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1. 计算：$5\sqrt{2} · 5\sqrt{2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
1. 50
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路可按照二次根式乘法的运算规则展开：首先将两个因式的系数部分相乘，再将两个因式的二次根式部分相乘，最后将两部分的乘积合并化简即可得到结果，运算时需注意二次根式的被开方数均为非负数，符合运算规则的适用条件。
【解析】
根据二次根式乘法的运算公式：$a\sqrt{b}· c\sqrt{d}=ac·\sqrt{bd}$（$b≥0,d≥0$），计算过程如下：
$\begin{aligned}5\sqrt{2} · 5\sqrt{2}&=(5×5)×(\sqrt{2}×\sqrt{2})\\&=25×\sqrt{2×2}\\&=25×\sqrt{4}\\&=25×2\\&=50\end{aligned}$
【答案】
50
【知识点】
二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法的基本运算规则，只要掌握“系数相乘作为结果的系数、被开方数相乘作为结果的被开方数”的运算规律，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路可按照二次根式乘法的运算规则展开：首先将两个因式的系数部分相乘，再将两个因式的二次根式部分相乘，最后将两部分的乘积合并化简即可得到结果，运算时需注意二次根式的被开方数均为非负数，符合运算规则的适用条件。
【解析】
根据二次根式乘法的运算公式：$a\sqrt{b}· c\sqrt{d}=ac·\sqrt{bd}$（$b≥0,d≥0$），计算过程如下：
$\begin{aligned}5\sqrt{2} · 5\sqrt{2}&=(5×5)×(\sqrt{2}×\sqrt{2})\\&=25×\sqrt{2×2}\\&=25×\sqrt{4}\\&=25×2\\&=50\end{aligned}$
【答案】
50
【知识点】
二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法的基本运算规则，只要掌握“系数相乘作为结果的系数、被开方数相乘作为结果的被开方数”的运算规律，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2.计算：$2\sqrt{3} · 3\sqrt{2} =$
$6\sqrt{6}$
.答案
2. $6\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘法运算法则：对于两个形如$a\sqrt{b}$、$c\sqrt{d}$的二次根式相乘，可利用乘法交换律和结合律，将系数与系数相乘，被开方数与被开方数分别相乘，最后将所得的结果整理为最简二次根式即可。具体到本题，先拆分系数和二次根式部分分别计算，再合并结果。
【解析】
根据二次根式乘法运算法则计算：
$\begin{aligned}2\sqrt{3} · 3\sqrt{2}&=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{2})\\&=6×\sqrt{3×2}\\&=6\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算；最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，重点考察二次根式乘法规则的应用，运算时注意分别计算系数的乘积和被开方数的乘积，最终结果要化简为最简二次根式，掌握基本运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘法运算法则：对于两个形如$a\sqrt{b}$、$c\sqrt{d}$的二次根式相乘，可利用乘法交换律和结合律，将系数与系数相乘，被开方数与被开方数分别相乘，最后将所得的结果整理为最简二次根式即可。具体到本题，先拆分系数和二次根式部分分别计算，再合并结果。
【解析】
根据二次根式乘法运算法则计算：
$\begin{aligned}2\sqrt{3} · 3\sqrt{2}&=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{2})\\&=6×\sqrt{3×2}\\&=6\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算；最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，重点考察二次根式乘法规则的应用，运算时注意分别计算系数的乘积和被开方数的乘积，最终结果要化简为最简二次根式，掌握基本运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3.计算：$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}} =$
$2$
.答案
3. 2
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，有两种常用解题思路：思路1：直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，先将两个二次根式的被开方数相乘，再对结果开方化简；思路2：先将两个二次根式分别化简为最简二次根式，再将化简后的结果相乘，最终结果需为最简形式，优先选择思路1可简化计算步骤。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
$\begin{aligned}\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{32 × \frac{1}{8}} \\&= \sqrt{4} \\&= 2\end{aligned}$
方法二：先化简二次根式再计算
$\begin{aligned}\sqrt{32} &= \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2} \\\sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \\\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}} &= 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{4} \\&= \sqrt{2} × \sqrt{2} \\&= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础题型，核心考查二次根式乘法法则的应用，计算时先合并被开方数再开方能有效降低计算量，注意最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，有两种常用解题思路：思路1：直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，先将两个二次根式的被开方数相乘，再对结果开方化简；思路2：先将两个二次根式分别化简为最简二次根式，再将化简后的结果相乘，最终结果需为最简形式，优先选择思路1可简化计算步骤。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
$\begin{aligned}\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{32 × \frac{1}{8}} \\&= \sqrt{4} \\&= 2\end{aligned}$
方法二：先化简二次根式再计算
$\begin{aligned}\sqrt{32} &= \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2} \\\sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \\\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}} &= 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{4} \\&= \sqrt{2} × \sqrt{2} \\&= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础题型，核心考查二次根式乘法法则的应用，计算时先合并被开方数再开方能有效降低计算量，注意最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.9
4.计算：$\sqrt{\dfrac{x^2}{x - 5}} × \sqrt{\dfrac{x - 5}{x}} =$
$\sqrt{x}$
答案
4. $\sqrt{x}$
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数且分母不为0，先确定x的取值范围，再运用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将两个二次根式合并为一个二次根式，最后对被开方数约分化简即可得到结果。
【解析】
要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases}x-5＞0 \\ x＞0\end{cases}$，解得$x＞5$。
根据二次根式的乘法法则，可得：
原式$=\sqrt{\dfrac{x^2}{x-5} × \dfrac{x-5}{x}}$
对根号内的分式约分，约去公因式$x$和$x-5$，得：
原式$=\sqrt{x}$
【答案】
$\sqrt{x}$
【知识点】
1.二次根式的乘法运算
2.二次根式有意义的条件
3.分式约分
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题的关键是先确定字母的取值范围，保证二次根式有意义，再按照运算法则计算，可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数且分母不为0，先确定x的取值范围，再运用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将两个二次根式合并为一个二次根式，最后对被开方数约分化简即可得到结果。
【解析】
要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases}x-5＞0 \\ x＞0\end{cases}$，解得$x＞5$。
根据二次根式的乘法法则，可得：
原式$=\sqrt{\dfrac{x^2}{x-5} × \dfrac{x-5}{x}}$
对根号内的分式约分，约去公因式$x$和$x-5$，得：
原式$=\sqrt{x}$
【答案】
$\sqrt{x}$
【知识点】
1.二次根式的乘法运算
2.二次根式有意义的条件
3.分式约分
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题的关键是先确定字母的取值范围，保证二次根式有意义，再按照运算法则计算，可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
5.计算：$(\sqrt{7} + 2\sqrt{2})^7 · (\sqrt{7} - 2\sqrt{2})^7 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$-1$
解析
【分析】
观察算式发现两个乘方的指数相同，且两个底数符合平方差公式的结构特征，因此解题时可先逆用积的乘方运算法则：$a^n·b^n=(ab)^n$，将两个底数先相乘，再计算乘方，即可大幅简化计算量，避免直接展开高次乘方的复杂运算。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{7} + 2\sqrt{2})(\sqrt{7} - 2\sqrt{2})]^7\\&=[(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{2})^2]^7\\&=[7 - 4×2]^7\\&=(7 - 8)^7\\&=(-1)^7\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
积的乘方逆运算；平方差公式；二次根式乘法
【点评】
本题核心考查运算律和乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，选择合适的简便方法计算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
观察算式发现两个乘方的指数相同，且两个底数符合平方差公式的结构特征，因此解题时可先逆用积的乘方运算法则：$a^n·b^n=(ab)^n$，将两个底数先相乘，再计算乘方，即可大幅简化计算量，避免直接展开高次乘方的复杂运算。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{7} + 2\sqrt{2})(\sqrt{7} - 2\sqrt{2})]^7\\&=[(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{2})^2]^7\\&=[7 - 4×2]^7\\&=(7 - 8)^7\\&=(-1)^7\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
积的乘方逆运算；平方差公式；二次根式乘法
【点评】
本题核心考查运算律和乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，选择合适的简便方法计算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
6.等式$\sqrt{x+3} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x^2 -9}$成立的条件是
$x ≥ 3$
.答案
6. $x ≥ 3$
解析
【分析】要使等式成立，首先等式中的所有二次根式都必须有意义，同时要符合二次根式乘法法则的适用条件。二次根式有意义的要求是被开方数是非负数，二次根式乘法$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，因此我们只需要列出等式左边两个二次根式的被开方数满足非负的条件，求解后取公共解集即可。
【解析】根据二次根式有意义的条件及二次根式乘法法则的适用要求，可得：
$\begin{cases}x+3≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解不等式$x+3≥0$，得$x≥-3$；
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
此时右边$\sqrt{x^2-9}$的被开方数$x^2-9=(x+3)(x-3)≥0$，也满足有意义的条件，因此等式成立。
【答案】$x≥3$
【知识点】1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则
【点评】本题属于基础题，重点考查二次根式乘法公式成立的前提条件，易错点是仅考虑等号右侧二次根式有意义，忽略左侧两个二次根式各自的被开方数需要非负，从而错误得到$x≥3$或$x≤-3$的结论。
【难度系数】0.7
【解析】根据二次根式有意义的条件及二次根式乘法法则的适用要求，可得：
$\begin{cases}x+3≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解不等式$x+3≥0$，得$x≥-3$；
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
此时右边$\sqrt{x^2-9}$的被开方数$x^2-9=(x+3)(x-3)≥0$，也满足有意义的条件，因此等式成立。
【答案】$x≥3$
【知识点】1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则
【点评】本题属于基础题，重点考查二次根式乘法公式成立的前提条件，易错点是仅考虑等号右侧二次根式有意义，忽略左侧两个二次根式各自的被开方数需要非负，从而错误得到$x≥3$或$x≤-3$的结论。
【难度系数】0.7
7. 下列各等式成立的是 …………【 】
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 7\sqrt{6}$
D.$5\sqrt{2} × 4\sqrt{5} = 20\sqrt{10}$
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 7\sqrt{6}$
D.$5\sqrt{2} × 4\sqrt{5} = 20\sqrt{10}$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘法运算法则：带系数的二次根式相乘时，系数与系数相乘作为结果的系数，根号下的非负被开方数相乘作为结果的被开方数，最后结果能化简的要化简。接下来我们按照该法则逐一计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可找出成立的等式。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a× c) · \sqrt{b× d}$（$b≥0,d≥0$），逐一计算选项：
A选项：$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = (4×2) × \sqrt{5×5} = 8×5 = 40 ≠ 8\sqrt{5}$，等式不成立；
B选项：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4) × \sqrt{3×2} = 20\sqrt{6} ≠ 20\sqrt{5}$，等式不成立；
C选项：$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (4×3) × \sqrt{3×2} = 12\sqrt{6} ≠ 7\sqrt{6}$，等式不成立；
D选项：$5\sqrt{2} × 4\sqrt{5} = (5×4) × \sqrt{2×5} = 20\sqrt{10}$，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础考查题，易错点是计算时误将系数相加、或将根号内的被开方数直接相加，牢记“系数相乘、被开方数相乘”的运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘法运算法则：带系数的二次根式相乘时，系数与系数相乘作为结果的系数，根号下的非负被开方数相乘作为结果的被开方数，最后结果能化简的要化简。接下来我们按照该法则逐一计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可找出成立的等式。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a× c) · \sqrt{b× d}$（$b≥0,d≥0$），逐一计算选项：
A选项：$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = (4×2) × \sqrt{5×5} = 8×5 = 40 ≠ 8\sqrt{5}$，等式不成立；
B选项：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4) × \sqrt{3×2} = 20\sqrt{6} ≠ 20\sqrt{5}$，等式不成立；
C选项：$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (4×3) × \sqrt{3×2} = 12\sqrt{6} ≠ 7\sqrt{6}$，等式不成立；
D选项：$5\sqrt{2} × 4\sqrt{5} = (5×4) × \sqrt{2×5} = 20\sqrt{10}$，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础考查题，易错点是计算时误将系数相加、或将根号内的被开方数直接相加，牢记“系数相乘、被开方数相乘”的运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
8.下列二次根式中，与$\sqrt{2}$相乘的积为有理数的是 ……………………【 】
A.$\sqrt{18}$
B.$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$-\sqrt{27}$
A.$\sqrt{18}$
B.$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$-\sqrt{27}$
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个二次根式与$\sqrt{2}$相乘的积为有理数，解题思路是：首先将每个选项的二次根式化简为最简二次根式，再分别与$\sqrt{2}$相乘，根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，即运算结果不含开不尽的方根）判断乘积是否为有理数即可。
【解析】
我们逐个计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
A. 先化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，则$3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=3×2=6$，6是有理数，符合要求；
B. 先化简$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{6}$是无理数，故乘积为无理数，不符合要求；
C. 先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，则$2\sqrt{3}×\sqrt{2}=2\sqrt{6}$，乘积为无理数，不符合要求；
D. 先化简$-\sqrt{27}=-\sqrt{9×3}=-3\sqrt{3}$，则$-3\sqrt{3}×\sqrt{2}=-3\sqrt{6}$，乘积为无理数，不符合要求。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；有理数判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简规则和乘法运算规则，解题时先化简再计算乘积能有效减少计算量，熟练掌握二次根式的基本运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式与$\sqrt{2}$相乘的积为有理数，解题思路是：首先将每个选项的二次根式化简为最简二次根式，再分别与$\sqrt{2}$相乘，根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，即运算结果不含开不尽的方根）判断乘积是否为有理数即可。
【解析】
我们逐个计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
A. 先化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，则$3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=3×2=6$，6是有理数，符合要求；
B. 先化简$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{6}$是无理数，故乘积为无理数，不符合要求；
C. 先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，则$2\sqrt{3}×\sqrt{2}=2\sqrt{6}$，乘积为无理数，不符合要求；
D. 先化简$-\sqrt{27}=-\sqrt{9×3}=-3\sqrt{3}$，则$-3\sqrt{3}×\sqrt{2}=-3\sqrt{6}$，乘积为无理数，不符合要求。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；有理数判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简规则和乘法运算规则，解题时先化简再计算乘积能有效减少计算量，熟练掌握二次根式的基本运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 下列运算错误的是 …………【 】
A.$\sqrt{5} · \sqrt{2} = \sqrt{10}$
B.$\sqrt{6} · \sqrt{3} = 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{27} · \sqrt{\frac{1}{9}} = 3$
D.$\sqrt{24} · \sqrt{\frac{3}{2}} = 6$
A.$\sqrt{5} · \sqrt{2} = \sqrt{10}$
B.$\sqrt{6} · \sqrt{3} = 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{27} · \sqrt{\frac{1}{9}} = 3$
D.$\sqrt{24} · \sqrt{\frac{3}{2}} = 6$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），对四个选项逐一计算验证，找出运算错误的选项即可。思考时可以先将根号内的数相乘，再将得到的二次根式化为最简二次根式，对比选项给出的结果判断正误。
【解析】
我们根据二次根式乘法法则逐个计算选项：
选项A：$\sqrt{5}·\sqrt{2}=\sqrt{5×2}=\sqrt{10}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$\sqrt{6}·\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，运算正确，不符合题意；
选项C：$\sqrt{27}·\sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{27×\frac{1}{9}}=\sqrt{3}≠3$，运算错误，符合题意；
选项D：$\sqrt{24}·\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{24×\frac{3}{2}}=\sqrt{36}=6$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则
2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘法的基本运算技能，计算时既可以先将根号下的因式相乘再化简，也可以先将各个二次根式化为最简形式再相乘，解题时注意细心计算，避免因粗心算错乘积或者化简错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），对四个选项逐一计算验证，找出运算错误的选项即可。思考时可以先将根号内的数相乘，再将得到的二次根式化为最简二次根式，对比选项给出的结果判断正误。
【解析】
我们根据二次根式乘法法则逐个计算选项：
选项A：$\sqrt{5}·\sqrt{2}=\sqrt{5×2}=\sqrt{10}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$\sqrt{6}·\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，运算正确，不符合题意；
选项C：$\sqrt{27}·\sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{27×\frac{1}{9}}=\sqrt{3}≠3$，运算错误，符合题意；
选项D：$\sqrt{24}·\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{24×\frac{3}{2}}=\sqrt{36}=6$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则
2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘法的基本运算技能，计算时既可以先将根号下的因式相乘再化简，也可以先将各个二次根式化为最简形式再相乘，解题时注意细心计算，避免因粗心算错乘积或者化简错误丢分。
【难度系数】
0.8
10.如果$\sqrt{x} · \sqrt{x - 3} = \sqrt{x(x - 3)}$，那么$x$的取值范围是………………【 】
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 3$
C.$0 ≤ x ≤ 3$
D.$x$为一切实数
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 3$
C.$0 ≤ x ≤ 3$
D.$x$为一切实数
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次根式乘法运算的成立条件，解题思路如下：首先回忆二次根式的核心要求：被开方数必须是非负数，而二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，因此我们只需要分别让等式左侧两个二次根式的被开方数满足非负要求，解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x} · \sqrt{x - 3} = \sqrt{x(x - 3)}$成立，需满足左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解第二个不等式得$x≥3$，两个不等式的公共解集为$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略乘法法则成立的前提是左侧每个二次根式都有意义，解题时需牢记公式的适用条件。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式乘法运算的成立条件，解题思路如下：首先回忆二次根式的核心要求：被开方数必须是非负数，而二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，因此我们只需要分别让等式左侧两个二次根式的被开方数满足非负要求，解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x} · \sqrt{x - 3} = \sqrt{x(x - 3)}$成立，需满足左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解第二个不等式得$x≥3$，两个不等式的公共解集为$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略乘法法则成立的前提是左侧每个二次根式都有意义，解题时需牢记公式的适用条件。
【难度系数】
0.8
11. 如果$(2+\sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}(a,b$为有理数)，那么a+b等于………………【 】
A.2
B.3
C.8
D.10
A.2
B.3
C.8
D.10
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用完全平方公式将等号左侧的$(2+\sqrt{2})^2$展开，再根据二次根式的运算规则化简展开式，将化简结果整理为“有理数+带$\sqrt{2}$的无理数”的形式；然后根据等式左右两边有理部分、无理部分分别对应相等的规则，求出a、b的取值，最后计算a+b的值即可选出正确选项。
【解析】
先利用完全平方公式展开左侧式子：
$\begin{aligned}(2+\sqrt{2})^2&=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4 + 4\sqrt{2} + 2\\&=6 + 4\sqrt{2}\end{aligned}$
已知$(2+\sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}$，且a、b为有理数，对比等式两边可得：$a=6$，$b=4$。
因此$a+b=6+4=10$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式恒等条件
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题的核心是正确应用完全平方公式展开并化简二次根式，只要熟练掌握相关运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用完全平方公式将等号左侧的$(2+\sqrt{2})^2$展开，再根据二次根式的运算规则化简展开式，将化简结果整理为“有理数+带$\sqrt{2}$的无理数”的形式；然后根据等式左右两边有理部分、无理部分分别对应相等的规则，求出a、b的取值，最后计算a+b的值即可选出正确选项。
【解析】
先利用完全平方公式展开左侧式子：
$\begin{aligned}(2+\sqrt{2})^2&=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4 + 4\sqrt{2} + 2\\&=6 + 4\sqrt{2}\end{aligned}$
已知$(2+\sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}$，且a、b为有理数，对比等式两边可得：$a=6$，$b=4$。
因此$a+b=6+4=10$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式恒等条件
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题的核心是正确应用完全平方公式展开并化简二次根式，只要熟练掌握相关运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12. (1) 比较 $-\sqrt{15}$ 与 $-\sqrt{17}$ 的大小.
(2) 比较 $3\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{17}$ 的大小.
(3) 比较 $-2\sqrt{7}$ 与 $-3\sqrt{3}$ 的大小.
(2) 比较 $3\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{17}$ 的大小.
(3) 比较 $-2\sqrt{7}$ 与 $-3\sqrt{3}$ 的大小.
答案
12. (1) $-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{17}$.
(2) 解:$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2} × \sqrt{2} = \sqrt{3^2 × 2} = \sqrt{18} ＞ \sqrt{17}$.
(3) 解:$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2} × \sqrt{7} = \sqrt{2^2 × 7} = \sqrt{28}$,
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2} × \sqrt{3} = \sqrt{3^2 × 3} = \sqrt{27} ＜ \sqrt{28}$;
$\therefore -\sqrt{27} ＞ -\sqrt{28}$， 即 $-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$.
(2) 解:$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2} × \sqrt{2} = \sqrt{3^2 × 2} = \sqrt{18} ＞ \sqrt{17}$.
(3) 解:$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2} × \sqrt{7} = \sqrt{2^2 × 7} = \sqrt{28}$,
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2} × \sqrt{3} = \sqrt{3^2 × 3} = \sqrt{27} ＜ \sqrt{28}$;
$\therefore -\sqrt{27} ＞ -\sqrt{28}$， 即 $-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
比较二次根式大小的核心思路：① 正数范围内，被开方数越大，对应的二次根式的值越大；② 负数比较大小，绝对值大的数反而小；③ 带整数系数的二次根式，可利用二次根式的乘法性质，将系数平方后移到根号内，转化为比较被开方数的大小。
(1) 两个数都是负的二次根式，先比较绝对值$\sqrt{15}$和$\sqrt{17}$的大小，再根据负数比较大小的规则判断即可；
(2) 两个数都是正的二次根式，先将$3\sqrt{2}$的系数3移到根号内，转化为同是根号形式的数，再比较被开方数大小即可；
(3) 两个数都是带系数的负二次根式，先分别把它们的系数移到根号内，比较绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则判断即可。
【解析】
(1) $\because 15＜17$，
$\therefore \sqrt{15}＜\sqrt{17}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{17}$。
(2) 先将$3\sqrt{2}$的系数移到根号内：
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 × 2} = \sqrt{9×2} = \sqrt{18}$，
$\because 18＞17$，
$\therefore \sqrt{18}＞\sqrt{17}$，即$3\sqrt{2} ＞ \sqrt{17}$。
(3) 先分别将两个数的系数移到根号内，比较它们的绝对值：
$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 ×7} = \sqrt{4×7} = \sqrt{28}$，
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 ×3} = \sqrt{9×3} = \sqrt{27}$，
$\because 28＞27$，
$\therefore \sqrt{28}＞\sqrt{27}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{28}＜-\sqrt{27}$，即$-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{17}$
(2) $3\sqrt{2} ＞ \sqrt{17}$
(3) $-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式的性质；实数大小比较；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，解题的关键是掌握将根号外非负因数移入根号内的方法，以及负数比较大小的规则，这类题型是实数相关知识的常考考点，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
比较二次根式大小的核心思路：① 正数范围内，被开方数越大，对应的二次根式的值越大；② 负数比较大小，绝对值大的数反而小；③ 带整数系数的二次根式，可利用二次根式的乘法性质，将系数平方后移到根号内，转化为比较被开方数的大小。
(1) 两个数都是负的二次根式，先比较绝对值$\sqrt{15}$和$\sqrt{17}$的大小，再根据负数比较大小的规则判断即可；
(2) 两个数都是正的二次根式，先将$3\sqrt{2}$的系数3移到根号内，转化为同是根号形式的数，再比较被开方数大小即可；
(3) 两个数都是带系数的负二次根式，先分别把它们的系数移到根号内，比较绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则判断即可。
【解析】
(1) $\because 15＜17$，
$\therefore \sqrt{15}＜\sqrt{17}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{17}$。
(2) 先将$3\sqrt{2}$的系数移到根号内：
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 × 2} = \sqrt{9×2} = \sqrt{18}$，
$\because 18＞17$，
$\therefore \sqrt{18}＞\sqrt{17}$，即$3\sqrt{2} ＞ \sqrt{17}$。
(3) 先分别将两个数的系数移到根号内，比较它们的绝对值：
$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 ×7} = \sqrt{4×7} = \sqrt{28}$，
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 ×3} = \sqrt{9×3} = \sqrt{27}$，
$\because 28＞27$，
$\therefore \sqrt{28}＞\sqrt{27}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{28}＜-\sqrt{27}$，即$-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{17}$
(2) $3\sqrt{2} ＞ \sqrt{17}$
(3) $-3\sqrt{3} ＞ -2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式的性质；实数大小比较；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，解题的关键是掌握将根号外非负因数移入根号内的方法，以及负数比较大小的规则，这类题型是实数相关知识的常考考点，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.计算下列各题:
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}} × (\sqrt{2})^0$.
(2) $\sqrt{6} × \sqrt{15} × \sqrt{10}$.
(3) $-\sqrt{20} × \sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}}$.
(4) $\sqrt{3x} · \sqrt{2x^2} · \sqrt{6x^3} \ (x ≥ 0)$.
(5) $2\sqrt{ab} · 3\sqrt{\frac{b}{a}} \ (a ＞ 0, b ≥ 0)$.
(6) $(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
(7) $(3\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{3} + 1)$.
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}} × (\sqrt{2})^0$.
(2) $\sqrt{6} × \sqrt{15} × \sqrt{10}$.
(3) $-\sqrt{20} × \sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}}$.
(4) $\sqrt{3x} · \sqrt{2x^2} · \sqrt{6x^3} \ (x ≥ 0)$.
(5) $2\sqrt{ab} · 3\sqrt{\frac{b}{a}} \ (a ＞ 0, b ≥ 0)$.
(6) $(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
(7) $(3\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{3} + 1)$.
答案
13. (1) 原式 $= \sqrt{8 × \frac{1}{2} × 1} = \sqrt{4} = 2$.
(2) 原式 $= \sqrt{6 × 15 × 10} = \sqrt{900} = 30$.
(3) 原式$=-\sqrt{20 × \frac{1}{5} × 48 × \frac{1}{3}}=-8$.
(4) 原式$= \sqrt{3x · 2x^2 · 6x^3} = \sqrt{36x^6} = 6x^3$.
(5) 原式 $= (2 × 3)\sqrt{ab · \frac{b}{a}} = 6 \sqrt{b^2} = 6b$.
(6) $3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$.
(7) $6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$.
(2) 原式 $= \sqrt{6 × 15 × 10} = \sqrt{900} = 30$.
(3) 原式$=-\sqrt{20 × \frac{1}{5} × 48 × \frac{1}{3}}=-8$.
(4) 原式$= \sqrt{3x · 2x^2 · 6x^3} = \sqrt{36x^6} = 6x^3$.
(5) 原式 $= (2 × 3)\sqrt{ab · \frac{b}{a}} = 6 \sqrt{b^2} = 6b$.
(6) $3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$.
(7) $6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$.
解析
【分析】
这组题目均围绕二次根式乘法相关运算展开，解题思路如下：①对于多个二次根式相乘的单项式型运算，直接运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将系数相乘、被开方数相乘，最后化简为最简二次根式即可，运算中注意零指数幂的性质（非零数的0次幂等于1），结合题目给出的字母取值范围可直接确定开方结果的符号；②对于二次根式的多项式乘多项式运算，按照整式乘法的多项式乘多项式法则（乘法分配律），用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先计算零指数幂得$(\sqrt{2})^0=1$，再运用二次根式乘法法则：
原式$=\sqrt{8 × \frac{1}{2} × 1} = \sqrt{4} = 2$
(2) 多个二次根式相乘，直接将被开方数相乘：
原式$=\sqrt{6 × 15 × 10} = \sqrt{900} = 30$
(3) 保留负号，将所有被开方数相乘后化简：
原式$=-\sqrt{20 × \frac{1}{5} × 48 × \frac{1}{3}}=-\sqrt{4×16}=-\sqrt{64}=-8$
(4) 已知$x≥0$，被开方数均非负，相乘后化简：
原式$= \sqrt{3x · 2x^2 · 6x^3} = \sqrt{36x^6} = 6x^3$
(5) 已知$a＞0,b≥0$，系数相乘、被开方数相乘后化简：
原式 $= (2 × 3)\sqrt{ab · \frac{b}{a}} = 6 \sqrt{b^2} = 6b$
(6) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=3×\sqrt{3} + 3×(-\sqrt{5}) + \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×(-\sqrt{5})=3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$
(7) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=3\sqrt{2}×2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}×1 + (-1)×2\sqrt{3} + (-1)×1=6\sqrt{6}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-1=6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $2$；(2) $30$；(3) $-8$；(4) $6x^3$；(5) $6b$；(6) $3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$；(7) $6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的乘法，零指数幂，多项式乘多项式
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础训练题，运算时要注意先确定运算顺序，牢记二次根式乘法法则，多项式相乘时避免漏乘项，化简结果时要结合给定的字母取值范围确定符号，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这组题目均围绕二次根式乘法相关运算展开，解题思路如下：①对于多个二次根式相乘的单项式型运算，直接运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将系数相乘、被开方数相乘，最后化简为最简二次根式即可，运算中注意零指数幂的性质（非零数的0次幂等于1），结合题目给出的字母取值范围可直接确定开方结果的符号；②对于二次根式的多项式乘多项式运算，按照整式乘法的多项式乘多项式法则（乘法分配律），用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先计算零指数幂得$(\sqrt{2})^0=1$，再运用二次根式乘法法则：
原式$=\sqrt{8 × \frac{1}{2} × 1} = \sqrt{4} = 2$
(2) 多个二次根式相乘，直接将被开方数相乘：
原式$=\sqrt{6 × 15 × 10} = \sqrt{900} = 30$
(3) 保留负号，将所有被开方数相乘后化简：
原式$=-\sqrt{20 × \frac{1}{5} × 48 × \frac{1}{3}}=-\sqrt{4×16}=-\sqrt{64}=-8$
(4) 已知$x≥0$，被开方数均非负，相乘后化简：
原式$= \sqrt{3x · 2x^2 · 6x^3} = \sqrt{36x^6} = 6x^3$
(5) 已知$a＞0,b≥0$，系数相乘、被开方数相乘后化简：
原式 $= (2 × 3)\sqrt{ab · \frac{b}{a}} = 6 \sqrt{b^2} = 6b$
(6) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=3×\sqrt{3} + 3×(-\sqrt{5}) + \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×(-\sqrt{5})=3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$
(7) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=3\sqrt{2}×2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}×1 + (-1)×2\sqrt{3} + (-1)×1=6\sqrt{6}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-1=6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $2$；(2) $30$；(3) $-8$；(4) $6x^3$；(5) $6b$；(6) $3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-\sqrt{15}+3$；(7) $6\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的乘法，零指数幂，多项式乘多项式
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础训练题，运算时要注意先确定运算顺序，牢记二次根式乘法法则，多项式相乘时避免漏乘项，化简结果时要结合给定的字母取值范围确定符号，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
