24.如图6-4-3,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为$60°$,沿山坡向上走到D处再测得点C的仰角为$45°$,已知$OA=100\mathrm{m}$,山坡坡度$i=1:2$,点O,A,B在同一条直线上.(测角器高度忽略不计,结果保留根号)
（1）求电视塔的高度OC.
（2）求点D的垂直高度BD.

图6-4-3

(1)$OC = OA · \tan60° = 100\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
(2) 过点$D$作$DE // OA$,交$OC$于$E$,则$DE = CE$。设$BD = x$,则$AB = 2x$。
$\therefore OC - x = OA + 2x$，
即 $x = \dfrac{OC - OA}{3} = \dfrac{100\sqrt{3} - 100}{3}(\mathrm{m})$。

【分析】
（1）第一问观察图形可知$△ OAC$是直角三角形，$∠ COA=90°$，已知$OA$的长度和$∠ OAC=60°$的仰角，直接利用正切函数的定义即可求出$OC$的长度。
（2）第二问先明确坡度的含义：坡度$i$是垂直高度与水平宽度的比值，即$BD:AB=1:2$。通过作辅助线$DE⊥ OC$于$E$，构造矩形$OBDE$和等腰直角三角形$CDE$，将$BD$设为未知数$x$，用含$x$的式子分别表示出$CE$和$DE$的长度，再利用等腰直角三角形$CE=DE$的性质列方程求解即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ COA=90°$，$∠ OAC=60°$，$OA=100\mathrm{m}$，
∵$\tan∠ OAC=\frac{OC}{OA}$，
∴$OC=OA·\tan60°=100×\sqrt{3}=100\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
（2）过点$D$作$DE⊥ OC$于点$E$，
∵$OB$是水平直线，$OC$是竖直直线，$BD⊥ OB$，
∴四边形$OBDE$是矩形，
∴$OE=BD$，$DE=OB=OA+AB$。
已知山坡坡度$i=1:2$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，设$BD=x\ \mathrm{m}$，则$AB=2x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CDE=45°$，
∴$△ CDE$是等腰直角三角形，$CE=DE$。
又
∵$CE=OC-OE=100\sqrt{3}-x$，$DE=100+2x$，
∴$100\sqrt{3}-x=100+2x$，
移项得：$3x=100\sqrt{3}-100$，
解得：$x=\frac{100\sqrt{3}-100}{3}(\mathrm{m})$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{100\sqrt{3}\ \mathrm{m}}$
（2）$\boldsymbol{\dfrac{100\sqrt{3}-100}{3}\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 仰角俯角应用
2. 坡度坡角应用
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的常见实际应用题型，将仰角、坡度两个核心知识点结合，通过作辅助线构造特殊几何图形，用方程思想建立未知量与已知量的联系，考查对解直角三角形相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

25.某居民楼紧挨一座山坡$AB$,经过地质人员勘测,当坡度不超过$45°$时,可以确保山体不滑坡,如图6-4-4所示,已知$AC // BD$,斜坡$AB$的坡角$∠ ABD = 60°$.为防止滑坡,现对山坡进行改造,改造后,斜坡$BC$与地面$BD$成$45°$角,$AC = 20\ \mathrm{m}$.求斜坡$BC$的长是多少米.(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$.参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73)$

25. 过点$B$作$BH ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$H$。
可得 $BH = CH = AC + AH = 20 + AH$；
$BH = AH · \tan60° = \sqrt{3}AH$。
$\therefore 20 + AH = \sqrt{3}AH$，
即 $AH = 10\sqrt{3} + 10(\mathrm{m})$。
$\therefore CH = 10\sqrt{3} + 30(\mathrm{m})$。
$\therefore BC = \sqrt{2}CH = 10\sqrt{6} + 30\sqrt{2} \approx 66.7(\mathrm{m})$。

【分析】
本题是解直角三角形在坡角问题中的实际应用，解题核心是构造直角三角形整合已知条件。首先观察到题干给出两个特殊坡角，且$AC// BD$，因此我们可以过点$B$作$AC$延长线的垂线，得到两个共直角边的直角三角形：含$60°$角的$Rt△ ABH$和含$45°$角的$Rt△ BCH$。接下来设$AH$的长度为未知数，分别用含未知数的式子表示公共边$BH$，再根据两个表达式相等列方程求解$AH$的长度，最后利用$45°$直角三角形的三边关系求出$BC$的长度即可。
【解析】
解：过点$B$作$BH ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$H$。
∵ $AC// BD$，
∴ $∠ BCH=∠ CBD=45°$，$∠ BAH=∠ ABD=60°$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ BCH=45°$，
∴ $BH=CH$，又$CH=AC+AH=20+AH$，即$BH=20+AH$。
在$Rt△ ABH$中，$∠ BAH=60°$，
∴ $\tan60°=\frac{BH}{AH}$，即$BH=AH·\tan60°=\sqrt{3}AH$。
联立得：$20 + AH = \sqrt{3}AH$，
整理得$(\sqrt{3}-1)AH=20$，分母有理化解得：$AH=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10\sqrt{3}+10\ (\mathrm{m})$。
∴ $CH=20+10\sqrt{3}+10=10\sqrt{3}+30\ (\mathrm{m})$。
在$Rt△ BCH$中，$\cos45°=\frac{CH}{BC}$，
∴ $BC=\frac{CH}{\cos45°}=\sqrt{2}· CH=10\sqrt{6}+30\sqrt{2}\approx10×2.44+30×1.41=66.7\ (\mathrm{m})$。
【答案】
斜坡$BC$的长约是$66.7$米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 坡度坡角问题
3. 特殊角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题关键是通过作高构造含特殊角的直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，既考查了特殊角三角函数值的运用，也考查了方程思想在几何计算中的应用，计算时要注意分母有理化的规范和近似值的精度要求。
【难度系数】
0.6

26.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(如图6-4-5,这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带的测量工具有皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你从中选出所需工具,设计一种测量方案.
(1)你测量所需的工具是:.
(2)请在图6-4-5中画出测量示意图.
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.

26. 本题解法不止一种,举例如下:
(1) 用皮尺、标杆。
(2) 利用阳光下的影长测量示意图如图。
(3) 如图,用皮尺测得标杆$DE = h$,标杆和树的影长分别为$DF = m$,$AC = d$。
$\because △ DEF ∽ △ ABC$,
$\therefore \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DF}{AC}$, 即 $\dfrac{h}{x} = \dfrac{m}{d}$。 $\therefore x = \dfrac{dh}{m}$。
提示:上面给出了用三角尺、小平面镜测量树高的示意图,请你推出计算树高的式子。

【分析】
要测量底部可到达、顶部不可到达的树的高度，可利用平行投影的性质：同一时刻，不同物体的高度与对应影长的比值相等，本质是相似三角形对应边成比例的应用。首先选择测量工具：需要测量长度，因此选皮尺，还需要已知高度的对照物体，即标杆。测量时，先将标杆垂直立在平地上，在同一时刻分别测量标杆的高度、标杆的影长、大树的影长，再通过相似三角形的比例关系即可求出树高。
【解析】
(1) 测量所需工具：皮尺、标杆。
(2) 测量示意图如下：

(3) 用皮尺测得标杆高度$DE=h$，标杆影长$DF=m$，树的影长$AC=d$。
∵同一时刻太阳光线互相平行，
∴$∠ DFE=∠ ACB$，
又
∵$DE⊥ DF$，$AB⊥ AC$，
∴$∠ EDF=∠ BAC=90°$，
∴$△ DEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DF}{AC}$，代入数据得$\dfrac{h}{x}=\dfrac{m}{d}$，
解得$x=\dfrac{hd}{m}$。
【答案】
(1) 皮尺、标杆
(2)
(3) $x=\dfrac{dh}{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行投影的性质
【点评】
本题是结合生活实际的开放类测量题，需要将实际问题转化为相似三角形的数学模型求解，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，也可选择小平面镜、三角尺等工具用对应原理测量，方法灵活，能有效考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7