，共有13种等可能的结果。
(1) 抽得点数6的结果只有1种，
$P(\mathrm{抽得点数}6)=\frac{1}{13}$。
(2) 点数小于5的牌共4张，对应4种等可能的结果，
$P(\mathrm{抽得点数小于}5)=\frac{4}{13}$。
(3) 这13张牌全部都是黑桃，抽得黑桃的结果共13种，
$P(\mathrm{抽得黑桃})=\frac{13}{13}=1$。
【答案】
(1)$\frac{1}{13}$；(2)$\frac{4}{13}$；(3)$1$
【知识点】
古典概型概率计算；等可能事件；必然事件
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查等可能事件概率的求解方法，解题关键是准确统计总结果数和各事件对应的符合条件的结果数，易得分。
【难度系数】
0.9
17.(8分)袋中共有5个大小相同的红球、白球，任意摸出一球为红球的概率是$\frac{2}{5}$。
(1)袋中红球、白球各有几个？
(2)任意摸出两球(不放回)均为红球的概率是多少？
(1)袋中红球、白球各有几个？
(2)任意摸出两球(不放回)均为红球的概率是多少？
答案
解：
(1) 袋中红球的个数为：$5×\frac{2}{5}=2$（个）
袋中白球的个数为：$5-2=3$（个）
(2) 记2个红球为红₁、红₂，3个白球为白₁、白₂、白₃，不放回摸出两球的所有等可能结果共20种，分别为：
$(红\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(红\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_2)$
其中两球均为红球的结果有2种，
因此任意摸出两球（不放回）均为红球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
答：(1) 袋中红球有2个，白球有3个；(2) 任意摸出两球（不放回）均为红球的概率是$\frac{1}{10}$。
(1) 袋中红球的个数为：$5×\frac{2}{5}=2$（个）
袋中白球的个数为：$5-2=3$（个）
(2) 记2个红球为红₁、红₂，3个白球为白₁、白₂、白₃，不放回摸出两球的所有等可能结果共20种，分别为：
$(红\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(红\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_2)$
其中两球均为红球的结果有2种，
因此任意摸出两球（不放回）均为红球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
答：(1) 袋中红球有2个，白球有3个；(2) 任意摸出两球（不放回）均为红球的概率是$\frac{1}{10}$。
解析
【分析】
（1）第一问根据概率的基本定义，摸出红球的概率=红球个数÷总球数，已知总球数和摸红球的概率，反过来求红球个数，直接用总球数乘概率即可，再用总球数减去红球个数得到白球个数。
（2）第二问是不放回摸两个球的概率计算，属于等可能事件概率求解，我们可以通过列举法列出所有不放回摸两球的等可能结果，再统计其中两个都是红球的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
(1) 已知袋中总共有5个球，摸出红球的概率是$\frac{2}{5}$，根据概率公式可得：
袋中红球的个数为：$5×\frac{2}{5}=2$（个）
袋中白球的个数为：$5-2=3$（个）
(2) 记2个红球为红₁、红₂，3个白球为白₁、白₂、白₃，不放回摸出两球的所有等可能结果共20种，分别为：
$(红\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(红\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_2)$
其中两球均为红球的结果有2种，
因此任意摸出两球（不放回）均为红球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) 袋中红球有2个，白球有3个；(2) 任意摸出两球（不放回）均为红球的概率是$\frac{1}{10}$。
【知识点】
概率公式应用，列举法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，第一问直接考察概率基本公式的逆用，难度较低；第二问考察不放回抽样的概率求解，解题时需要注意不放回抽样的总情况数和有放回的区别，避免因计数错误失分，掌握列举法计数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问根据概率的基本定义，摸出红球的概率=红球个数÷总球数，已知总球数和摸红球的概率，反过来求红球个数，直接用总球数乘概率即可，再用总球数减去红球个数得到白球个数。
（2）第二问是不放回摸两个球的概率计算，属于等可能事件概率求解，我们可以通过列举法列出所有不放回摸两球的等可能结果，再统计其中两个都是红球的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
(1) 已知袋中总共有5个球，摸出红球的概率是$\frac{2}{5}$，根据概率公式可得：
袋中红球的个数为：$5×\frac{2}{5}=2$（个）
袋中白球的个数为：$5-2=3$（个）
(2) 记2个红球为红₁、红₂，3个白球为白₁、白₂、白₃，不放回摸出两球的所有等可能结果共20种，分别为：
$(红\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(红\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_2),(红\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_1,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_1,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_2,白\_\_\_\_\_\_3),$
$(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,红\_\_\_\_\_\_2),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_1),(白\_\_\_\_\_\_3,白\_\_\_\_\_\_2)$
其中两球均为红球的结果有2种，
因此任意摸出两球（不放回）均为红球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) 袋中红球有2个，白球有3个；(2) 任意摸出两球（不放回）均为红球的概率是$\frac{1}{10}$。
【知识点】
概率公式应用，列举法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，第一问直接考察概率基本公式的逆用，难度较低；第二问考察不放回抽样的概率求解，解题时需要注意不放回抽样的总情况数和有放回的区别，避免因计数错误失分，掌握列举法计数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
