1.估算一个带根号的无理数的大致范围:如$\sqrt{x}(x＞0)$，一般地要找到与$x$最接近的两个正数$a$，$b(a,b$均能开平方$)$，由$a＜x＜b$得$＜\sqrt{x}＜$，从而确定$\sqrt{x}$的大致范围。

1. √a ；√b

例1 估算下列数的大小(误差小于0.1):
(1)$\sqrt{46}$； (2)$\sqrt[3]{18}$。
思路提示 估算无理数的大小,先确定是几位数,再确定最高位上的数字,然后确定下一位上的数字,直到确定出题中所需要的位数上的数字.
尝试解答
小结反思 解答上述问题的依据是开平方、开立方的概念,主要采取两边夹逼的方法,逐级确定数量级,向被开方数逼近,进而确定无理数的取值范围。

(1) $\because 7^2 = 49, 6^2 = 36, 6.8^2 = 46.24,6.7^2=44.89$，
$\therefore$估计$\sqrt{46}$精确到0.1为6.8。
(2) $\because 2.6^3=17.576,2.7^3=19.683$，
$\therefore \sqrt[3]{18}$精确到0.1为2.6。

例2 比较下列各组数的大小：
(1)$\frac{\sqrt{11}-3}{7}$与$\frac{1}{7}$； (2)$\frac{\sqrt{2}}{3}$与$\frac{\sqrt{3}}{4}$。
尝试解答
小结反思 (1)可用估算法或求差法比较；(2)可用平方法比较。
变式训练 比较大小：
(1)1 $\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{3}$ $-1$；(3)3 $\sqrt{8}$；(4)$-\sqrt{12}$ $-4$。

(1) $\frac{\sqrt{11}-3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{11}-4}{7}$。
$\because \sqrt{11}＜4,\therefore \sqrt{11}-3＜1$。
$\therefore \frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}$。
(2) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^2=\frac{2}{9},(\frac{\sqrt{3}}{4})^2=\frac{3}{16}$。
$\because \frac{2}{9}＞\frac{3}{16}$，
$\therefore \frac{\sqrt{2}}{3}＞\frac{\sqrt{3}}{4}$。
变式训练
(1) ＜
(2) ＜
(3) ＞
(4) ＞

1. 估计$\sqrt{10}$的值在().

A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间

1. C