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14.已知$(x-\sqrt{2})^2 + |y+\sqrt{3}|=0$，求代数式$x^2 + 2xy + y^2$的值.
答案
14. $x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{3}; xy = -\sqrt{6}; \quad 5 - 2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
首先观察已知条件：平方与绝对值的和为0，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，由此可先求出x、y的取值。再看待求代数式$x^2+2xy+y^2$，它符合完全平方公式的结构，可先因式分解为$(x+y)^2$，再代入x、y的值计算，比直接代入原式计算更简便，能减少运算出错概率。
【解析】
解：
∵$(x-\sqrt{2})^2 ≥ 0$，$|y+\sqrt{3}| ≥ 0$，且$(x-\sqrt{2})^2 + |y+\sqrt{3}|=0$
∴ $\begin{cases}x-\sqrt{2}=0 \\ y+\sqrt{3}=0 \end{cases}$
解得：$x=\sqrt{2}$，$y=-\sqrt{3}$
对目标代数式化简：
$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$
将$x=\sqrt{2}$，$y=-\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式=$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$
=$(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
=$2 - 2\sqrt{6} + 3$
=$5 - 2\sqrt{6}$
【答案】
$5 - 2\sqrt{6}$
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；二次根式运算
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题型，核心是先利用非负数的性质求出未知字母的取值，优先化简代数式再代入计算，可有效简化运算流程。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件：平方与绝对值的和为0，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，由此可先求出x、y的取值。再看待求代数式$x^2+2xy+y^2$，它符合完全平方公式的结构，可先因式分解为$(x+y)^2$，再代入x、y的值计算，比直接代入原式计算更简便，能减少运算出错概率。
【解析】
解：
∵$(x-\sqrt{2})^2 ≥ 0$，$|y+\sqrt{3}| ≥ 0$，且$(x-\sqrt{2})^2 + |y+\sqrt{3}|=0$
∴ $\begin{cases}x-\sqrt{2}=0 \\ y+\sqrt{3}=0 \end{cases}$
解得：$x=\sqrt{2}$，$y=-\sqrt{3}$
对目标代数式化简：
$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$
将$x=\sqrt{2}$，$y=-\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式=$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$
=$(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
=$2 - 2\sqrt{6} + 3$
=$5 - 2\sqrt{6}$
【答案】
$5 - 2\sqrt{6}$
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；二次根式运算
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题型，核心是先利用非负数的性质求出未知字母的取值，优先化简代数式再代入计算，可有效简化运算流程。
【难度系数】
0.8
15.请你先分别取一个$x$和$y$的值，再代入式子$\frac{1}{3}\sqrt{-\frac{x^2}{y}} × (-4\sqrt{-\frac{y^2}{x}})$计算.
答案
15. 取 $x ＜ 0, y ＜ 0$即可,如 $x = -2, y = -3$,代入得 $-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} × 4\sqrt{\frac{9}{2}} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{4}{3} × \frac{9}{2}} = -\frac{4\sqrt{6}}{3}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据二次根式有意义的条件确定x、y的取值范围：二次根式的被开方数必须为非负数，且分母不能为0。观察式子中的两个被开方数$-\frac{x^2}{y}$和$-\frac{y^2}{x}$，因为$x^2＞0$、$y^2＞0$（x、y均不为0），因此要使被开方数非负，可得x＜0且y＜0。接下来任意取一对满足x＜0、y＜0的数值代入式子，按照二次根式的乘法法则计算：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简得到结果即可。
【解析】
1. 确定取值范围：
要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases} -\frac{x^2}{y} ≥ 0 \\ -\frac{y^2}{x} ≥ 0 \\ x ≠ 0, y ≠ 0 \end{cases}$
$\because x^2＞0,y^2＞0$，$\therefore x＜0,y＜0$
2. 取值代入计算，例如取$x=-2,y=-3$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}\sqrt{-\frac{(-2)^2}{-3}} × (-4\sqrt{-\frac{(-3)^2}{-2}}) \\&=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} × (-4\sqrt{\frac{9}{2}}) \\&=\frac{1}{3}×(-4)×\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{9}{2}} \\&=-\frac{4}{3}\sqrt{6} \\&=-\frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
（取其他满足$x＜0,y＜0$的数值计算，结果正确即可）
【答案】
取$x=-2,y=-3$时，计算结果为$-\frac{4\sqrt{6}}{3}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
3. 二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的性质和乘法运算能力，易错点是忽略被开方数的非负性，误取正数的x、y导致根式无意义，计算时需注意系数的符号运算，以及根式化简的规范性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需根据二次根式有意义的条件确定x、y的取值范围：二次根式的被开方数必须为非负数，且分母不能为0。观察式子中的两个被开方数$-\frac{x^2}{y}$和$-\frac{y^2}{x}$，因为$x^2＞0$、$y^2＞0$（x、y均不为0），因此要使被开方数非负，可得x＜0且y＜0。接下来任意取一对满足x＜0、y＜0的数值代入式子，按照二次根式的乘法法则计算：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简得到结果即可。
【解析】
1. 确定取值范围：
要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases} -\frac{x^2}{y} ≥ 0 \\ -\frac{y^2}{x} ≥ 0 \\ x ≠ 0, y ≠ 0 \end{cases}$
$\because x^2＞0,y^2＞0$，$\therefore x＜0,y＜0$
2. 取值代入计算，例如取$x=-2,y=-3$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}\sqrt{-\frac{(-2)^2}{-3}} × (-4\sqrt{-\frac{(-3)^2}{-2}}) \\&=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} × (-4\sqrt{\frac{9}{2}}) \\&=\frac{1}{3}×(-4)×\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{9}{2}} \\&=-\frac{4}{3}\sqrt{6} \\&=-\frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
（取其他满足$x＜0,y＜0$的数值计算，结果正确即可）
【答案】
取$x=-2,y=-3$时，计算结果为$-\frac{4\sqrt{6}}{3}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
3. 二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的性质和乘法运算能力，易错点是忽略被开方数的非负性，误取正数的x、y导致根式无意义，计算时需注意系数的符号运算，以及根式化简的规范性。
【难度系数】
0.7
16.如图1-1-3,在矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连结DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连结AM,CN,MN.已知$AB=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{3},$求图中阴影部分的面积.
图1-1-3
图1-1-3
答案
16. $S_{阴影} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题可利用整体思想求解，无需分别计算每块阴影的面积。首先观察到矩形为中心对称图形，结合E、F是AB、CD中点，M、N是DE、BF中点的条件，可推出阴影部分的面积总和等于矩形面积的一半，接下来先计算矩形的面积，再乘$\frac{1}{2}$即可得到结果。
【解析】
解：矩形ABCD的面积公式为$S_{矩形ABCD}=长×宽=AB× BC$，
由图形的中心对称性质与等积变换规律可得，阴影部分的面积为矩形面积的一半，因此：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
矩形的性质，等积变换，二次根式的乘法
【点评】
本题侧重考察对图形的观察能力和整体思想的运用，巧用图形的对称性可快速得到阴影面积与矩形面积的关系，大幅简化计算过程，避免了分别求解各阴影部分面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体思想求解，无需分别计算每块阴影的面积。首先观察到矩形为中心对称图形，结合E、F是AB、CD中点，M、N是DE、BF中点的条件，可推出阴影部分的面积总和等于矩形面积的一半，接下来先计算矩形的面积，再乘$\frac{1}{2}$即可得到结果。
【解析】
解：矩形ABCD的面积公式为$S_{矩形ABCD}=长×宽=AB× BC$，
由图形的中心对称性质与等积变换规律可得，阴影部分的面积为矩形面积的一半，因此：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
矩形的性质，等积变换，二次根式的乘法
【点评】
本题侧重考察对图形的观察能力和整体思想的运用，巧用图形的对称性可快速得到阴影面积与矩形面积的关系，大幅简化计算过程，避免了分别求解各阴影部分面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
