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1. (广西中考)已知$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 20x - 25 = 0$的两个实数根，则$x_1 + x_2 =$【 】
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
C
解析
【分析】
题目要求计算一元二次方程两个实数根的和，我们首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第二步找到题干方程中对应的$a$、$b$的值；第三步代入公式计算即可得到结果，计算时要注意系数的符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中的方程$x^2 - 20x - 25 = 0$是标准形式，对应可得：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入两根之和公式：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，代入公式时注意系数的符号，避免因符号混淆失分。
【难度系数】
0.9
题目要求计算一元二次方程两个实数根的和，我们首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第二步找到题干方程中对应的$a$、$b$的值；第三步代入公式计算即可得到结果，计算时要注意系数的符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中的方程$x^2 - 20x - 25 = 0$是标准形式，对应可得：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入两根之和公式：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，代入公式时注意系数的符号，避免因符号混淆失分。
【难度系数】
0.9
2.（湖北中考）一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，下列结论中正确的是 【 】
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确不需要解方程求根，直接利用韦达定理即可快速计算；第一步先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，准确找出系数$a、b、c$的值，注意系数的正负号；第二步分别代入两根之和、两根之积的公式计算结果；第三步将计算结果与四个选项逐一比对，选出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
对比选项：A、B的两根和结论错误，C的两根积结论错误，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础题型，主要考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算两根和时出错，牢记公式、准确识别系数即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确不需要解方程求根，直接利用韦达定理即可快速计算；第一步先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，准确找出系数$a、b、c$的值，注意系数的正负号；第二步分别代入两根之和、两根之积的公式计算结果；第三步将计算结果与四个选项逐一比对，选出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
对比选项：A、B的两根和结论错误，C的两根积结论错误，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础题型，主要考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算两根和时出错，牢记公式、准确识别系数即可得分。
【难度系数】
0.8
3. (乐山中考)若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为
【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$，可通过提取公因式因式分解，转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出方程两根的和与积，代入变形后的式子计算即可，无需单独求解方程的两个根，能简化计算过程。
【解析】
1. 确定一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的系数：$a=1$，$b=-1$，$c=-2$；
2. 根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$，
两根之积$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$；
3. 对所求代数式变形：$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$；
4. 代入数值计算：原式$= (-2) × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式合理变形为两根和、两根积的组合形式，熟练掌握韦达定理即可快速求解，可避免直接求根带来的计算繁琐。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$，可通过提取公因式因式分解，转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出方程两根的和与积，代入变形后的式子计算即可，无需单独求解方程的两个根，能简化计算过程。
【解析】
1. 确定一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的系数：$a=1$，$b=-1$，$c=-2$；
2. 根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$，
两根之积$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$；
3. 对所求代数式变形：$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$；
4. 代入数值计算：原式$= (-2) × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式合理变形为两根和、两根积的组合形式，熟练掌握韦达定理即可快速求解，可避免直接求根带来的计算繁琐。
【难度系数】
0.8
4. (乐山中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为 【 】
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考点是一元二次方程根与系数的关系，解题思路分四步走：第一步回忆韦达定理内容，写出该方程两根之和、两根之积的表达式；第二步观察已知的$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，直接求根代入计算太繁琐，所以先对该式通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式；第三步把韦达定理的结果代入变形后的式子，得到关于$p$的方程，求解$p$；最后验证判别式，确保方程确实有两个实数根，排除增根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$有两个根$x_1$、$x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$，$x_1x_2 = \frac{p}{1} = p$
对已知式子通分变形：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$得：
$\frac{-2}{p} = 3$
解得$p = -\frac{2}{3}$
验证判别式：$\Delta = 2^2 - 4×1× p = 4 - 4×(-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3} ＞ 0$，符合方程有两个实根的条件
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，再代入计算，注意求出参数后要验证判别式，保证方程有实根。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先明确考点是一元二次方程根与系数的关系，解题思路分四步走：第一步回忆韦达定理内容，写出该方程两根之和、两根之积的表达式；第二步观察已知的$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，直接求根代入计算太繁琐，所以先对该式通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式；第三步把韦达定理的结果代入变形后的式子，得到关于$p$的方程，求解$p$；最后验证判别式，确保方程确实有两个实数根，排除增根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$有两个根$x_1$、$x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$，$x_1x_2 = \frac{p}{1} = p$
对已知式子通分变形：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$得：
$\frac{-2}{p} = 3$
解得$p = -\frac{2}{3}$
验证判别式：$\Delta = 2^2 - 4×1× p = 4 - 4×(-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3} ＞ 0$，符合方程有两个实根的条件
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，再代入计算，注意求出参数后要验证判别式，保证方程有实根。
【难度系数】
0.7
5.（苏州中考）已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
。答案
5. -3
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m，步骤更简便：首先确定方程的二次项系数a和一次项系数b，根据两根之和的公式代入已知根$x_1$即可直接求出$x_2$；思路二，先将$x_1=1$代入原方程求出m的值，再解完整的一元二次方程得到$x_2$。
【解析】
方法一（韦达定理解法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + 2x - m = 0$，即$a=1$，$b=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$
已知$x_1=1$，代入得：
$1+x_2=-2$
解得$x_2=-2-1=-3$
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2 + 2x - m = 0$得：
$1^2 + 2×1 - m = 0$
计算得$1+2 -m=0$，解得$m=3$
则原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都可得到结果，其中运用韦达定理解题更高效，无需计算参数值，能减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m，步骤更简便：首先确定方程的二次项系数a和一次项系数b，根据两根之和的公式代入已知根$x_1$即可直接求出$x_2$；思路二，先将$x_1=1$代入原方程求出m的值，再解完整的一元二次方程得到$x_2$。
【解析】
方法一（韦达定理解法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + 2x - m = 0$，即$a=1$，$b=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$
已知$x_1=1$，代入得：
$1+x_2=-2$
解得$x_2=-2-1=-3$
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2 + 2x - m = 0$得：
$1^2 + 2×1 - m = 0$
计算得$1+2 -m=0$，解得$m=3$
则原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都可得到结果，其中运用韦达定理解题更高效，无需计算参数值，能减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
6.（广安中考）已知方程$x^2 -5x -24=0$的两个根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
6. 29
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：①首先，a是方程的根，根据一元二次方程根的定义，a满足方程，因此可以将a²转化为含a的一次式，实现降次，简化所求代数式；②化简后代数式会出现a+b的形式，此时利用一元二次方程根与系数的关系直接求出两根之和a+b，整体代入即可算出结果，无需单独求解方程的两个根。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$。
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a+24) -4a +b = a + b + 24$。
又
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
将$a+b=5$代入上式得：$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：①首先，a是方程的根，根据一元二次方程根的定义，a满足方程，因此可以将a²转化为含a的一次式，实现降次，简化所求代数式；②化简后代数式会出现a+b的形式，此时利用一元二次方程根与系数的关系直接求出两根之和a+b，整体代入即可算出结果，无需单独求解方程的两个根。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$。
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a+24) -4a +b = a + b + 24$。
又
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
将$a+b=5$代入上式得：$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
7. 不解方程，判断下列方程是否有实数根. 如果有实数根，求出方程的两根之和与两根之积.
(1) $x^2 - 3x -1=0$;
(2) $(x-2)(2x-1)=5$;
(3) $(2x-1)^2=3x$;
(4) $\frac{2x^2 -5x}{4}=\frac{x+1}{2}$.
(1) $x^2 - 3x -1=0$;
(2) $(x-2)(2x-1)=5$;
(3) $(2x-1)^2=3x$;
(4) $\frac{2x^2 -5x}{4}=\frac{x+1}{2}$.
答案
7. (1)
∵a=1, b=-3, c=-1,
∴Δ=b²-4ac=(-3)²-4×1×(-1)=13＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-3)/1=3，x₁x₂=c/a=-1/1=-1
(2) 原方程化为一般形式为2x²-5x-3=0.
∵a=2, b=-5, c=-3,
∴Δ=b²-4ac=(-5)²-4×2×(-3)=49＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-5)/2=5/2，x₁x₂=c/a=-3/2=-3/2
(3) 原方程化为一般形式为4x²-7x+1=0.
∵a=4, b=-7, c=1,
∴Δ=b²-4ac=(-7)²-4×4×1=33＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-7)/4=7/4，x₁x₂=c/a=1/4
(4) 原方程化为一般形式为2x²-7x-2=0.
∵a=2, b=-7, c=-2,
∴Δ=b²-4ac=(-7)²-4×2×(-2)=65＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-7)/2=7/2，x₁x₂=c/a=-2/2=-1
∵a=1, b=-3, c=-1,
∴Δ=b²-4ac=(-3)²-4×1×(-1)=13＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-3)/1=3，x₁x₂=c/a=-1/1=-1
(2) 原方程化为一般形式为2x²-5x-3=0.
∵a=2, b=-5, c=-3,
∴Δ=b²-4ac=(-5)²-4×2×(-3)=49＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-5)/2=5/2，x₁x₂=c/a=-3/2=-3/2
(3) 原方程化为一般形式为4x²-7x+1=0.
∵a=4, b=-7, c=1,
∴Δ=b²-4ac=(-7)²-4×4×1=33＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-7)/4=7/4，x₁x₂=c/a=1/4
(4) 原方程化为一般形式为2x²-7x-2=0.
∵a=2, b=-7, c=-2,
∴Δ=b²-4ac=(-7)²-4×2×(-2)=65＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x₁+x₂=-b/a=-(-7)/2=7/2，x₁x₂=c/a=-2/2=-1
解析
【分析】
要解决这类问题，需遵循以下思路：① 先将所给方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，明确系数$a、b、c$的值，注意符号不要出错；② 计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实根情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；③ 若方程有实数根，直接利用一元二次方程根与系数的关系，计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$即可，不需要解方程。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x -1=0$已是一般形式：
∵$a=1，b=-3，c=-1$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-3)^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
(2) 先整理原方程：
展开左边得$2x^2 -x -4x +2 =5$，移项合并同类项得一般形式$2x^2 -5x -3=0$：
∵$a=2，b=-5，c=-3$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-5)^2 -4×2×(-3)=49＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$。
(3) 先整理原方程：
展开左边得$4x^2 -4x +1 =3x$，移项合并同类项得一般形式$4x^2 -7x +1=0$：
∵$a=4，b=-7，c=1$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-7)^2 -4×4×1=33＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$。
(4) 先整理原方程：
两边同乘4去分母得$2x^2 -5x = 2(x+1)$，展开移项合并同类项得一般形式$2x^2 -7x -2=0$：
∵$a=2，b=-7，c=-2$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-7)^2 -4×2×(-2)=65＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根，两根之和为3，两根之积为-1；
(2) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{5}{2}$，两根之积为$-\frac{3}{2}$；
(3) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{7}{4}$，两根之积为$\frac{1}{4}$；
(4) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{7}{2}$，两根之积为-1。
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数的关系，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础应用题型，解题核心是先准确将方程化为一般形式，注意各项符号，再结合判别式判断根的情况，最后用根与系数的关系计算即可，计算时要注意符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
要解决这类问题，需遵循以下思路：① 先将所给方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，明确系数$a、b、c$的值，注意符号不要出错；② 计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实根情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；③ 若方程有实数根，直接利用一元二次方程根与系数的关系，计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$即可，不需要解方程。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x -1=0$已是一般形式：
∵$a=1，b=-3，c=-1$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-3)^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
(2) 先整理原方程：
展开左边得$2x^2 -x -4x +2 =5$，移项合并同类项得一般形式$2x^2 -5x -3=0$：
∵$a=2，b=-5，c=-3$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-5)^2 -4×2×(-3)=49＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$。
(3) 先整理原方程：
展开左边得$4x^2 -4x +1 =3x$，移项合并同类项得一般形式$4x^2 -7x +1=0$：
∵$a=4，b=-7，c=1$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-7)^2 -4×4×1=33＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$。
(4) 先整理原方程：
两边同乘4去分母得$2x^2 -5x = 2(x+1)$，展开移项合并同类项得一般形式$2x^2 -7x -2=0$：
∵$a=2，b=-7，c=-2$，
∴$\Delta = b^2-4ac=(-7)^2 -4×2×(-2)=65＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根，两根之和为3，两根之积为-1；
(2) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{5}{2}$，两根之积为$-\frac{3}{2}$；
(3) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{7}{4}$，两根之积为$\frac{1}{4}$；
(4) 有两个不相等的实数根，两根之和为$\frac{7}{2}$，两根之积为-1。
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数的关系，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础应用题型，解题核心是先准确将方程化为一般形式，注意各项符号，再结合判别式判断根的情况，最后用根与系数的关系计算即可，计算时要注意符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
